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◎学习目标
- 掌握不变子空间直和分解定理：若 \(f_1, f_2\) 是 \(F[x]\) 中互素的两个多项式，线性变换 \(\mathcal{A}\) 满足 \(\ker f_1(\mathcal{A}) \oplus \ker f_2(\mathcal{A}) = \ker f_1 f_2(\mathcal{A})\)；并能推广到两两互素的 \(s\) 个多项式；
- 理解零化多项式的定义：\(f(x) \in F[x]\) 若满足 \(f(\mathcal{A}) = 0\)（零变换）则称 \(f\) 是 \(\mathcal{A}\) 的一个零化多项式；对应到矩阵 \(A\) 时即 \(f(A) = 0\)（零矩阵）；
- 理解"零化多项式存在 \(\Leftrightarrow\) 空间可分解为 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间直和"这一关键联系；
- 通过投影变换的具体例子（矩阵为 \(\operatorname{diag}(1,1,0)\) 型）验证其特征多项式 \((\lambda-1)^2\lambda\) 是它的零化多项式，从而引出大胆的猜想：任何线性变换的特征多项式都是它的零化多项式；
- 认识 \(F[\lambda]\) 上矩阵（元素为 \(F\) 上一元多项式的矩阵）的概念、加法、数乘、行列式、按行展开定理、伴随矩阵，并理解 Cayley-Hamilton 定理证明的核心工具：\[\operatorname{adj}(\lambda I - P)\,(\lambda I - P) = \det(\lambda I - P)\, I.\]（下一集将用同样的方法正式证明 Cayley-Hamilton 定理）。
1两个互素多项式对应不变子空间的直和 ⏱ 00:00
本集紧接上一集（P103 线性变换的不变子空间）的结论。设 \(f_1(x), f_2(x) \in F[x]\) 互素（在 \(F[x]\) 中相伴于 1，即 \((f_1,f_2)=1\)），\(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上有限维空间 \(V\) 上的线性变换，要证：
证明（分两步：包含关系 + 直和性）
第一步：证明 \(\ker f_1(\mathcal{A}) + \ker f_2(\mathcal{A}) = \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)。⏱ 00:05
由于 \((f_1,f_2)=1\)，由 Bézout 恒等式，存在 \(u(x), v(x) \in F[x]\) 使得
代入 \(x = \mathcal{A}\) 得 \(u(\mathcal{A}) f_1(\mathcal{A}) + v(\mathcal{A}) f_2(\mathcal{A}) = I\)。对任意 \(\alpha \in V\)，有
若 \(\alpha \in \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)，则 \((f_1 f_2)(\mathcal{A})\alpha = 0\)，即 \(f_1(\mathcal{A}) (f_2(\mathcal{A})\alpha) = 0\)，故 \(f_2(\mathcal{A})\alpha \in \ker f_1(\mathcal{A})\)；同理 \(f_1(\mathcal{A})\alpha \in \ker f_2(\mathcal{A})\)。于是
因此 \(\ker(f_1 f_2)(\mathcal{A}) \subseteq \ker f_1(\mathcal{A}) + \ker f_2(\mathcal{A})\)。
反之，若 \(\alpha \in \ker f_1(\mathcal{A})\)，则 \(f_1(\mathcal{A})\alpha = 0\)，从而 \((f_1 f_2)(\mathcal{A})\alpha = f_2(\mathcal{A}) (f_1(\mathcal{A})\alpha) = 0\)，故 \(\ker f_1(\mathcal{A}) \subseteq \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)；同理 \(\ker f_2(\mathcal{A}) \subseteq \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)。于是 \(\ker f_1(\mathcal{A}) + \ker f_2(\mathcal{A}) \subseteq \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)。
综上，\(\ker f_1(\mathcal{A}) + \ker f_2(\mathcal{A}) = \ker(f_1 f_2)(\mathcal{A})\)。
第二步：证明和是直和。设 \(\beta \in \ker f_1(\mathcal{A}) \cap \ker f_2(\mathcal{A})\)，则 \(f_1(\mathcal{A})\beta = 0\) 且 \(f_2(\mathcal{A})\beta = 0\)。由 Bézout 恒等式
故 \(\ker f_1(\mathcal{A}) \cap \ker f_2(\mathcal{A}) = \{0\}\)，和为直和。
丘老师在课堂上说："你不是在找两个 \(\mathcal{A}\) 的不变直和子空间吗？它那个直和吗？你看，果然是直和，是吧，直和有了，是吧，只要 \(f_1, f_2\) 互素，保证你的核是直和。"⏱ 04:20
2推广到多个互素多项式（数学归纳法） ⏱ 04:40
推广思想
两个的情形已经证明。对 \(s\) 个情形用数学归纳法：设 \(f_1, \dots, f_s\) 两两互素。由于 \(f_s\) 与 \(f_1 \cdots f_{s-1}\) 互素（两两互素的推论），由两元结论得
3零化多项式的定义 ⏱ 06:20
若希望左边核是整个空间 \(V\)，则必须有一个线性变换使得它的核为 \(V\)，这个变换只能是零变换。于是定义：
线性变换与矩阵零化多项式的等价性
设 \(V\) 是 \(n\) 维空间，\(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\) 下的矩阵为 \(A\)。若 \(f(x) = b_m x^m + \cdots + b_1 x + b_0\)，则：
由线性变换到矩阵的映射是环同态（保持加法、数乘、乘法），\(f(\mathcal{A})\) 是零变换当且仅当 \(f(A)\) 是零矩阵。故：⏱ 10:00
4投影变换例子：大胆猜想 Cayley-Hamilton ⏱ 12:00
丘老师反复强调的"解剖麻雀"法——抓一个具体例子大胆猜想。例子：三维空间 \(V\) 中，过原点 \(O\) 的平面 \(U\) 与过 \(O\) 的直线 \(W\)（\(W \parallel U\) 于某方向），做平行于 \(W\) 在 \(U\) 上的投影 \(P_U\)。
构造基与矩阵
取 \(U\) 上两个不共线向量 \(a_1, a_2\)，再取 \(W\) 上一个非零向量 \(d\)，\(\{a_1, a_2, d\}\) 构成 \(V\) 的基。投影 \(P_U\) 的作用：
故 \(P_U\) 在此基下的矩阵为对角矩阵：
其特征多项式：\(\det(\lambda I - P) = (\lambda - 1)^2 \lambda\)。⏱ 13:50
展开：\(\lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda\)。把 \(\lambda\) 代成 \(P\)：
（因为 \(P\) 是幂等变换，\(P^2 = P\)，故 \(P^3 = P\)。）⏱ 14:20 因此特征多项式代入后得零矩阵！
5特征矩阵、\(F[\lambda]\) 上矩阵与伴随矩阵 ⏱ 17:00
证明 Cayley-Hamilton 定理需要两个技术工具：
5.1 \(F[\lambda]\) 上矩阵
\(F[\lambda]\) 是 \(F\) 上一元多项式环。\(F[\lambda]\) 上的 \(n\) 阶矩阵，即每个元素都是 \(F\) 上一元多项式的矩阵，可写成分次幂形式：
其中 \(B_i\) 是 \(F\) 上矩阵，且这种表示是唯一的（因为 \(F[\lambda]\) 中多项式的表示唯一）。加法、数乘（多项式乘矩阵）自然定义。⏱ 17:20
5.2 行列式与按行展开在 \(F[\lambda]\) 上同样成立
5.3 为 Cayley-Hamilton 证明做准备
下一集（P105）将正式用上述工具证明：对任意 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，其特征多项式 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 满足 \(f_A(A) = 0\)。这就是 Cayley-Hamilton 定理。⏱ 20:30
★重点回顾
⚠易错点提醒
- \(\ker f_1(\mathcal{A}) \oplus \ker f_2(\mathcal{A}) = \ker f_1 f_2(\mathcal{A})\) 要求 \(f_1, f_2\) 互素。若不互素，交不一定为 \(\{0\}\)，直和不一定成立。例如 \(f_1(x)=x, f_2(x)=x\) 不互素，核相同，交非零。
- \(F[\lambda]\) 上矩阵的行列式按行展开与数域上完全类似，但元素是多项式，"行列式"也是多项式，不能代入数值计算（除非给定 \(\lambda\) 的值）。
- 投影的例子中 \(P^2=P\)：幂等变换的矩阵是幂等的，\(P^k = P\)（\(k\geq 1\)）。代入特征多项式时要利用这一点，不能盲目按一般矩阵计算。
- "零化多项式"不一定是特征多项式：任何特征多项式（或其倍式）都是零化多项式；但零化多项式的集合更大，如 \(2f_A(x)\) 也是零化多项式。本集只证明了特征多项式是零化多项式这一事实（Cayley-Hamilton），下一集将证明它。
- \(F[\lambda]\) 上矩阵表示的唯一性：把多项式矩阵写成 \(\lambda\) 的幂次形式时，各幂次对应的系数矩阵是唯一的（多项式表示唯一性），这是下一集证明中"比较系数"的关键。
✎自测与作业
- 验证投影矩阵 \(P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 的特征多项式 \((\lambda-1)^2\lambda\) 是零化多项式：直接计算 \(P^3-2P^2+P\)，证明结果为零矩阵。
- 设 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\)，求其特征多项式 \(f_A(\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2\)，验证 \(f_A(A)=A^2+3A+2I=O\)（Cayley-Hamilton）。
- 设 \(\mathcal{A}\) 是 \(\mathbb{R}\) 上二维空间 \(V\) 的线性变换，\(f_1(x)=x, f_2(x)=x-1\)（互素）。证明 \(\ker\mathcal{A} \oplus \ker(\mathcal{A}-I) = \ker\mathcal{A}(\mathcal{A}-I)\)。
- （思考）设 \(f_1(x)=x^2, f_2(x)=x+1\)（\(\mathbb{R}\) 上，互素）。线性变换 \(\mathcal{A}\) 的核 \(\ker f_1(\mathcal{A}) = \ker\mathcal{A}^2\) 与 \(\ker f_2(\mathcal{A}) = \ker(\mathcal{A}+I)\) 的直和等于 \(\ker\mathcal{A}^2(\mathcal{A}+I)\)，请举一个 \(\mathcal{A}\) 的例子使得 \(\ker\mathcal{A}^2(\mathcal{A}+I) \neq V\)（即 \(f_1 f_2\) 不是零化多项式）。
- 验证 \(F[\lambda]\) 上矩阵 \(M(\lambda) = \begin{pmatrix}\lambda-1&0&0\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}\) 的伴随矩阵 \(\operatorname{adj}(M(\lambda))\)，并验证 \(\operatorname{adj}(M)M = (\lambda-1)^2\lambda \cdot I\)。
- （选做，预告 P105）试读教材上 Cayley-Hamilton 定理的完整证明，理解"把特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵按 \(\lambda\) 的幂次写成 \(B_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+B_0\)，然后比较系数"的核心思想。