高等代数 · 第 P83 集 · 十八：非考试项 — 模的剩余类环

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◎学习目标

理解模 \(n\) 同余关系：\(a \equiv b \pmod{n}\) 的两种等价刻画——整除性（\(n \mid (a-b)\)）与余数相同；
掌握剩余类的概念：\(\bar{a}\) 表示所有与 \(a\) 模 \(n\) 同余的整数构成的集合，理解 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\dots,\overline{n-1}\}\) 是对整数集的一个划分；
理解并验证加法和乘法运算定义的合理性：若 \(\bar{a}=\bar{c}\)、\(\bar{b}=\bar{d}\)，则 \(\overline{a+b}=\overline{c+d}\)、\(\overline{ab}=\overline{cd}\)；
确认 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 关于上述运算构成一个有单位元的交换环，零元为 \(\bar{0}\)，单位元为 \(\bar{1}\)；
掌握关键定理：\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 当且仅当 \(p\) 为素数时是域，合数 \(n\) 时 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 必含有零因子而非域。

1同余关系与剩余类 ⏱ 00:02

从星期几这个日常问题引入。今天是星期三，过了 7 天又是星期三；过了 355 天是星期几？只需看 355 模 7 余几：\(355 = 7 \times 50 + 5\)，余 5，于是星期三加 5 天 = 星期一。

定义 · 模 n 同余设 \(n\) 为正整数，\(a,b \in \mathbb{Z}\)。称 \(a\) 与 \(b\) 模 \(n\) 同余，记作

a \equiv b \pmod{n}

当且仅当 \(n \mid (a-b)\)（即 \(a-b\) 是 \(n\) 的整数倍）。

等价地，\(a \equiv b \pmod{n}\) 当且仅当 \(a\) 和 \(b\) 除以 \(n\) 所得的余数相同（取余数在 \(\{0,1,\dots,n-1\}\) 范围内）。

命题 · 同余的性质模 \(n\) 同余是整数集 \(\mathbb{Z}\) 上的等价关系，满足：

自反性：\(a \equiv a \pmod{n}\)（因为 \(n \mid 0\)）；
对称性：若 \(a \equiv b \pmod{n}\)，则 \(b \equiv a \pmod{n}\)；
传递性：若 \(a \equiv b \pmod{n}\) 且 \(b \equiv c \pmod{n}\)，则 \(a \equiv c \pmod{n}\)。

验证：同余对加法和乘法的兼容性

若 \(a \equiv c \pmod{n}\) 且 \(b \equiv d \pmod{n}\)，即 \(n \mid (a-c)\)、\(n \mid (b-d)\)，则

a - c = n \cdot k_1, \quad b - d = n \cdot k_2 \quad (k_1,k_2 \in \mathbb{Z})

两式相加得 \( (a+b) - (c+d) = n(k_1+k_2) \)，故 \(a+b \equiv c+d \pmod{n}\)。⏱ 04:21

两式相乘（略作变形）可得 \(ab \equiv cd \pmod{n}\)，证明思路相同。⏱ 06:21

定义 · 剩余类对每个 \(a \in \mathbb{Z}\)，定义其模 \(n\) 剩余类为

\bar{a} = \{\,x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \pmod{n}\,\} = a + n\mathbb{Z} = \{\,a + nk \mid k \in \mathbb{Z}\,\}.

所有不同的剩余类构成的集合记为 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)，恰好有 \(n\) 个类：

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\,\bar{0},\,\bar{1},\,\bar{2},\,\dots,\,\overline{n-1}\,\}.

这 \(n\) 个剩余类把整数集 \(\mathbb{Z}\) 划分为 \(n\) 个互不相交的子集，构成商集（quotient set）。\(\bar{a} = \bar{c}\) 当且仅当 \(a \equiv c \pmod{n}\)。⏱ 10:14

2剩余类环的加法与乘法定义 ⏱ 10:50

既然剩余类本身不是数，如何定义它们的运算？从星期几的例子得到启发：

定义 · 模 n 剩余类环的运算在 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 上规定：

\bar{a} + \bar{b} := \overline{a+b}, \qquad \bar{a} \cdot \bar{b} := \overline{ab}.

直观解释：星期三 \(\bar{3}\) 加星期五 \(\bar{5}\) 得 \(\overline{3+5}=\bar{8}=\bar{1}\)（星期一），运算结果仍落在某个剩余类中。

运算定义的合理性验证（良定性）

必须验证：若 \(\bar{a}=\bar{c}\)、\(\bar{b}=\bar{d}\)，则 \(\overline{a+b}=\overline{c+d}\) 且 \(\overline{ab}=\overline{cd}\)。⏱ 11:29

\(\bar{a}=\bar{c}\) 等价于 \(a \equiv c \pmod{n}\)；\(\bar{b}=\bar{d}\) 等价于 \(b \equiv d \pmod{n}\)。由同余的可加性和可乘性（上一节已证），即得 \(\overline{a+b}=\overline{c+d}\)、\(\overline{ab}=\overline{cd}\)。⏱ 12:46

因此运算定义不依赖于代表元的选取，是合理的（良定的）。

3\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 构成环 ⏱ 15:45

定理 · \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 是含幺交换环 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 关于规定的加法和乘法构成一个有单位元的交换环，其中：

加法零元（加法单位元）：\(\bar{0}\)；
任意元 \(\bar{a}\) 的加法负元：\(\overline{-a}\)；
乘法单位元：\(\bar{1}\)（满足 \(\bar{1}\cdot\bar{a} = \bar{a}\) 对所有 \(\bar{a}\) 成立）；
加法满足交换律与结合律；乘法满足结合律；乘法对加法满足左右分配律。

验证要点

加法交换律：\(\bar{a}+\bar{b} = \overline{a+b} = \overline{b+a} = \bar{b}+\bar{a}\)（由整数加法交换律立即推出）。

加法结合律：\((\bar{a}+\bar{b})+\bar{c} = \overline{a+b}+\bar{c} = \overline{(a+b)+c} = \overline{a+(b+c)} = \bar{a}+\overline{b+c} = \bar{a}+(\bar{b}+\bar{c})\)。

分配律：\(\bar{a}\cdot(\bar{b}+\bar{c}) = \overline{a(b+c)} = \overline{ab+ac} = \overline{ab}+\overline{ac} = \bar{a}\bar{b}+\bar{a}\bar{c}\)（用整数分配律）。

乘法交换律：\(\bar{a}\bar{b}=\overline{ab}=\overline{ba}=\bar{b}\bar{a}\)。⏱ 16:02

以上全部性质均由整数的相应性质"lift"（提升）而来，因为运算定义本身就是基于代表元的整数运算。

一般记号 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 称为模 \(n\) 剩余类环（residue class ring modulo \(n\)）。当 \(n=p\) 为素数时，它还有更特殊的名称——模 \(p\) 剩余类域 \(\mathbb{F}_p\)（见下节）。⏱ 17:12

4\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 何时为域？ ⏱ 18:07

先看几个小例子：

模数 \(n\)	\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)	是否域？	原因
\(n=2\)	\(\{\bar{0},\bar{1}\}\)	是	\(\bar{1}\) 非零且可逆（\(\bar{1}^2=\bar{1}\)）
\(n=3\)	\(\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}\)	是	\(\bar{2}\cdot\bar{2}=\bar{4}=\bar{1}\)，每个非零元可逆
\(n=4\)	\(\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}\)	否	\(\bar{2}\cdot\bar{2}=\bar{4}=\bar{0}\)，\(\bar{2}\) 是非零零因子，不可逆
\(n=6\)	\(\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\}\)	否	\(\bar{2}\cdot\bar{3}=\bar{6}=\bar{0}\)，\(\bar{2},\bar{3}\) 均为零因子

定理 · \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是域当且仅当 \(p\) 为素数设 \(p\) 为正整数，则 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是域 \(\iff\) \(p\) 是素数。

证明：\(p\) 为素数 \(\Rightarrow\) \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是域

前提：已知 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是有单位元的交换环，单位元 \(\bar{1}\neq\bar{0}\)（因 \(p\geq 2\)）。只需证每个非零元均可逆。⏱ 18:09

任取 \(\bar{a}\neq\bar{0}\)，即 \(1\leq a\leq p-1\)。因 \(p\) 是素数，\(p\) 不整除 \(a\)，故 \(\gcd(a,p)=1\)（\(a\) 与 \(p\) 互素）。

由贝祖等式（Bezout 定理），存在整数 \(u,v\) 使得

\[ ua + vp = 1. \]

在 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 中考察：\(vp = \bar{0}\)（因 \(p\mid vp\)），故

\bar{u}\cdot\bar{a} = \overline{ua} = \overline{1-vp} = \bar{1}-\bar{0} = \bar{1}.

因此 \(\bar{a}\) 的逆元为 \(\bar{u}\)，每个非零元均可逆，\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是域。证毕。⏱ 20:29

反向：若 \(n\) 为合数，则 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 不是域

设 \(n=ab\)，其中 \(1<a,b<n\)。则 \(\bar{a}\neq\bar{0}\)、\(\bar{b}\neq\bar{0}\)，但

\bar{a}\cdot\bar{b} = \overline{ab} = \bar{n} = \bar{0}.

\(\bar{a}\)、\(\bar{b}\) 都是零因子（non-zero zero divisors），故 \(\bar{a}\) 不可逆（若 \(\bar{a}\bar{x}=\bar{1}\)，两边乘 \(\bar{b}\) 得矛盾）。⏱ 22:47

反例\(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) 中 \(\bar{2}\cdot\bar{2}=\bar{0}\)，\(\bar{2}\) 非零却不可逆，因此 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) 不是域。

小结

\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素数）是有限域，又称伽罗瓦域\(\mathbb{F}_p\)，恰含 \(p\) 个元素；
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（\(n\) 合数）不是域，其非零元素中存在零因子；
实数域 \(\mathbb{R}\)、有理数域 \(\mathbb{Q}\) 等无限域的特征为 0，而 \(\mathbb{F}_p\) 的特征为 \(p\)（见 P84）。

★重点回顾

1

同余与剩余类：\(a\equiv b\pmod{n}\iff n\mid(a-b)\)；剩余类 \(\bar{a}=a+n\mathbb{Z}\) 是把 \(\mathbb{Z}\) 划分为 \(n\) 个互不相交子集的标准等价类。

2

运算定义良定：\(\bar{a}+\bar{b}:=\overline{a+b}\)、\(\bar{a}\bar{b}:=\overline{ab}\) 不依赖代表元选取（由同余的可加/可乘性保证）。

3

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 是含幺交换环：零元 \(\bar{0}\)、单位元 \(\bar{1}\)、负元 \(\overline{-a}\)；所有环公理由整数环直接"lift"得到。

4

域判据：\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是域 \(\iff\) \(p\) 为素数。核心证明用 Bezout 等式：\(\gcd(a,p)=1\Rightarrow ua+vp=1\Rightarrow \bar{u}\bar{a}=\bar{1}\)。

5

合数模的零因子：\(n=ab\)（\(1<a,b<n\)）时 \(\bar{a}\bar{b}=\bar{0}\)，零因子存在故非域。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆剩余类 \(\bar{a}\) 与整数 \(a\)：\(\bar{a}\) 是整数集的一个子集（等价类），不是普通的整数；运算定义必须经过"良定性"验证后才可使用。
误以为所有 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 都是域：只有 \(n\) 为素数时才构成域；\(n=4,6,8,9,\dots\) 时均有零因子，不构成域。
错误计算负元：\(\bar{a}\) 的加法负元是 \(\overline{-a}\)，在 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 中通常写成 \(\overline{n-a}\)（因为 \(\overline{-a}=\overline{n-a}\)）。
忽略零因子的存在会破坏消去律：在 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) 中 \(\bar{2}\cdot\bar{2}=\bar{0}\)，由 \(\bar{2}\bar{x}=\bar{2}\bar{y}\) 不能推出 \(\bar{x}=\bar{y}\)。
混淆 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 与 \(\mathbb{Z}_n\)：两种记号含义相同，但 \(\mathbb{Z}_n\) 在某些教材中也指 \(n\)-进数，注意上下文区分。

✎自测与作业

验证 \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\}\) 中每个非零元的乘法逆元：分别求出 \(\bar{1}^{-1},\bar{2}^{-1},\bar{3}^{-1},\bar{4}^{-1}\)。
在 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 中找出所有零因子，并验证它们不可逆。
用 Bezout 等式方法求 \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) 中 \(\bar{3}\) 的逆元（即找 \(u\) 使 \(3u\equiv 1\pmod{7}\)）。
证明：若 \(n\) 为合数，则 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 中必存在非零元 \(\bar{a}\) 使得 \(\bar{a}\) 不是单位（不可逆）。
（思考题）证明：在 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素数）中，多项式方程 \(x^{p}-x=0\) 对每个元素都成立（Fermat 小定理的剩余类环表述）。
（选做）利用 \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) 的运算表计算 \(\bar{3}\cdot\bar{5}+\bar{2}\) 与 \((\bar{3}+\bar{2})\cdot\bar{5}\)，验证分配律在此有限环中依然成立。

下一集预告第 P84 集 · 十九：非考试项 — 环与域、域的特征，将讨论一般环与域的定义，以及域的特征（characteristic）这一重要不变量。