高等代数 · 课程学习笔记

第 P90 集 · 五：核的商空间同构于象

First Isomorphism Theorem for Linear Mappings
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P90 / 151 集 核心概念：商空间 · 诱导映射 · 第一同构定理 · 零度-秩定理
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◎学习目标

  1. 理解商空间的直观几何图像：将原空间沿核方向平移，得到一族平行的"纤维"；
  2. 掌握诱导映射 \(\sigma: V/\operatorname{Ker}(A)\to\operatorname{Im}(A)\) 的良定性与线性性证明；
  3. 熟练运用第一同构定理：\(V/\operatorname{Ker}(A)\cong\operatorname{Im}(A)\)；
  4. 从第一同构定理快速推导出零度-秩定理；
  5. 理解有限维线性变换中单射、满射、双射三者等价的深刻原因。

1从投影例子到一般猜想 ⏱ 00:01

回顾 P89 中的投影变换 \(P_U\)（平行 \(W\)、投影到 \(U\)，其中 \(V=U\oplus W\)）：

\[ \operatorname{Ker}(P_U) = W, \qquad \operatorname{Im}(P_U) = U. \]

在三维欧氏空间中，考虑 \(V/\operatorname{Ker}(P_U)=V/W\)：每一个陪集 \(\alpha+W\) 是平行于 \(W\)（一条直线）的一族平行直线。沿固定方向投影到 \(U\)（一个平面），每条直线与 \(U\) 有唯一交点。这给出一个对应法则 \(\sigma\)：

\[ \sigma(\alpha+W) = P_U(\alpha). \]

丘老师通过画图（三维空间中直线沿平行方向投影到平面）直观说明：⏱ 02:37

关键洞察 因此 \(V/W\)（即 \(V/\operatorname{Ker}(P_U)\)）与 \(\operatorname{Im}(P_U)=U\) 同构。这让我们自然猜想：对任意线性映射 \(A:V\to W\)，是否都有 \(V/\operatorname{Ker}(A)\cong\operatorname{Im}(A)\)？⏱ 07:49

2诱导映射的构造与良定性 ⏱ 08:03

一般情形下，设 \(A:V\to W\) 是线性映射。定义映射：

诱导映射 \(\sigma\)
\[ \sigma: V/\operatorname{Ker}(A) \longrightarrow \operatorname{Im}(A), \quad \sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A)) = A(\alpha). \]
良定性证明（关键步骤）

需验证：若 \(\alpha+\operatorname{Ker}(A)=\beta+\operatorname{Ker}(A)\)，则 \(A(\alpha)=A(\beta)\)。⏱ 09:40

\(\alpha+\operatorname{Ker}(A)=\beta+\operatorname{Ker}(A)\iff \alpha-\beta\in\operatorname{Ker}(A)\iff A(\alpha-\beta)=0_W\iff A(\alpha)=A(\beta)\)。⏱ 10:16

故 \(\sigma\) 不依赖于陪集代表元的选取，良定性得证。

单射证明

若 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=\sigma(\beta+\operatorname{Ker}(A))\)，则 \(A(\alpha)=A(\beta)\)，从而 \(\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}(A)\)，即 \(\alpha+\operatorname{Ker}(A)=\beta+\operatorname{Ker}(A)\)。故 \(\sigma\) 单射。⏱ 11:28

满射证明

对任意 \(\gamma\in\operatorname{Im}(A)\)，存在 \(\alpha\in V\) 使 \(A(\alpha)=\gamma\)。取陪集 \(\alpha+\operatorname{Ker}(A)\)，则 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=A(\alpha)=\gamma\)。故 \(\sigma\) 满射。⏱ 11:52

线性性证明

加法：

\[ \sigma((\alpha+\operatorname{Ker}(A))+(\beta+\operatorname{Ker}(A))) = \sigma((\alpha+\beta)+\operatorname{Ker}(A)) = A(\alpha+\beta) = A(\alpha)+A(\beta) = \sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))+\sigma(\beta+\operatorname{Ker}(A)). \]

数乘（\(k\in F\)）：

\[ \sigma(k(\alpha+\operatorname{Ker}(A))) = \sigma(k\alpha+\operatorname{Ker}(A)) = A(k\alpha) = kA(\alpha) = k\,\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A)). \]

故 \(\sigma\) 是线性映射（同构映射）。⏱ 12:45

3第一同构定理 ⏱ 13:08

定理 · 第一同构定理（线性映射情形） 设 \(A: V \to W\) 是域 \(F\) 上线性空间的线性映射，则
\[ V/\operatorname{Ker}(A) \cong \operatorname{Im}(A). \]
同构映射 \(\sigma\) 由 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=A(\alpha)\) 给出。

此定理将商空间与象建立起精确的同构关系，是线性代数中最基本也最重要的定理之一。⏱ 13:08

几何直观 商空间 \(V/\operatorname{Ker}(A)\) 的每个元素是核的一个陪集（即"核的平移"），这些陪集恰好被 \(A\) 一一对应到象中的元素。商空间"商掉"了核方向的冗余信息，只剩下象的信息。

4零度-秩定理的推导 ⏱ 15:59

当 \(V\) 为有限维时，第一同构定理立刻推出零度-秩定理：

推论 · 零度-秩定理 设 \(A:V\to W\) 线性映射，\(V\) 有限维，则
\[ \dim V = \dim\operatorname{Ker}(A) + \dim\operatorname{Im}(A). \]
证明

由第一同构定理，\(V/\operatorname{Ker}(A)\cong\operatorname{Im}(A)\)，故两者维数相等：⏱ 16:02

\[ \dim(V/\operatorname{Ker}(A)) = \dim\operatorname{Im}(A). \]

而商空间维数公式为 \(\dim(V/\operatorname{Ker}(A))=\dim V-\dim\operatorname{Ker}(A)\)，代入即得：

\[ \dim V - \dim\operatorname{Ker}(A) = \dim\operatorname{Im}(A) \;\Longrightarrow\; \dim V = \dim\operatorname{Ker}(A) + \dim\operatorname{Im}(A). \quad\blacksquare \]
术语约定 \(\dim\operatorname{Ker}(A)\) 称为 \(A\) 的零度（nullity），\(\dim\operatorname{Im}(A)\) 称为 \(A\) 的秩（rank），记作 \(\operatorname{rank}(A)\)。零度-秩定理即 \(\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)=\dim V\)。

5有限维线性变换的单射与满射等价 ⏱ 20:25

定理 · 有限维自映射的单射↔满射 设 \(V\) 是有限维线性空间，\(A:V\to V\) 是其线性变换，则
\[ A \text{ 单射} \iff A \text{ 满射} \iff A \text{ 双射}. \]
证明

单射 \(\Rightarrow\) 满射：\(A\) 单射 \(\Rightarrow\operatorname{Ker}(A)=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Ker}(A)=0\)。由零度-秩定理：⏱ 21:06

\[ \dim\operatorname{Im}(A) = \dim V - \dim\operatorname{Ker}(A) = \dim V. \]

又 \(\operatorname{Im}(A)\subseteq V\)，有限维子空间维数等于全空间维数当且仅当子空间等于全空间，故 \(\operatorname{Im}(A)=V\)，即 \(A\) 满射。

满射 \(\Rightarrow\) 单射：\(A\) 满射 \(\Rightarrow\operatorname{Im}(A)=V\Rightarrow\dim\operatorname{Im}(A)=\dim V\)。由定理：⏱ 22:04

\[ \dim\operatorname{Ker}(A) = \dim V - \dim\operatorname{Im}(A) = 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{Ker}(A)=\{0\}, \]

故 \(A\) 单射。⏱ 22:18

丘老师强调有限维线性变换单射必满射、满射必单射，这与有限集合上单射必满射的道理一致，是有限维空间的独特性质，务必牢记。

★重点回顾

1
第一同构定理：\(V/\operatorname{Ker}(A)\cong\operatorname{Im}(A)\)，通过诱导映射 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=A(\alpha)\) 建立。
2
良定性证明是关键：利用 \(\alpha+\operatorname{Ker}(A)=\beta+\operatorname{Ker}(A)\iff\alpha-\beta\in\operatorname{Ker}(A)\iff A(\alpha)=A(\beta)\) 完成。
3
零度-秩定理是第一同构定理的维数推论：\(\dim V=\dim\operatorname{Ker}(A)+\dim\operatorname{Im}(A)\)。
4
有限维自映射单射、满射、双射三者等价，本质原因是零度-秩定理消去了核与象之间的"差额"。
5
几何直观：商空间是"把核方向压扁"后的空间，象是压扁后剩下的有效信息，两者本质相同。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 误认为 \(V/\operatorname{Ker}(A)\) 是 \(V\) 的子空间：商空间不是子空间，它是陪集构成的集合，其元素是子集而非向量。
  2. 忽略良定性验证：定义 \(\sigma(\alpha+\operatorname{Ker}(A))=A(\alpha)\) 后，必须首先验证该定义不依赖代表元选取，否则后续讨论均无效。
  3. 零度-秩定理对无限维不适用：定理中 \(\dim V\) 须为有限数，否则等式无意义。
  4. 混淆 "单射 ↔ 满射" 的适用范围：该等价只对自映射 \(V\to V\) 成立，对一般的 \(A:V\to W\)（\(V\neq W\)）不成立。

✎自测与作业

  1. 设 \(A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) 由矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\) 给出。求 \(\operatorname{Ker}(A)\) 的基、\(\dim\operatorname{Ker}(A)\)、\(\dim\operatorname{Im}(A)\)，并验证零度-秩定理。
  2. 设 \(A:V\to W\) 线性映射，\(V\) 有限维。证明：\(A\) 单射当且仅当 \(\operatorname{rank}(A)=\dim V\)。
  3. （证明题）用第一同构定理证明：若 \(A:V\to V\) 是有限维线性变换且 \(A^2=A\)（幂等），则 \(V=\operatorname{Ker}(A)\oplus\operatorname{Im}(A)\)。
  4. 设 \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) 由矩阵 \(T=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&1&0\\1&1&3&1\end{pmatrix}\) 给出。求 \(\operatorname{Ker}(T)\) 的维数，并判断 \(T\) 是否单射/满射。
  5. （思考）为什么无限维情形下单射不蕴含满射？试构造一个无限维空间上的单射但非满射的线性变换（如右移位算子）。
下一集预告 第 P91 集 · 六：线性变换与线性映射的矩阵——选定基之后，每个线性映射对应唯一矩阵，建立线性映射与矩阵之间的一一对应关系。