高等代数 · 课程学习笔记

第 P96 集 · 十一：特征子空间

Eigenspaces and Linear Independence of Eigenvectors
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P96 / 151 集 核心概念：特征子空间 · 线性无关 · 几何重数
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◎学习目标

  1. 理解特征子空间\(V_{\lambda_0}=\{\alpha\in V:A\alpha=\lambda_0\alpha\}\cup\{0\}$ 的定义，并掌握它是 \(V$ 的子空间的验证方法；
  2. 掌握并会证明不同特征值对应的特征向量线性无关的重要定理；
  3. 会用数学归纳法将上述结论推广到若干个两两不同特征值的情形；
  4. 理解几何重数的概念：特征子空间的维数 \(\dim V_{\lambda_0}\)。

1特征子空间的定义与验证 ⏱ 03:50

设 \(A$ 是域 \(F$ 上线性空间 \(V$ 上的线性变换，\(\lambda_0$ 是 \(A$ 的一个特征值。定义：

定义 · 特征子空间 属于特征值 \(\lambda_0$ 的特征子空间定义为：
\[ V_{\lambda_0} = \{\alpha \in V : A\alpha = \lambda_0 \alpha\} \cup \{0\}. \]
即所有属于 \(\lambda_0$ 的特征向量与零向量组成的集合。
证明 \(V_{\lambda_0}\) 是 \(V\) 的子空间

非空：零向量 \(0\in V_{\lambda_0}$，因为 \(A0=0=\lambda_0\cdot 0$。⏱ 04:46

对加法封闭：设 \(\alpha,\beta\in V_{\lambda_0}$，则 \(A\alpha=\lambda_0\alpha$，\(A\beta=\lambda_0\beta$。由线性变换的加法性：

\[ A(\alpha+\beta) = A\alpha + A\beta = \lambda_0\alpha + \lambda_0\beta = \lambda_0(\alpha+\beta). \]

故 \(\alpha+\beta\in V_{\lambda_0}$。⏱ 05:03

对数量乘法封闭：设 \(\alpha\in V_{\lambda_0}$，\(k\in F$，则：

\[ A(k\alpha) = kA\alpha = k\lambda_0\alpha = \lambda_0(k\alpha). \]

故 \(k\alpha\in V_{\lambda_0}$。综上，\(V_{\lambda_0}$ 是 \(V$ 的子空间。⏱ 05:58

几何直观 以投影变换 \(P_U$ 为例：属于特征值 \(1$ 的特征子空间就是平面 \(U$ 本身（整个平面），属于特征值 \(0$ 的特征子空间就是直线 \(W$。⏱ 03:53

2不同特征值的特征向量线性无关 ⏱ 06:30

定理（两个特征值情形） 设 \(A$ 是 \(F$ 上线性空间 \(V$ 上的线性变换，\(\lambda_1,\lambda_2$ 是 \(A$ 的两个不同特征值。若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 属于 \(\lambda_1$ 线性无关，\(\beta_1,\dots,\beta_r$ 属于 \(\lambda_2$ 线性无关，则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_r$ 合起来仍线性无关。
证明过程（关键技巧：用 A 作用后再乘以 λ₁ 相减）

设有一组线性组合等于零向量：

\[ k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s + l_1\beta_1 + \cdots + l_r\beta_r = 0. \quad (\ast) \]

对 \((\ast)$ 两边作用线性变换 \(A$：

\[ k_1\lambda_1\alpha_1 + \cdots + k_s\lambda_1\alpha_s + l_1\lambda_2\beta_1 + \cdots + l_r\lambda_2\beta_r = 0. \quad (\ast\ast) \]

将 \((\ast\ast)$ 两边同乘 \(\lambda_1$：

\[ k_1\lambda_1^2\alpha_1 + \cdots + k_s\lambda_1^2\alpha_s + l_1\lambda_1\lambda_2\beta_1 + \cdots + l_r\lambda_1\lambda_2\beta_r = 0. \quad (\ast\ast\ast) \]

用 \((\ast\ast)$ 减去 \((\ast\ast\ast)$，含 \(\alpha_i$ 的项全部消去，得：

\[ l_1(\lambda_2-\lambda_1)\beta_1 + \cdots + l_r(\lambda_2-\lambda_1)\beta_r = 0. \]

因 \(\lambda_1\neq\lambda_2$，故 \(\lambda_2-\lambda_1\neq 0$，约去后得：

\[ l_1\beta_1 + \cdots + l_r\beta_r = 0. \]

由 \(\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关，得 \(l_1=\cdots=l_r=0$。代回 \((\ast)$ 得 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$，再由 \(\alpha_i$ 线性无关得 \(k_1=\cdots=k_s=0$。⏱ 07:40 ~ 09:56

所有系数全为零，证毕。

丘老师提示 "教材是第九章带，这一节跟上册的第五章带 5.5、5.6 合起来，你要不记不记，你一定要记 BG，你看我今天讲的跟说的不一样，一看到就不一样。"⏱ 07:49

3推广：S 个两两不同特征值的情形 ⏱ 10:28

定理（一般情形） 设 \(A$ 是 \(F$ 上线性空间 \(V$ 上的线性变换，\(\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 是 \(A$ 的两两不同的特征值。在每一个特征子空间 \(V_{\lambda_i}$ 中取一组线性无关向量组 \(\alpha_{i1},\dots,\alpha_{ir_i}$（\(i=1,\dots,s$）。将这些向量组合起来：
\[ \alpha_{11},\dots,\alpha_{1r_1},\;\alpha_{21},\dots,\alpha_{2r_2},\;\dots,\;\alpha_{s1},\dots,\alpha_{sr_s} \]
仍然线性无关。
证明思路（数学归纳法）

基础：\(s=1$ 时显然；\(s=2$ 已在上一节证明。⏱ 10:28

归纳步：假设对 \(s-1$ 个特征值成立，考虑 \(s$ 个。记前 \(s-1$ 个特征子空间中的向量合起来为线性无关组 \(u_1,\dots,u_m$，第 \(s$ 个特征子空间中取线性无关组 \(v_1,\dots,v_t$。对组合 \(k_1u_1+\cdots+k_mu_m+l_1v_1+\cdots+l_tv_t=0$ 作用 \(A$ 后做类似上面的消元，即可证明所有系数为零。⏱ 10:47

丘老师说："用数学归纳法可以证明，回去自己可以写一下。"⏱ 10:52

4特征子空间的维数（几何重数） ⏱ 11:15

特征子空间 \(V_{\lambda_0}$ 的维数称为特征值 \(\lambda_0$ 的几何重数（geometric multiplicity）：

\[ \text{几何重数} = \dim V_{\lambda_0}. \]
重要性质
  • 几何重数 \(\geq 1$（因为至少存在一个特征向量）；
  • 几何重数 \(\leq\) 代数重数（特征多项式中 \(\lambda_0$ 作为根的重数），这一结论将在后续章节证明。

本集到此转入有限维情形的讨论：设 \(V$ 是 \(n$ 维线性空间，线性变换 \(A$ 在基 \(\mathcal{B}$ 下有矩阵表示 \(A$，则 \(A$ 的特征值问题可以完全转化为矩阵 \(A$ 的特征值问题——这正是下一集（P97）的主题。⏱ 11:56

★重点回顾

1
特征子空间：\(V_{\lambda_0}=\{\alpha:A\alpha=\lambda_0\alpha\}\cup\{0\}$，是 \(V$ 的子空间，对加法和数量乘法封闭。
2
不同特征值的特征向量线性无关：属于不同特征值 \(\lambda_1\neq\lambda_2$ 的特征向量组，合起来仍线性无关。证明技巧：用 \(A$ 作用后再乘以特征值相减消元。
3
推广到 S 个特征值：两两不同特征值对应的各特征子空间中的线性无关向量组，合起来仍线性无关（数学归纳法）。
4
几何重数：\(\dim V_{\lambda_0}$ 是特征值 \(\lambda_0$ 的几何重数，反映了该特征值对应"独立特征方向"的个数。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆"属于同一特征值的特征向量线性无关"与"不同特征值的特征向量线性无关"：前者不一定成立（同一特征值的不同特征向量可能线性相关，比如 \(\alpha$ 和 \(2\alpha$）；后者才是一定成立的定理。
  2. 特征向量为零：特征向量定义要求非零，忘记验证 \(\alpha\neq 0$ 是常见错误。
  3. 特征子空间漏掉零向量：定义中要显式加上 \(\cup\{0\}$，否则不封闭于零向量，不是子空间。
  4. 几何重数与代数重数混淆：几何重数是 \(\dim V_{\lambda_0}$（特征子空间维数），代数重数是特征多项式中该根的重复次数，二者一般不同。

✎自测与作业

  1. 设线性变换 \(A$ 的特征值为 \(2$ 和 \(-1$，属于 \(2$ 的特征向量有 \(\alpha_1=(1,0)^T,\alpha_2=(1,1)^T$，属于 \(-1$ 的特征向量有 \(\beta_1=(0,1)^T$。验证 \(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$ 线性无关。
  2. 证明：若 \(\lambda$ 是 \(A$ 的特征值，\(\alpha$ 是属于 \(\lambda$ 的特征向量，则对任意多项式 \(f(x)\in F[x]$，\(f(\lambda)$ 是 \(f(A)$ 的特征值，\(\alpha$ 仍是相应的特征向量。
  3. 设 \(A$ 是 \(3$ 维空间上的线性变换，特征值为 \(1,2,3$，各特征子空间的维数分别是 \(1,1,1$。问：\(A$ 是否有三个线性无关的特征向量？说明理由。
  4. （思考）证明：属于不同特征值的特征子空间的交集只有零向量，即 \(V_{\lambda_i}\cap V_{\lambda_j}=\{0\}$（\(i\neq j$）。
  5. （选做）用归纳法严格证明本节 S 个特征值情形的定理。
下一集预告 第 P97 集 · 十二：线性变换的特征值与矩阵的特征值——建立线性变换特征值与矩阵特征值的等价关系，引入特征多项式 \(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$，并介绍 Cayley-Hamilton 定理。