高等代数 · 第 P91 集 · 六：线性变换与线性映射的矩阵

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◎学习目标

理解线性变换矩阵表示的基本思想：选定基后，线性变换由它在基向量上的作用唯一决定；
掌握矩阵元素的下标约定：\(A\alpha_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\alpha_i\) 中，第一下标为行（向量分量），第二下标为列（基向量序号）；
理解 \(V^n\)（\(V\) 的 \(n\) 次笛卡尔积）作为线性空间的构造；
掌握向量组与矩阵乘法的定义及其运算律（结合律、左右分配律）；
建立线性变换与矩阵一一对应的观念：给定基后，每个线性变换对应唯一矩阵，反之亦然。

1从投影例子引出矩阵表示 ⏱ 00:01

回到 P89 中的投影变换 \(P_U\)（平行 \(W\)、投影到 \(U\)，\(V=U\oplus W\)，\(\dim V=3\)）。在 \(V\) 中取基 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)，其中 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\in U\)，\(\varepsilon_3\in W\)。计算 \(P_U\) 对三个基向量的作用：

P_U(\varepsilon_1)=\varepsilon_1=1\cdot\varepsilon_1+0\cdot\varepsilon_2+0\cdot\varepsilon_3, \] \[ P_U(\varepsilon_2)=\varepsilon_2=0\cdot\varepsilon_1+1\cdot\varepsilon_2+0\cdot\varepsilon_3, \] \[ P_U(\varepsilon_3)=0=0\cdot\varepsilon_1+0\cdot\varepsilon_2+0\cdot\varepsilon_3.

将每个基向量的像的坐标列依次排成矩阵的各列：

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

丘老师强调：这个矩阵完全决定了投影变换 \(P_U\)——因为一旦知道基向量的像，由线性性，任意向量的像即可确定。⏱ 01:22

关键思想线性变换是抽象的，但选定基之后，它就被"翻译"成了一个具体的矩阵。矩阵是可以计算的，这就把抽象的线性变换问题转化成了矩阵运算问题。这是本节的核心目的。

2线性空间 \(V^n\) 的定义 ⏱ 07:50

为给出简洁的矩阵表示记号，先引入 \(V\) 的 \(n\) 次笛卡尔积 \(V^n\)。

定义 · \(V^n\) 设 \(V\) 是域 \(F\) 上线性空间。\(V^n\) 是所有有序 \(n\) 元组 \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\)（其中 \(\alpha_i\in V\)）构成的集合，配备如下运算：⏱ 08:41

(\alpha_1,\dots,\alpha_n)+(\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1+\beta_1,\dots,\alpha_n+\beta_n),\] \[k(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(k\alpha_1,\dots,k\alpha_n).

在此运算下，\(V^n\) 构成 \(F\) 上的线性空间（加法交换/结合、零元 \((0,\dots,0)\)、负元分量取负、数乘四条运算律均成立）。这是 \(F^n\)（\(n\) 元有序数组空间）的抽象推广。⏱ 11:28

3向量组与矩阵的乘法 ⏱ 12:39

设 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in V^n\)，\(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 行 \(m\) 列矩阵（元素属于 \(F\)）。定义乘积：

定义 · 向量组乘矩阵

(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot A = \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i1}\alpha_i,\;\sum_{i=1}^{n} a_{i2}\alpha_i,\;\dots,\;\sum_{i=1}^{n} a_{im}\alpha_i\right) \in V^m.

即第 \(j\) 个分量为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\alpha_i\)（与通常矩阵乘法规则一致）。⏱ 13:48

此定义完全模仿矩阵乘法的法则，因此自动满足以下运算律：⏱ 15:41

运算律

结合律：\(((\alpha_1,\dots,\alpha_n)A)B = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)(AB)\)（要求矩阵可乘）；
左分配律：\((\alpha_1,\dots,\alpha_n)(A+B) = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)A + (\alpha_1,\dots,\alpha_n)B\)；
右分配律：\((\alpha_1,\dots,\alpha_n)A + (\beta_1,\dots,\beta_n)A = (\alpha_1+\beta_1,\dots,\alpha_n+\beta_n)A\)；
数乘和谐：\(k\cdot((\alpha_1,\dots,\alpha_n)A) = (k\alpha_1,\dots,k\alpha_n)A = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)(kA)\)。

4线性变换的矩阵定义 ⏱ 18:08

设 \(V\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间，\(A:V\to V\) 是线性变换，\(\mathcal{B}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 是 \(V\) 的一个基。每个 \(A(\alpha_j)\) 仍属于 \(V\)，故可唯一表为基的线性组合：

A(\alpha_j) = a_{1j}\alpha_1 + a_{2j}\alpha_2 + \cdots + a_{nj}\alpha_n = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\alpha_i, \quad j=1,2,\dots,n.

这里 第一下标 \(i\) 是行数（对应第 \(i\) 个基向量的系数），第二下标 \(j\) 是列数（对应第 \(j\) 个基向量）。将所有系数拼成矩阵：

定义 · 线性变换的矩阵矩阵 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\) 称为线性变换 \(A\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵，记作 \([A]_\mathcal{B}\)。用向量组记号可紧凑地写成：

(A(\alpha_1),\,A(\alpha_2),\,\dots,\,A(\alpha_n)) = (\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_n)\cdot A.

几何意义：矩阵的第 \(j\) 列正是基向量 \(\alpha_j\) 经 \(A\) 变换后所得向量的坐标列。⏱ 23:26

定理 · 矩阵表示唯一确定线性变换给定基 \(\mathcal{B}\) 后，线性变换 \(A\) 与其矩阵 \(A\) 之间是一一对应：

变换→矩阵：把每个基向量的像按基展开，系数排成列，得唯一矩阵；
矩阵→变换：给定矩阵 \((a_{ij})\)，由线性性唯一确定 \(A(\alpha_j)=\sum_i a_{ij}\alpha_i\)，再延拓到全空间。

5矩阵表示的几何含义与计算 ⏱ 24:00

以投影 \(P_U\) 为例（基 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\in U\)，\(\varepsilon_3\in W\)）：

P_U(\varepsilon_1)=\varepsilon_1 \;\Rightarrow\; \text{第1列}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad P_U(\varepsilon_2)=\varepsilon_2 \;\Rightarrow\; \text{第2列}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad P_U(\varepsilon_3)=0 \;\Rightarrow\; \text{第3列}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.

故矩阵为对角阵 \(\operatorname{diag}(1,1,0)\)，其中两个 1 对应 \(U\) 的维数，一个 0 对应 \(W\) 的维数。⏱ 24:48

一旦矩阵已知，任一向量 \(\alpha = x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+x_3\varepsilon_3\) 的像即可快速计算：

[P_U(\alpha)]_\mathcal{B} = A\cdot[\alpha]_\mathcal{B} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix},

即 \(P_U(\alpha)=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2\)，这正是 \(\alpha\) 在 \(U\) 上的投影坐标，与几何直观完全吻合。⏱ 25:20

丘老师提示矩阵表示把抽象的线性变换问题全部转化为矩阵的初等运算问题，这是线性代数最重要的方法论之一。选定不同基，同一变换的矩阵不同，但矩阵之间满足相似关系（本节未展开，待后续章节）。⏱ 25:55

★重点回顾

矩阵表示的核心：选定基后，线性变换被"翻译"为矩阵；矩阵的第 \(j\) 列 = 第 \(j\) 个基向量经变换后的坐标列。

下标约定：\(A\alpha_j=\sum_i a_{ij}\alpha_i\)，第一下标 \(i\) 为行（分量序号），第二下标 \(j\) 为列（基向量序号）。

\(V^n\) 与矩阵乘法：\((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\cdot A\) 定义为各分量按矩阵列线性组合，满足结合律、左右分配律。

一一对应：给定基后，线性变换↔矩阵是双射；不同基下同一变换的矩阵不同（相似变换），但本质相同。

计算方法：求线性变换矩阵 = 把每个基向量的像按基展开，系数列成矩阵的列。

⚠易错点提醒

常见错误

矩阵列与行的混淆：矩阵第 \(j\) 列是 \(\alpha_j\) 的像的坐标，不是 \(\alpha_j\) 本身的坐标；下标 \((i,j)\) 中 \(j\) 是列（基向量序号），不要反了。
忘记指定基：同一线性变换在不同基下矩阵不同，必须明确说明"在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵"；脱离基谈矩阵没有意义。
矩阵乘法顺序错误：向量组乘矩阵写作 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)（行向量组左乘矩阵），而非 \(A(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)。
混淆线性变换的矩阵与线性映射的矩阵：线性变换是 \(V\to V\)，矩阵为方阵；一般线性映射 \(V\to W\) 的矩阵为 \(\dim W\times\dim V\) 的矩形矩阵（下集将讨论）。
误认为基变换不改变矩阵：基改变时，矩阵作相似变换 \(P^{-1}AP\)，数值会变，但变换本身不变。

✎自测与作业

设 \(V=\mathbb{R}^3\)，基 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\;\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\;\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)。线性变换 \(A(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;z-x)\)。求 \(A\) 在该基下的矩阵。
设 \(A\) 在基 \(\mathcal{B}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\) 下的矩阵为 \(\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)。求 \(A(\alpha_1),A(\alpha_2),A(\alpha_3)\) 的表达式。
设 \(V=\mathbb{R}^2\)，\(A\) 为绕原点逆时针旋转 \(90°\) 的变换。在标准基下求 \(A\) 的矩阵；再在基 \(\beta_1=(1,1)^T,\;\beta_2=(1,-1)^T\) 下求 \(A\) 的矩阵，并验证两者相似。
设 \((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in V^3\)，\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\)（3行2列）。按定义计算 \((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\cdot A\)，并验证它属于 \(V^2\)。
（思考）为什么线性变换在给定基下的矩阵是唯一的？若 \(A(\alpha_j)=\sum_i a_{ij}\alpha_i=\sum_i b_{ij}\alpha_i\) 对所有 \(j\) 成立，证明 \(a_{ij}=b_{ij}\)。

下集预告第 P92 集将讨论线性映射（\(V\to W\)，\(V\neq W\)）的矩阵表示，以及基变换下矩阵的相似变换公式 \(B=P^{-1}AP\)。