高等代数 · 课程学习笔记

第 P88 集 · 线性映射（三）

Linear Maps III: Composition, Powers, Projections, and Idempotent Transformations
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P88 / 151 集 核心概念：复合运算 · 幂等变换 · 投影变换 · 线性映射的环结构
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◎学习目标

  1. 理解线性映射的复合（乘法）运算的定义与条件；
  2. 掌握复合运算满足结合律但不满足交换律；
  3. 掌握左右分配律（加法和数乘对复合的分配）；
  4. 理解 \(\operatorname{End}(V)=\operatorname{Hom}(V,V)\) 构成有单位元的非交换环；
  5. 理解幂等变换（\(P^2=P\)）的概念，掌握投影变换的定义与性质。

1线性映射的复合（乘法）运算 ⏱ 00:00

设 \(A:V\to U\) 和 \(B:U\to W\) 都是线性映射，从映射（函数）的角度，自然可以定义它们的复合：

定义 · 线性映射的复合 定义 \(B\circ A:V\to W\) 为：
\[ (B\circ A)(\alpha)=B\bigl(A(\alpha)\bigr),\quad \forall\,\alpha\in V. \]
注意：先作用 \(A\)，再作用 \(B\)，记作 \(BA\)（省略 \(\circ\)）。
命题 · 复合仍是线性映射 若 \(A\in\operatorname{Hom}(V,U)\)，\(B\in\operatorname{Hom}(U,W)\)，则 \(BA\in\operatorname{Hom}(V,W)\)。

证明：

\[(BA)(u+v)=B(A(u+v))=B(A(u)+A(v))=B(A(u))+B(A(v))=(BA)(u)+(BA)(v),\] \[(BA)(cu)=B(A(cu))=B(c\,A(u))=c\,B(A(u))=c\,(BA)(u).\]
可复合的条件 注意：只有当前一个映射的目标空间等于后一个映射的定义域时，才能做复合。即 \(A:V\to U\)、\(B:U\to W\)，则 \(BA:V\to W\)。⏱ 03:00

2运算律：结合律与分配律 ⏱ 02:00

命题 · 复合满足结合律 设 \(A:V\to U\)，\(B:U\to W\)，\(C:W\to Z\)，则
\[ C(BA)=(CB)A. \]
证明：对任意 \(\alpha\in V\)，两边都等于 \(C(B(A(\alpha)))\)。
复合不满足交换律 一般 \(BA\neq AB\)。即使 \(A,B\in\operatorname{End}(V)\)，复合也不交换。⏱ 02:20

反例：取 \(V=\mathbb{R}^2\)，\(A(x,y)=(y,0)\)（投影到 \(x\) 轴），\(B(x,y)=(0,x)\)（投影到 \(y\) 轴）。则 \(AB(x,y)=A(0,x)=(x,0)\)，但 \(BA(x,y)=B(y,0)=(0,y)\)，显然不同。

命题 · 左右分配律 对 \(A,B\in\operatorname{Hom}(V,U)\)，\(C\in\operatorname{Hom}(U,W)\)，以及 \(k\in F\)：
\[ C(A+B)=CA+CB,\qquad (A+B)C=AC+BC, \] \[ (kA)B=k(AB)=A(kB). \]

3线性变换的幂与环结构 ⏱ 08:00

当 \(W=V\) 时，\(\operatorname{Hom}(V,V)\) 中任意两个元素都可以做复合（乘法），因为定义域和目标空间都是 \(V\)。

定义 · 线性变换的幂 设 \(A\in\operatorname{End}(V)\)，\(m\in\mathbb{N}\)（非负整数），定义
\[ A^0:=I,\quad A^m:=\underbrace{A\circ A\circ\cdots\circ A}_{m\text{ 次}},\quad m\ge 1. \]
若 \(A\) 可逆，还可定义 \(A^{-m}:=(A^{-1})^m\)（\(m\) 为正整数）。
幂的运算性质 对任意 \(m,l\in\mathbb{N}\)：
\[ A^m\cdot A^l=A^{m+l},\qquad (A^m)^l=A^{ml}. \]
定理 · End(V) 是环 \(\operatorname{End}(V)=\operatorname{Hom}(V,V)\) 关于加法和复合构成有单位元的环：
  • 加法：\((A+B)(\alpha)=A(\alpha)+B(\alpha)\)（交换群）；
  • 乘法（复合）：满足结合律和左右分配律；
  • 单位元：恒等变换 \(I\)；
  • 非交换环：一般 \(AB\neq BA\)。
丘老师强调 "\(\operatorname{End}(V)\) 是环，有单位元，但不是交换环。"这个结论非常重要，后续的矩阵环 \(M_n(F)\) 也是非交换有单位元环，两者通过基的选择同构。⏱ 09:30

4投影变换与幂等变换 ⏱ 11:15

从几何直观出发：在平面 \(V\) 中，取过原点 \(O\) 的一条直线 \(W\) 和一个不与此直线重合的定向，则每个向量 \(\alpha\) 可沿该方向"投影"到 \(W\) 上，得到一个向量 \(\alpha_1\in W\)。

几何例子

设 \(V\) 是平面，\(U\) 是过原点的 \(x\) 轴，\(W\) 是过原点的 \(y\) 轴，则 \(V=U\oplus W\)。对任意 \(\alpha\in V\)，唯一分解 \(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)（\(\alpha_1\in U\)，\(\alpha_2\in W\)），定义 平行投影 \(P_U:\;P_U(\alpha)=\alpha_1\)。

定义 · 投影变换 设 \(V=U\oplus W\)，定义 \(P_V:V\to V\) 如下：对任意 \(\alpha\in V\)，唯一分解 \(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)（\(\alpha_1\in U\)，\(\alpha_2\in W\)），令
\[ P_V(\alpha):=\alpha_1. \]
\(P_V\) 称为沿 \(W\) 方向到 \(U\) 上的投影变换。
证明 \(P_V\) 是线性变换

设 \(\alpha=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta=\beta_1+\beta_2\)，其中 \(\alpha_i\in U\)，\(\beta_i\in W\)。⏱ 13:00

保加法：\(\alpha+\beta=(\alpha_1+\beta_1)+(\alpha_2+\beta_2)\)，而 \(\alpha_1+\beta_1\in U\)，\(\alpha_2+\beta_2\in W\)，由直和分解的唯一性，\(P_V(\alpha+\beta)=\alpha_1+\beta_1=P_V(\alpha)+P_V(\beta)\)。

保数乘：\(c\alpha=c\alpha_1+c\alpha_2\)，且 \(c\alpha_1\in U\)，\(c\alpha_2\in W\)，故 \(P_V(c\alpha)=c\alpha_1=c\,P_V(\alpha)\)。

投影变换的基本性质
  1. 若 \(\alpha\in U\)，则 \(P_V(\alpha)=\alpha\)（在 \(U\) 上不动）；
  2. 若 \(\alpha\in W\)，则 \(P_V(\alpha)=\mathbf{0}\)（映到零向量）；
  3. 幂等性：\(P_V^2=P_V\)（即 \(P_V\circ P_V=P_V\)）。
定义 · 幂等变换 设 \(A\in\operatorname{End}(V)\)。若 \(A^2=A\)（即 \(A\circ A=A\)），则称 \(A\) 为幂等变换（idempotent transformation）。
核心结论 投影变换一定是幂等变换；反之，每个幂等变换都对应某个直和分解下的投影。

丘老师反复强调：投影是我们研究线性映射始终要抓住的技术例子——它是几何直观最清晰的线性变换，几乎所有抽象性质都能在投影上找到具体对应。⏱ 16:00

幂等变换的结构定理（补充）

设 \(A\in\operatorname{End}(V)\) 满足 \(A^2=A\)。令 \(U=\operatorname{Im}(A)\)（值域），\(W=\ker(A)\)（核）。则：

  • 对任意 \(\alpha\in U\)，存在 \(\beta\in V\) 使 \(\alpha=A(\beta)\)，故 \(A(\alpha)=A^2(\beta)=A(\beta)=\alpha\)，即 \(A|_U=I_U\)；
  • 对任意 \(\omega\in W\)，\(A(\omega)=\mathbf{0}\)；
  • 任意 \(\alpha\in V\) 可分解为 \(\alpha=A(\alpha)+(\alpha-A(\alpha))\)，其中 \(A(\alpha)\in U\)，\(\alpha-A(\alpha)\in W\)（因为 \(A(\alpha-A(\alpha))=A^2(\alpha)-A(\alpha)=A(\alpha)-A(\alpha)=\mathbf{0}\)）；
  • 且 \(U\cap W=\{\mathbf{0}\}\)，故 \(V=U\oplus W\)，且 \(A\) 正是沿 \(W\) 到 \(U\) 的投影。

5可逆线性变换的逆仍是线性的 ⏱ 18:00

命题 设 \(A\in\operatorname{End}(V)\) 是可逆线性变换，则其逆映射 \(A^{-1}\) 也是 \(V\) 上的线性变换。
证明

需验证 \(A^{-1}\) 保加法和保数乘。

保加法：设 \(u,v\in V\)，令 \(\alpha=A^{-1}(u)\)，\(\beta=A^{-1}(v)\)，则 \(A(\alpha)=u\)，\(A(\beta)=v\)。由 \(A\) 的线性：

\[ A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta)=u+v. \]

两边作用 \(A^{-1}\)：\(\alpha+\beta=A^{-1}(u+v)\)，即 \(A^{-1}(u)+A^{-1}(v)=A^{-1}(u+v)\)。

保数乘：类似，\(A(c\alpha)=c\,A(\alpha)=cu\)，故 \(A^{-1}(cu)=c\,A^{-1}(u)\)。

故 \(A^{-1}\in\operatorname{End}(V)\)。⏱ 19:00

★重点回顾

1
复合运算：\(BA:V\xrightarrow{A}U\xrightarrow{B}W\)，定义域匹配才可复合；满足结合律，不满足交换律。
2
运算律：\((A+B)C=AC+BC\)，\(A(B+C)=AB+AC\)，\((cA)B=c(AB)=A(cB)\)。
3
\(\operatorname{End}(V)\) 是环：有加法（交换群）、乘法（复合，结合）、左右分配律、单位元 \(I\)，但非交换。
4
幂等变换：\(A^2=A\)；投影变换是幂等变换的具体例子，对应直和分解 \(V=U\oplus W\)。
5
可逆变换的逆仍是线性的：可逆线性变换的集合 \(\operatorname{GL}(V)\) 构成群（一般线性群）。

⚠常见误区提醒

常见错误
  1. 误认为复合运算可交换：一般 \(AB\neq BA\)，即使都是同一个空间上的线性变换。
  2. 混淆"投影"与"正交投影"：本课的投影是沿 \(W\) 方向到 \(U\) 的平行投影，不一定是正交投影（正交投影是内积空间的概念）。
  3. 幂等变换的定义记错：幂等变换是 \(A^2=A\)，不是 \(A^2=I\)（后者是对合变换/involution）。
  4. 忽略复合的前提条件：\(BA\) 要求 \(A\) 的值域包含于 \(B\) 的定义域；不是任意两个线性变换都能复合。
  5. 把投影当成唯一特殊变换：投影是贯穿整个线性映射理论的核心例子，几乎所有抽象结论都能在投影上找到具体验证，务必反复体会。

✎自测题

  1. 设 \(A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)，\(A(x,y)=(x+y,\;x-y)\)；\(B:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)，\(B(x,y)=(2x,\;3y)\)。
    计算 \(AB\) 和 \(BA\)，验证 \(AB\neq BA\)。
  2. 设 \(A,B,C\in\operatorname{End}(V)\)，验证 \((A+B)C=AC+BC\)（左分配律）。
  3. 证明：若 \(A^2=A\)，则 \((I-A)^2=I-A\)。（即 \(I-A\) 也是幂等变换。）
  4. 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，设 \(U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)，\(W=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}\)。求沿 \(W\) 到 \(U\) 的投影变换 \(P_U\) 的矩阵表示。
  5. 证明：投影变换 \(P\) 的幂等性 \(P^2=P\) 等价于：对任意 \(\alpha\in V\)，\(P(\alpha)\) 属于投影的目标子空间，且在该子空间上 \(P\) 是恒等变换。
  6. （思考）设 \(A\) 是可逆线性变换，证明 \(A^{-1}\) 也是线性变换，并利用此结论说明：若 \(A\) 是幂等变换且可逆，则必有 \(A=I\)。
本章小结 第三章至第六章主线回顾：研究线性空间的结构有五条途径——基与维数、子空间直和、同构、对偶空间、线性映射。本章（第六章）系统展开线性映射理论，后续将引入矩阵表示，建立线性映射与矩阵之间的桥梁。⏱ 22:00