高等代数 · 课程学习笔记

第 P92 集 · 七：线性映射与矩阵关系

The Matrix of a Linear Mapping and Its Relation to the Mapping
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P92 / 151 集 核心概念：线性映射的矩阵 · 同构映射 · 矩阵相似
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◎学习目标

  1. 理解线性映射的矩阵表示：给定 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(V'\) 的基 \(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s\)，线性映射 \(\mathscr{A}\) 的矩阵 \(A\) 由 \(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)A\) 唯一确定；
  2. 掌握Sigma 映射 \(\Sigma:\mathscr{H}om(V,V')\to M_{s\times n}(F)\) 的定义，并证明它保持加法与数乘运算；
  3. 理解 Sigma 是同构映射：它是从线性映射空间到矩阵空间的双射，从而两空间维数相等，\(\dim\mathscr{H}om(V,V') = \dim V' \cdot \dim V\)；
  4. 理解矩阵相似的初步概念：同一线性变换在不同基下的矩阵通过可逆矩阵相联系。

1线性映射在基对下的矩阵 ⏱ 00:02

设 \(\mathscr{A}\) 是 \(F\) 上线性空间 \(V\) 到 \(V'\) 的线性映射，\(V\) 取定基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，\(V'\) 取定基 \(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s\)。每个 \(\mathscr{A}(\alpha_i)\) 作为 \(V'\) 中的向量，在该基下有唯一坐标列向量：

\[ \mathscr{A}(\alpha_i) = a_{1i}\alpha'_1 + a_{2i}\alpha'_2 + \cdots + a_{si}\alpha'_s, \quad i=1,\dots,n. \]

把这 \(n\) 个坐标列向量作为列排成一矩阵，就得到 \(s\times n\) 矩阵 \(A=(a_{ij})\)：

定义 · 线性映射的矩阵
\[ (\mathscr{A}(\alpha_1),\;\mathscr{A}(\alpha_2),\;\cdots,\;\mathscr{A}(\alpha_n)) = (\alpha'_1,\;\alpha'_2,\;\cdots,\;\alpha'_s)\,A \]
矩阵 \(A\) 称为线性映射 \(\mathscr{A}\) 在 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(V'\) 的基 \(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s\) 下的矩阵。⏱ 00:40

用简洁记号（式三）表示：\(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = \alpha'_1,\dots,\alpha'_s)A\)。⏱ 01:20

关键基给定后，线性映射的矩阵是唯一确定的——每一列就是对应基向量的像在该基下的坐标。

2Sigma 映射：保持加法与数乘 ⏱ 16:09

定义映射 \(\Sigma:\mathscr{H}om(V,V')\to M_{s\times n}(F)\)，把每个线性映射 \(\mathscr{A}\) 映到它在给定基对下的矩阵 \(A\)：

\[ \Sigma(\mathscr{A}) = A, \qquad \text{其中 } \mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = (\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)\,A. \]
证明 \(\Sigma\) 保持加法和数乘

加法：设 \(\mathscr{A},\mathscr{B}\in\mathscr{H}om(V,V')\)，\(\Sigma(\mathscr{A})=A\)，\(\Sigma(\mathscr{B})=B\)。则

\[ (\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha_i) = \mathscr{A}(\alpha_i) + \mathscr{B}(\alpha_i). \]

右端分别等于 \((\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)\) 乘以 \(A\) 的第 \(i\) 列、\(B\) 的第 \(i\) 列，故和为 \((\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)\) 乘以 \(A+B\) 的第 \(i\) 列。⏱ 21:20 因此 \(\Sigma(\mathscr{A}+\mathscr{B})=A+B\)。

数乘：设 \(k\in F\)，则 \(k\mathscr{A}\) 作用在 \(\alpha_i\) 上等于 \(k\) 乘以 \(\mathscr{A}(\alpha_i)\)。提取公因子 \(k\) 到矩阵前，得 \(\Sigma(k\mathscr{A})=kA\)。⏱ 28:30

结论 \(\Sigma\) 保持加法和数乘运算，是一个线性映射（从线性映射空间到矩阵空间的同态）。

3Sigma 是双射：线性映射空间与矩阵空间同构 ⏱ 38:48

证明 \(\Sigma\) 是满射

任取矩阵 \(C\in M_{s\times n}(F)\)，将其按列分块为 \(C=(C_1,C_2,\dots,C_n)\)。对每一列 \(C_i=(c_{1i},\dots,c_{si})^T\)，把它看作 \(V'\) 中某个向量 \(\beta_i\) 在基 \(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s\) 下的坐标：⏱ 39:28

\[ \beta_i = c_{1i}\alpha'_1 + c_{2i}\alpha'_2 + \cdots + c_{si}\alpha'_s. \]

由《第一节的定理 E》：给定 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(V'\) 中任意 \(n\) 个向量 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)，存在唯一的线性映射 \(\mathscr{C}\) 使得 \(\mathscr{C}(\alpha_i)=\beta_i\)。且 \(\Sigma(\mathscr{C})=C\)。⏱ 42:23

证明 \(\Sigma\) 是单射

若 \(\Sigma(\mathscr{A})=\Sigma(\mathscr{B})\)，即 \(A=B\)，则 \(\mathscr{A}(\alpha_i)=\mathscr{B}(\alpha_i)\) 对所有 \(i\) 成立。因 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 生成 \(V\)，且线性映射由它在基上的作用唯一决定，故 \(\mathscr{A}=\mathscr{B}\)。⏱ 44:52

定理 · Sigma 是同构映射 \(\Sigma:\mathscr{H}om(V,V')\to M_{s\times n}(F)\) 是线性空间同构（双射 + 保持加法与数乘）。⏱ 47:33
推论 · 维数公式
\[ \dim\mathscr{H}om(V,V') = s\times n = \dim V' \cdot \dim V. \]
特别地，当 \(V'=V\) 时，\(\dim\mathscr{H}om(V,V)=\dim V^2=n^2\)，即 \(n\) 级矩阵空间维数为 \(n^2\)。⏱ 01:17:56

4矩阵相似的概念 ⏱ 00:39

虽然本集主要建立线性映射与矩阵的对应关系，但为后续铺垫，先引入矩阵相似的概念雏形：

概念预告 · 相似矩阵 设 \(A,B\) 都是 \(F\) 上的 \(n\) 级矩阵。如果存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(B=P^{-1}AP\)，则称 \(A\) 与 \(B\)相似，记作 \(A\sim B\)。⏱ P94 正式展开
说明本集主要建立线性映射与矩阵的一一对应（同构）关系，"相似矩阵"的概念将在 P94 集详细展开并证明其等价关系性质。
为什么需要相似矩阵概念？

同一个线性变换在不同基下的矩阵是不同的，但它们之间有着紧密联系——这正是 P93 集要探讨的过渡矩阵与 P94 集的相似关系。⏱ P93 将详细说明

相似关系是一种等价关系（自反、对称、传递），它将所有 \(n\) 级矩阵划分为不同的相似类（等价类）。

★重点回顾

1
线性映射的矩阵：\(\mathscr{A}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)A\)，矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 列是 \(\mathscr{A}(\alpha_i)\) 在基 \(\alpha'_1,\dots,\alpha'_s\) 下的坐标列向量。
2
Sigma 映射 \(\Sigma(\mathscr{A})=A\) 是线性映射空间到矩阵空间的同构映射（双射+保持加法与数乘）。
3
维数公式：\(\dim\mathscr{H}om(V,V')=\dim V'\cdot\dim V\)；特别 \(\dim\mathscr{H}om(V,V)=(\dim V)^2\)。
4
基的作用：给定基对后，线性映射与矩阵的对应是唯一的；反之，给定矩阵和基对，由定理 E 可唯一构造出对应的线性映射。
5
相似矩阵：同一线性变换在不同基下的矩阵通过可逆矩阵 \(P\) 相联系（\(B=P^{-1}AP\)），相似是一种等价关系，将在 P94 详细展开。

⚠常见误区

易错提醒
  1. 混淆"线性映射的矩阵"与"向量的坐标"：矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 列是 \(\mathscr{A}(\alpha_i)\) 的坐标，不是 \(\alpha_i\) 本身的坐标。
  2. 遗漏基的选择：矩阵表示依赖于基对的选择，离开基谈矩阵无意义。
  3. 矩阵乘法顺序：\((\alpha'_1,\dots,\alpha'_s)A\) 表示"基向量组右乘矩阵"，矩阵的第 \(i\) 列作用于第 \(i\) 个基向量。\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 左边的顺序决定了列的对应关系。
  4. 维数公式记混：\(\dim\mathscr{H}om(V,V')=\dim V'\cdot\dim V\)（不是和），\(V\) 上线性变换的空间维数是 \((\dim V)^2\)。

✎自测与作业

  1. 设 \(V=F^2\)，基 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(0,1)^T\)；\(V'=F^3\)，基 \(\alpha'_1=(1,0,0)^T,\alpha'_2=(0,1,0)^T,\alpha'_3=(0,0,1)^T\)。线性映射 \(\mathscr{A}(x,y)=(x+y,\;x-y,\;2x)\)，求 \(\mathscr{A}\) 在给定基对下的矩阵 \(A\)。
  2. 验证：对题 1 中的 \(A\)，任取向量 \(\alpha\in V\)，其坐标列 \(X\) 满足 \(\mathscr{A}(\alpha)\) 的坐标列 \(=AX\)（此结论将在 P93 进一步证明）。
  3. 证明：\(\Sigma:\mathscr{H}om(V,V')\to M_{s\times n}(F)\) 是单射。提示：假设 \(\Sigma(\mathscr{A})=\Sigma(\mathscr{B})\)，利用基向量的像相等推出 \(\mathscr{A}=\mathscr{B}\)。
  4. （思考）若 \(V=F^3,V'=F^2\)，则 \(\dim\mathscr{H}om(V,V')\) 等于多少？写出对应的矩阵空间维数，并验证公式 \(\dim V'\cdot\dim V\)。
  5. （选做）构造一个线性映射 \(\mathscr{A}:F^2\to F^2\)，使其在标准基下的矩阵为 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，并验证 \(\Sigma(\mathscr{A})=A\)。
下一集预告 第 P93 集 · 八：线性变换可逆与矩阵可逆、过渡矩阵，将继续探讨同一线性变换在不同基下的矩阵关系及过渡矩阵的性质。