高等代数 · 第 P106 集 · 二十一：最小多项式

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◎学习目标

理解零化多项式（annihilating polynomial）的概念：对线性变换 \(\mathcal{A}\)，若一元多项式 \(g(\lambda)\) 满足 \(g(\mathcal{A})\) 是零变换，则称 \(g\) 为 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式；
掌握最小多项式（minimal polynomial）的定义：首一（首项系数为 1）的、次数最低的零化多项式，记为 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\)；
证明最小多项式存在且唯一，并证明其核心性质：最小多项式整除任何零化多项式（命题一）；
掌握最小多项式与特征多项式的关系（命题二）：\(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)，且二者在 \(F\) 上有相同的根，但重数可以不同；
通过矩阵版本把线性变换最小多项式的概念迁移到 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵的最小多项式。

1研究背景：寻找不变子空间上"最简单"的基 ⏱ 00:01

本集是"线性变换的最简单形式"这一大专题的延续。回顾前几集（P103–P105）建立的成果：给定 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 及其上的线性变换 \(\mathcal{A}\)，我们想研究在 \(V\) 的什么一组基下，\(\mathcal{A}\) 的矩阵具有最简单的形式（最终目标是 Jordan 标准形）。

丘老师反复强调的研究思路 ⏱ 00:30：找到一个零化多项式 \(f(\lambda)\)，使得 \(f(\mathcal{A})\) 是零变换（零变换的核就是整个空间 \(V\)）。Cayley-Hamilton 定理已经保证：\(\mathcal{A}\) 的特征多项式 \(f_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 是一个零化多项式。把特征多项式分解为两两不等的不可约多项式幂次的乘积后，整个空间 \(V\) 就分解成若干个非平凡不变子空间的直和；在每个不变子空间上分别取基再合起来，就能使 \(\mathcal{A}\) 的矩阵成为分块对角矩阵。

本节任务本集的核心任务是：把上述"用特征多项式"进一步精细化——特征多项式只是"某一个"零化多项式，我们希望找到次数最低的那一个（"临界"状态，丘老师用"北京冬天 0℃ 是结冰的临界点"作比喻 ⏱ 02:13），用它来指导在不变子空间上选取使矩阵最简单的基。于是引入"最小多项式"这一概念。

2最小多项式的定义与唯一性 ⏱ 02:49

设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换。由 Cayley-Hamilton 定理，\(\mathcal{A}\) 至少存在一个零化多项式（即其自身的特征多项式）。因此 \(\mathcal{A}\) 的全体非零零化多项式构成一个非空集合。在这个集合中，"次数最低"的多项式可能有很多个（因为把多项式乘以任意非零标量，次数不变，但最高次项系数可以变化），为了唯一确定，再叠加一条"首项系数为 1"（即首一，monic）的限制。

定义 · 线性变换的最小多项式设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换。称 \(\mathcal{A}\) 的次数最低、且首项系数为 1 的零化多项式为 \(\mathcal{A}\) 的最小多项式（minimal polynomial），记作 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\)。

m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \lambda^r + c_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0, \quad m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0,

其中 \(r \le n\)（不一定等于 \(n\)），\(c_i \in F\)，首项系数为 1。

性质 · 存在且唯一 存在性：零化多项式集合非空（特征多项式在列中），取其中次数最低者，再取其首一化（除以首项系数），得到唯一的次数最低首一零化多项式。
唯一性：若首一零化多项式有次数最低的，则它是唯一的——否则两个不同首一多项式次数相同、首项系数均为 1，二者之差是次数更低的非零零化多项式，矛盾。⏱ 05:06

3命题一：最小多项式整除任何零化多项式 ⏱ 05:21

命题一（整除性）设 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 是线性变换 \(\mathcal{A}\) 的最小多项式。则对任意一元多项式 \(g(\lambda)\)：

g \text{ 是 } \mathcal{A} \text{ 的零化多项式} \iff m_{\mathcal{A}}(\lambda) \mid g(\lambda).

即：最小多项式是 \(\mathcal{A}\) 的任意零化多项式的因式；同时最小多项式自身的任意倍式也是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。

证明（两个方向分别证明）

方向一（\(\Rightarrow\)）：设 \(g(\lambda)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。在 \(F[\lambda]\) 中作带余除法，用 \(m_{\mathcal{A}}\) 除 \(g\)：

g(\lambda) = h(\lambda) m_{\mathcal{A}}(\lambda) + r(\lambda), \quad \deg r < \deg m_{\mathcal{A}}.

把不定元 \(\lambda\) 用 \(\mathcal{A}\) 代入（一元多项式保持加法和乘法等式的性质）：

g(\mathcal{A}) = h(\mathcal{A}) m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) + r(\mathcal{A}) = r(\mathcal{A}).

左边 \(g(\mathcal{A})\) 是零变换（\(g\) 是零化多项式），右边 \(m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A})\) 是零变换（最小多项式本身是零化多项式），故 \(r(\mathcal{A})\) 也是零变换，即 \(r(\lambda)\) 也是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。但 \(\deg r < \deg m_{\mathcal{A}}\)，与 \(m_{\mathcal{A}}\) 是次数最低的零化多项式矛盾，除非 \(r\) 是零多项式。因此 \(m_{\mathcal{A}} \mid g\)。⏱ 07:48

方向二（\(\Leftarrow\)）：若 \(m_{\mathcal{A}} \mid g\)，则 \(g(\lambda) = h(\lambda) m_{\mathcal{A}}(\lambda)\)。代入 \(\mathcal{A}\)：

g(\mathcal{A}) = h(\mathcal{A}) m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = h(\mathcal{A}) \cdot 0 = 0,

即 \(g(\mathcal{A})\) 是零变换，故 \(g\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。⏱ 07:36

两个方向都成立，命题一证毕。丘老师原话："这算明了，反过来也对了……最小多项式是任何一个 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式的因式。" ⏱ 10:41

4命题二：最小多项式与特征多项式的关系 ⏱ 11:26

命题二（关系）设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换，\(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 是它的最小多项式，\(f_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 是它的特征多项式。则：

\(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\) 整除 \(f_{\mathcal{A}}(\lambda)\)（即 \(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)）；
\(m_{\mathcal{A}}\) 与 \(f_{\mathcal{A}}\) 在 \(F\) 上有相同的根，但重数可以不同。

证明

(i) 整除性：由 Cayley-Hamilton 定理，\(f_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0\)，即 \(f_{\mathcal{A}}\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。由命题一，\(m_{\mathcal{A}}\) 整除任何零化多项式，故 \(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)。⏱ 11:57

(ii) 相同根、不同重数：由 \(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)，若 \(c \in F\)（或在比 \(F\) 更大的某个域 \(E\) 中）是 \(m_{\mathcal{A}}\) 的根，则 \(m_{\mathcal{A}}(c) = 0\)。由于 \(f_{\mathcal{A}}(\lambda) = h(\lambda) m_{\mathcal{A}}(\lambda)\)，有 \(f_{\mathcal{A}}(c) = h(c) m_{\mathcal{A}}(c) = 0\)，即 \(c\) 也是 \(f_{\mathcal{A}}\) 的根。

反过来，设 \(c_0 \in F\) 是 \(f_{\mathcal{A}}\) 的一个根。则 \(c_0\) 是 \(\mathcal{A}\) 的特征值，故存在非零向量 \(\xi \in V\) 使得 \(\mathcal{A}(\xi) = c_0 \xi\)。由于 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \lambda^r + c_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0\)（首一），有

m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^r + c_{r-1}\mathcal{A}^{r-1} + \cdots + c_1\mathcal{A} + c_0 I = 0

两边作用在 \(\xi\) 上：

\mathcal{A}^r(\xi) + c_{r-1}\mathcal{A}^{r-1}(\xi) + \cdots + c_1\mathcal{A}(\xi) + c_0 \xi = 0.

由于 \(\mathcal{A}(\xi) = c_0\xi\)，递推得 \(\mathcal{A}^k(\xi) = c_0^k \xi\)，于是上式化为

(c_0^r + c_{r-1} c_0^{r-1} + \cdots + c_1 c_0 + c_0) \xi = m_{\mathcal{A}}(c_0) \cdot \xi = 0.

因 \(\xi \neq 0\)，故 \(m_{\mathcal{A}}(c_0) = 0\)，即 \(c_0\) 也是 \(m_{\mathcal{A}}\) 的根。⏱ 13:26

注意：重数可以不同 "相同根"只保证根集合相同，不保证各根的重数相同。例如幂零矩阵的最小多项式可能是 \(\lambda^L\)（\(L>1\)），根只有 0 一个，但重数是 \(L\)，而特征多项式是 \(\lambda^n\)，根 0 的重数是 \(n\)。这一点在后面（P108 幂零变换）会再次强调。

教材补充说明丘老师提到（⏱ 20:53）：这个"相同根"的结论还可以进一步推广到"在比 \(F\) 更大的域 \(E\) 中"——通过矩阵语言（把 \(F\) 上矩阵看成 \(E\) 上矩阵）同样成立。教材里有专门讨论，课堂上略去。

5矩阵最小多项式的引入 ⏱ 21:15

为了把"相同根"的讨论推广到更大的域（或后续矩阵的相似、Jordan 标准形等），需要引入矩阵的最小多项式概念。回顾前几集已建立的事实：线性变换 \(\mathcal{A}\) 与其在某组基下的矩阵 \(A\) 有相同的零化多项式（因为 \(g(\mathcal{A})\) 是零变换当且仅当 \(g(A)\) 是零矩阵）。

定义 · 矩阵的最小多项式设 \(A\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵。称 \(A\) 的次数最低、且首项系数为 1 的零化多项式（即 \(g(A) = O\) 的最低次首一多项式）为矩阵 \(A\) 的最小多项式，记作 \(m_A(\lambda)\)。

m_A(\lambda) = \lambda^r + c_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0, \quad m_A(A) = O.

该定义与线性变换版本完全对应：若 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 下的矩阵是 \(A\)，则 \(m_{\mathcal{A}} = m_A\)。⏱ 23:07

对应推论

\(m_A \mid f_A\)（矩阵版命题一）；
\(m_A\) 与 \(f_A\) 在 \(F\) 中有相同的根，但重数可以不同（矩阵版命题二）。

以上推论直接由线性变换版本"矩阵与线性变换有相同的最小多项式"得到。⏱ 23:18

★重点回顾

零化多项式：\(g(\mathcal{A})\) 是零变换（或 \(g(A) = O\)）的一元多项式。特征多项式一定是零化多项式（Cayley-Hamilton）。

最小多项式定义：次数最低且首项系数为 1 的零化多项式，记 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda)\)。次数 \(r \le n\)，首项系数必为 1。

命题一：\(g(\lambda)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式 \(\iff\) \(m_{\mathcal{A}} \mid g\)。证明核心是"带余除法 + 矛盾法"。

命题二：\(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)，且二者在 \(F\) 上有相同的根，但重数可以不同。"相同根"靠特征向量递推 \(m_{\mathcal{A}}(c_0)\xi = 0\) 证明。

矩阵版本：线性变换与其矩阵有相同的最小多项式，因此 \(m_A \mid f_A\) 也成立，且根相同（重数可不同）。

⚠易错点提醒

常见错误

忘记"首一"限制：只说"次数最低的零化多项式"不能唯一确定多项式（可以乘任意非零标量）。定义必须加上"首项系数为 1"才能保证唯一。
最小多项式的次数不一定等于 \(n\)：\(\deg m_{\mathcal{A}} \le n\)，但经常小于 \(n\)（例如对角矩阵、幂零矩阵都可能小于 \(n\)）。证明时不要把 \(\deg m_{\mathcal{A}}\) 写成 \(n\)。
"相同根" ≠ "相同重数"：命题二只保证根集合相同，不保证各根的重数相同。幂零矩阵的最小多项式是 \(\lambda^L\)（\(L\) 是幂零指数），而特征多项式是 \(\lambda^n\)，重数可以不同。
代入多项式时"保持加法与乘法"是核心：一元多项式把不定元用矩阵（或线性变换）代入后，加法和乘法等式保持成立。这是整个证明反复使用的工具。
不要混淆"零化多项式"与"最小多项式"整除方向：\(m_{\mathcal{A}}\) 整除任何零化多项式（\(m_{\mathcal{A}} \mid g\)），不是反过来。

✎自测与作业

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)（对角矩阵），求 \(A\) 的特征多项式 \(f_A(\lambda)\) 和最小多项式 \(m_A(\lambda)\)，验证 \(m_A \mid f_A\) 且二者根相同（重数也相同）。
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)（Jordan 块），求 \(f_A\) 和 \(m_A\)，并说明为什么 \(m_A = (\lambda-1)^2\)（利用 \((A-I) \neq O\) 但 \((A-I)^2 = O\)）。
设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的线性变换，证明：若 \(\mathcal{A}\) 的最小多项式是 \(\lambda\)（即 \(m_{\mathcal{A}} = \lambda\)），则 \(\mathcal{A}\) 是零变换。
设 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \lambda^2 + 1\)（在 \(F = \mathbb{R}\) 上），说明 \(m_{\mathcal{A}}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中无根，但在 \(\mathbb{C}\) 中根为 \(\pm i\)；\(f_{\mathcal{A}}\) 必须含有 \(\lambda^2 + 1\) 作为因式。
（思考）为什么"矩阵 \(A\) 的特征多项式 \(f_A\) 是 \(A\) 的零化多项式"（Cayley-Hamilton）是本集所有结论的起点？如果去掉这一前提，最小多项式理论会失去什么？
（选做）验证命题一的方向二：若 \(m_{\mathcal{A}} \mid g\)，则 \(g\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式，并给出完整的代数推理（用 \(g = h \cdot m_{\mathcal{A}}\) 与"线性变换保持乘法"的性质）。

下一集预告第 P107 集 · 二十二：相似矩阵、最小多项式——相似矩阵有相同的最小多项式（通过"线性变换在不同基下的矩阵"桥接）、五个相似不变量（行列式、迹、特征多项式、特征值集合、最小多项式）、以及最小多项式在 \(V = \bigoplus W_j\) 分解下的首一最小公倍式关系。