高等代数 · 课程学习笔记

第 P108 集 · 二十三：首一最小公倍式、幂零变换、最小多项式

Monic LCM of Minimal Polynomials · Nilpotent Transformations · Diagonalizability Criterion
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P108 / 151 集 核心概念：首一最小公倍式 · 矩阵版本限制最小多项式 · 幂零变换 · 可对角化充要条件
提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本集目录

◎学习目标

  1. 掌握首一最小公倍式（monic least common multiple）的记法与基本性质：多项式 \(m_1, \dots, m_s\) 的首一最小公倍式记作 \(\operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]\)（注意教材中用方括号标记"首一"限制）；
  2. 证明矩阵版本的限制最小多项式定理：若 \(F\) 上 \(n\) 阶分块对角矩阵 \(A = \operatorname{diag}(A_1, \dots, A_s)\) 的各对角块最小多项式为 \(m_1(\lambda), \dots, m_s(\lambda)\)，则
    \[ m_A(\lambda) = \operatorname{lcm}[m_1(\lambda), \dots, m_s(\lambda)] \] 即整个 \(A\) 的最小多项式等于各对角块最小多项式的首一最小公倍式；
  3. 理解幂零变换（nilpotent transformation）与幂零指数的定义：若存在正整数 \(L\) 使 \(\mathcal{A}^L = 0\)（零变换），则称 \(\mathcal{A}\) 为幂零变换；满足该等式的最小的正整数 \(L\) 称为幂零指数；
  4. 证明幂零变换的最小多项式 = \(\lambda^L\)（\(L\) 为幂零指数），并说明"最小多项式可以有重根"（这是 P106 中"最小多项式与特征多项式重数可以不同"的重要例子）；
  5. 掌握可对角化充要条件的"最小多项式刻画"：设 \(\lambda_1, \dots, \lambda_s\) 是 \(\mathcal{A}\) 的所有不同特征值，则 \(\mathcal{A}\) 可对角化 \(\iff\) \(m_{\mathcal{A}}(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_s)\)（即最小多项式是 \(s\) 个互不相同的一次因式的乘积）。

1矩阵版本：分块对角矩阵的最小多项式 ⏱ 06:54

本集紧接上一集（P107）"限制最小多项式"定理，把它用矩阵语言再写一遍（教材上的"定理一"在矩阵版本下的对应形式）。

定理 · 分块对角矩阵的最小多项式 设 \(A = \operatorname{diag}(A_1, A_2, \dots, A_s)\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵的分块对角形式，各对角块 \(A_j\) 的最小多项式记作 \(m_j(\lambda)\)（\(j = 1, 2, \dots, s\)）。则
\[ m_A(\lambda) = \operatorname{lcm}\bigl[ m_1(\lambda), m_2(\lambda), \dots, m_s(\lambda) \bigr], \]
其中方括号表示"首一最小公倍式"（monic least common multiple）。⏱ 07:04
证明（借助线性变换桥接 + P107 集合论证）

第一步：构造对应线性变换。取 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 及其基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)，令 \(\mathcal{A}\) 为唯一满足 \([\mathcal{A}]_\alpha = A\) 的线性变换（P107 标准手法）。

第二步：把分块对角结构翻译成"不变子空间直和"。设 \(A_j\) 是 \(n_j\) 阶（\(\sum_j n_j = n\)），则 \(V\) 自然分解为 \(\mathcal{A}\)-不变子空间

\[ V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s, \quad W_j = \operatorname{span}(\alpha_{i_{j-1}+1}, \dots, \alpha_{i_j}), \]

其中 \(W_j\) 的维数为 \(n_j\)，\(A_j\) 是 \(\mathcal{A}\) 在 \(W_j\) 上的限制矩阵，\(m_j\) 是 \(A_j\)（即 \(\mathcal{A}|_{W_j}\)）的最小多项式。⏱ 09:00

第三步：由 P107 的限制最小多项式定理，

\[ m_{\mathcal{A}} = \operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]. \]

第四步：由 P106"线性变换与其矩阵有相同的最小多项式"，\(m_{\mathcal{A}} = m_A\)。故

\[ m_A = \operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]. \]

证毕。⏱ 11:34

直观例子 取 \(A = \operatorname{diag}(J_2(1), J_2(2))\)（两个 2 阶 Jordan 块），其中 \(J_2(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，\(J_2(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)。则 \(m_1 = (\lambda-1)^2\)，\(m_2 = (\lambda-2)^2\)，\(\gcd(m_1, m_2) = 1\)，故 \(m_A = (\lambda-1)^2(\lambda-2)^2\)（互素时 lcm = 乘积）。

2首一最小公倍式的记法与性质 ⏱ 11:04

定义 · 首一最小公倍式（monic lcm） 设 \(m_1(\lambda), \dots, m_s(\lambda)\) 是 \(F[\lambda]\) 中的多项式。称它们的次数最低、且首项系数为 1 的公倍式（公共的倍式，即同时是 \(m_1, \dots, m_s\) 的倍式）为它们的首一最小公倍式，记作
\[ \operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]. \]
（注意教材中用方括号 \([\;]\) 标记"首一"限制；不加方括号时 \(\operatorname{lcm}\) 是"非唯一"的，因为可乘任意非零标量。）
基本性质
  1. 唯一性：首一限制使 lcm 唯一；
  2. 互素情形：若 \(m_1, \dots, m_s\) 两两互素（即 \(\gcd(m_i, m_j) = 1\)，\(i \neq j\)），则 \(\operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s] = m_1 m_2 \cdots m_s\)（直接乘积）；
  3. 含幂次结构：若 \(m_j = p_j(\lambda)^{r_j}\)（\(p_j\) 两两不同不可约多项式，\(r_j \geq 1\)），则 \(\operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s] = p_1^{R_1} \cdots p_t^{R_t}\)，其中 \(R_k = \max_j r_j\)（每个不可约因式取最大幂次）。
性质 3 是后续所有"最小多项式由不变因子算出"的核心工具。⏱ 11:30

3幂零变换与幂零指数 ⏱ 11:52

定义 · 幂零变换（Nilpotent Transformation） 设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的线性变换。若存在正整数 \(L\) 使得
\[ \mathcal{A}^L = 0 \]
（即 \(\mathcal{A}\) 的 \(L\) 次复合是零变换），则称 \(\mathcal{A}\) 为幂零变换（nilpotent）。⏱ 11:52
定义 · 幂零指数 使 \(\mathcal{A}^L = 0\) 成立的最小的正整数 \(L\) 称为幂零变换 \(\mathcal{A}\) 的幂零指数（index of nilpotency），记作 \(L(\mathcal{A})\)。
\[ \mathcal{A}^{L} = 0, \quad \text{且} \quad \forall\, 1 \le t < L, \; \mathcal{A}^{t} \neq 0. \]
典型例子：多项式空间的求导算子 设 \(V = F[x]_{\le n}\)（次数 \(\le n\) 的多项式空间，维数 \(n+1\)），\(\mathcal{D}\) 是求导算子 \(\mathcal{D}(p(x)) = p'(x)\)。则 \(\mathcal{D}^{n+1} = 0\)（任何 \(n\) 次多项式求导 \(n+1\) 次恒为 0），而 \(\mathcal{D}^{n} \neq 0\)（取 \(p(x) = x^n/n!\)，\(\mathcal{D}^{n}(p) = 1 \neq 0\)）。故 \(\mathcal{D}\) 是幂零变换，幂零指数为 \(n+1\)。丘老师提到这是课程之前做过的习题（"具体的哪一个变换……你做过这个题了" ⏱ 12:19）。
矩阵版本 若 \(A\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵，则 \(A\) 是幂零矩阵 \(\iff\) 对应的线性变换是幂零变换。幂零指数同样定义为最小的正整数 \(L\) 使 \(A^L = O\)。

4幂零变换的最小多项式 = \(\lambda^L\) ⏱ 13:29

命题 · 幂零变换的最小多项式 设 \(\mathcal{A}\) 是幂零指数为 \(L\) 的幂零变换。则
\[ m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \lambda^L. \]
证明（两步推理）

第一步：\(\lambda^L\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式（由定义 \(\mathcal{A}^L = 0\)，故 \(\lambda^L(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^L = 0\)）。由 P106 命题一，\(m_{\mathcal{A}} \mid \lambda^L\)，故 \(m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \lambda^k\)（某 \(k \le L\)）（\(\lambda\) 是唯一的不可约因式）。⏱ 13:34

第二步：若 \(k < L\)，则 \(\mathcal{A}^k = m_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = 0\)，与"L 是最小正整数"矛盾。故 \(k = L\)，即 \(m_{\mathcal{A}} = \lambda^L\)。证毕。⏱ 16:14

关键推论：最小多项式可以有重根 取 \(L = 2\)，则 \(m_{\mathcal{A}} = \lambda^2\)，根 0 的重数是 2。这是 P106 命题二"最小多项式与特征多项式相同根但重数可以不同"的直接例子——幂零矩阵的特征多项式是 \(\lambda^n\)（根 0 重数 \(n\)），最小多项式是 \(\lambda^L\)（根 0 重数 \(L\)），当 \(L < n\) 时重数不同。丘老师原话（⏱ 17:19）："这说明最小多项式它完全可能有重根。\(L\) 大一的话，比如 \(L\) 是 2，那不就是 \(\lambda\) 平方？\(\lambda\) 平方不是 0 是二重根吗？" 这是回答"最小多项式有没有重根？"这一问题的标准反例。

5可对角化充要条件的"最小多项式刻画" ⏱ 17:36

本集最后一部分：最小多项式在判定"线性变换可否对角化"中的作用。回顾前几集已建立的可对角化充要条件（"不同特征值的特征子空间直和 = 整个空间"），本集再补充一个用最小多项式刻画的充要条件。

定理 · 可对角化充要条件（最小多项式版） 设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的线性变换，设 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s\) 是 \(\mathcal{A}\) 在 \(F\) 中的所有不同特征值。则 \(\mathcal{A}\) 可对角化当且仅当
\[ m_{\mathcal{A}}(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_s). \]
即：最小多项式是 \(s\) 个互异一次因式的乘积（无重根）。⏱ 19:00
证明思路（双向）

\(\Leftarrow\)（充分性）：若 \(m_{\mathcal{A}} = \prod_{j=1}^{s}(\lambda - \lambda_j)\)（各 \(\lambda_j\) 互异），则各 \((\lambda - \lambda_j)\) 两两互素。由 P107 的限制最小多项式定理的推论（"互素多项式对应不变子空间直和"），

\[ V = \ker(\mathcal{A} - \lambda_1 I) \oplus \ker(\mathcal{A} - \lambda_2 I) \oplus \cdots \oplus \ker(\mathcal{A} - \lambda_s I). \]

每块 \(\ker(\mathcal{A} - \lambda_j I)\) 是特征值 \(\lambda_j\) 的特征子空间，其维数之和 = \(\dim V = n\)，故 \(\mathcal{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量，可对角化。⏱ 19:30

\(\Rightarrow\)（必要性）：若 \(\mathcal{A}\) 可对角化，则在某组基下 \(A\) 是对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \dots, \lambda_2, \lambda_2, \dots)\)，其中各 \(\lambda_j\) 是互异特征值。对角矩阵的最小多项式是"各不同对角值对应的一次因式"的乘积（幂次只取 1），故

\[ m_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_s). \]

由"相似矩阵有相同最小多项式"，\(m_{\mathcal{A}} = m_A\)，必要性成立。⏱ 21:00

特征值空间定义的细节（课堂上反复强调 ⏱ 20:24） 若 \(\xi_j \in V_{\lambda_j}\)（特征值 \(\lambda_j\) 对应的特征子空间），由定义 \(\mathcal{A}(\xi_j) = \lambda_j \xi_j\)。用线性变换的运算律改写：
\[ (\mathcal{A} - \lambda_j I)(\xi_j) = 0. \]
即 \(\xi_j \in \ker(\mathcal{A} - \lambda_j I)\)。这里"插进一个恒等变换"（把 \(\lambda_j \xi_j\) 改写成 \((\lambda_j I)(\xi_j)\)）是把特征值空间定义翻译成"核"形式的关键步骤，丘老师在课堂上反复演示（"我再插进一个恒等变换，恒等变换把 \(\xi_j\) 因过去还是 \(\xi_j\)……这是用线性变换的印算，减法运算" ⏱ 20:49）。

★重点回顾

1
首一最小公倍式：多项式 \(m_1, \dots, m_s\) 的次数最低且首一（首项系数 1）的公倍式，记作 \(\operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]\)。方括号是"首一"标记。
2
分块对角矩阵最小多项式定理：\(m_{\operatorname{diag}(A_1,\dots,A_s)} = \operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]\)。这是"限制最小多项式"（P107）的矩阵版本。
3
幂零变换：存在 \(L \geq 1\) 使 \(\mathcal{A}^L = 0\)。最小的 \(L\) 称为幂零指数 \(L(\mathcal{A})\)。例子：求导算子 \(\mathcal{D}\)。
4
幂零变换的最小多项式：\(m_{\mathcal{A}} = \lambda^L\)（\(L\) 为幂零指数）。这是"最小多项式可以有重根"的标准反例。
5
可对角化充要条件（最小多项式版）：\(\mathcal{A}\) 可对角化 \(\iff\) \(m_{\mathcal{A}} = \prod_{j=1}^{s}(\lambda - \lambda_j)\)（\(s\) 个互异一次因式乘积，无重根）。这是最小多项式理论最直接的"应用结果"。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. \(\operatorname{lcm}[m_1, \dots, m_s]\) 中"方括号"的语义：方括号表示"首一"限制。不加方括号的 \(\operatorname{lcm}\) 一般指"任意公倍式中次数最低者"，但不同首项系数会得到不同多项式，故首一限制是必要的。
  2. \(m_A\) 不等于 \(m_1 \cdots m_s\)（乘积）：只有当 \(m_1, \dots, m_s\) 两两互素时才有 \(m_A = m_1 m_2 \cdots m_s\)。一般情形要用 lcm 而非乘积。
  3. 幂零指数不是"幂零矩阵的阶"：幂零指数 \(L\) 是"使 \(A^L = O\) 成立的最小的正整数"，不是矩阵的维数。例如 \(2 \times 2\) 矩阵 \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) 是幂零的，但幂零指数是 2；而 \(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)（零矩阵）幂零指数是 1。
  4. \(\lambda^L\) 作为最小多项式的"根 0 重数 = \(L\)"：\(\lambda^L\) 在 \(\mathbb{C}\) 中只有一个根 0，重数 \(L\)。这与特征多项式 \(\lambda^n\) 的根 0 重数 \(n\) 一般不同（除非 \(L = n\)）。
  5. 可对角化充要条件的"所有不同特征值"必须在 \(F\) 中：若 \(\mathcal{A}\) 的某些特征值在 \(F\) 中不存在（比如 \(F = \mathbb{R}\) 时 \(A = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) 的特征值 \(\pm i \notin \mathbb{R}\)），则 \(s\) 只数 \(F\) 中存在的特征值。本定理的前提是"特征值空间直和 = \(V\) 的特征值分解"，所以要求 \(f_A\) 在 \(F\) 中可分解为一次因式乘积。
  6. \(m_{\mathcal{A}} = \prod(\lambda - \lambda_j)\) 中"乘积"不是"幂"：每个 \((\lambda - \lambda_j)\) 的幂次都是 1（无重根），不能写成 \((\lambda - \lambda_1)^{r_1} \cdots\)。这正是"无重根"的充要条件。

✎自测与作业

  1. 设 \(A = \operatorname{diag}\left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)\)（4×4 分块对角矩阵），求各块最小多项式 \(m_1, m_2, m_3\)，并用 \(\operatorname{lcm}\) 计算 \(m_A\)，验证 \(m_A = (\lambda-1)^2 \cdot \lambda\)。
  2. 设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的幂零变换，幂零指数为 \(L\)。证明 \(m_{\mathcal{A}} = \lambda^L\)（按 P108 的"两步推理"完整写出）。
  3. 设 \(V = \mathbb{C}[x]_{\le 3}\)（次数 \(\le 3\) 的多项式空间，维数 4），\(\mathcal{D}\) 是求导算子。求 \(\mathcal{D}\) 的幂零指数与最小多项式，并验证 \(\mathcal{D}^3 \neq 0\) 但 \(\mathcal{D}^4 = 0\)。
  4. 设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)（2 阶 Jordan 块），求 \(f_A\) 与 \(m_A\)，并说明 \(m_A\) 是否有重根。
  5. 设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 3 维空间 \(V\) 上的线性变换，最小多项式 \(m_{\mathcal{A}} = (\lambda-1)(\lambda-2)\)（无重根）。证明 \(\mathcal{A}\) 可对角化，并求出 \(V\) 的"特征子空间直和"分解形式。
  6. （选做）证明"可对角化充要条件"的必要性：若 \(m_{\mathcal{A}} = \prod_{j=1}^{s}(\lambda - \lambda_j)\)（无重根），则 \(V = \bigoplus_{j=1}^{s} \ker(\mathcal{A} - \lambda_j I)\)。提示：用 P107 的"互素多项式对应不变子空间直和"定理，并说明 \(\ker(\mathcal{A} - \lambda_j I)\) 就是特征值 \(\lambda_j\) 的特征子空间。
下一集预告 第 P109 集 · 二十四：幂零变换的 Jordan 块结构、不变因子、初等因子——本集建立的"最小多项式 = 各限制最小多项式首一最小公倍式"将用于刻画 Jordan 标准形，后续引入"不变因子"（invariant factors）与"初等因子"（elementary divisors）的完整理论。