高等代数 · 第 P111 集 · 二十六：循环子空间

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◎学习目标

掌握循环向量（cyclic vector）的定义：向量 \(\alpha \in V\) 使向量组 \(\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关，且 \(A^T\alpha\) 仍落在该向量组张成的子空间中；
理解循环子空间 \(C(\alpha)\)：由循环向量 \(\alpha\) 及其在 \(A\) 下的一系列像张成的子空间 \(C(\alpha) = \operatorname{span}\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots\}\)；
掌握强循环子空间：若 \(A^L\alpha = 0\)（循环向量"回到了零"），则 \(C(\alpha)\) 为"强循环子空间"，其基下矩阵恰为 Jordan 块 \(J_L(0)\)；
理解循环向量的伴随多项式（最小多项式）：\(C(\alpha)\) 上 \(A\) 的最小多项式（即"伴随多项式"）决定了 \(C(\alpha)\) 的结构；
通过数学归纳法（第二数学归纳法）证明幂零变换的 Jordan 标准形定理：\(W\) 可分解为幂零变换的强循环子空间的直和，每块为 Jordan 块。

1循环向量的定义 ⏱ 00:25

设 \(A\) 是 \(F\) 上 \(N\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换。先回顾 P110 中幂零变换的循环子空间构造：取 \(\alpha\) 使 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\)，则 \(C(\alpha) = \operatorname{span}\{B^{L-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 中 \(B^L\alpha = 0\) 又"回到子空间里来"。由此抽象出"循环"概念。⏱ 00:25

定义 · 循环向量（cyclic vector）设 \(\alpha \in V\)，\(T\) 为满足以下两个条件的最小正整数：

向量组 \(\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关；
\(A^T\alpha\) 仍属于 \(\operatorname{span}\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\)（即"循环回来"）。

则称 \(\alpha\) 为线性变换 \(A\) 的循环向量。⏱ 01:10

老师提示"如果有一个向量 \(\alpha\)，\(A\) 是 \(F\) 上 \(N\) 维线性空间 \(V\) 上的一个线性变换，如果有一个向量 \(\alpha\)……有这几个条件：这个 \(\alpha\) 要是线性无关，到 \(A\) 的 \(T-1\) 次幂把 \(\alpha\) 因过去还线性无关，这是第一个条件；还要求 \(A\) 到了 \(T\) 次幂把 \(\alpha\) 因过去，还得属于这个向量组生成的子空间，还得属于它——它又回来了，又回来了。" ⏱ 01:30

2循环子空间 \(C(\alpha)\) 与强循环子空间 ⏱ 02:00

定义 · 循环子空间（cyclic subspace）由循环向量 \(\alpha\) 及其在 \(A\) 下的一系列像张成的子空间

C(\alpha) = \operatorname{span}\{\alpha,\ A\alpha,\ A^2\alpha,\ \dots,\ A^{T-1}\alpha\},

称为线性变换 \(A\) 的循环子空间。它是 \(A\) 的不变子空间（\(A\) 把 \(C(\alpha)\) 中每个向量作用后仍在 \(C(\alpha)\) 内）。⏱ 02:20

定义 · 强循环子空间（strongly cyclic subspace）若更强的条件成立：\(A^T\alpha = 0\)（即"循环到零向量"），则称 \(C(\alpha)\) 为 \(A\) 的强循环子空间。⏱ 03:00

命题 · 强循环子空间上 \(A\) 的矩阵为 Jordan 块设 \(B\) 是幂零变换，幂零指数为 \(L\)。取 \(\alpha\) 使 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\)，则 \(C(\alpha) = \operatorname{span}\{B^{L-1}\alpha, B^{L-2}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 是 \(B\) 的强循环子空间（\(B^L\alpha = 0\)），且 \(B\big|_{C(\alpha)}\) 在该基下的矩阵为 \(L\) 阶 Jordan 块 \(J_L(0)\)（主对角 0、次对角 1）。⏱ 04:00

特殊情形 \(L = R\)（幂零指数 = 维数）

若幂零指数 \(L\) 正好等于空间维数 \(R\)，则 \(C(\alpha)\) 的维数 = \(L = R\)，即 \(C(\alpha) = W\)（整个空间）。此时 \(\{B^{R-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 就是 \(W\) 的基，\(B\) 在该基下的矩阵恰为一个 Jordan 块 \(J_R(0)\)。⏱ 05:00

老师提示"但是天下没那么多好事都让你得，很可能 \(L\) 是小于 \(R\)，小于 \(R\)，不够，你这样就不够。你这一个子空间得到这么一个 Jordan 块不够，所以就是要继续探索。" ⏱ 05:30

3循环向量的伴随多项式（最小多项式） ⏱ 06:00

循环子空间 \(C(\alpha)\) 上 \(A\) 的"最小多项式"有一个专门的名称——循环向量的伴随多项式（companion polynomial）。

定义 · 循环向量的伴随多项式设 \(\alpha\) 是 \(A\) 的循环向量，\(T\) 为满足 \(\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关且 \(A^T\alpha \in C(\alpha)\) 的最小正整数。则存在唯一的 \(T\) 次首一多项式

\mu_\alpha(\lambda) = \lambda^T + c_{T-1}\lambda^{T-1} + c_{T-2}\lambda^{T-2} + \cdots + c_1\lambda + c_0,

使 \(\mu_\alpha(A)\alpha = 0\)（即 \(A^T\alpha + c_{T-1}A^{T-1}\alpha + \cdots + c_0\alpha = 0\)）。这个多项式 \(\mu_\alpha(\lambda)\) 称为 \(\alpha\) 的伴随多项式（companion polynomial），它等于 \(A\big|_{C(\alpha)}\) 的最小多项式。⏱ 06:30

强循环子空间情形（幂零）若 \(\alpha\) 是 \(A\) 的强循环向量（\(A^T\alpha = 0\)），则伴随多项式简化为

\mu_\alpha(\lambda) = \lambda^T,

即"零的 \(T\) 次幂"（幂零情形下无其他系数）。此时 \(A\big|_{C(\alpha)}\) 的 Jordan 块为 \(J_T(0)\)。⏱ 07:30

伴随多项式与"特征子空间限制的最小多项式"的关系

回顾 P109：\(A\) 在特征子空间 \(V_\lambda\) 上限制的最小多项式为 \(\lambda - \lambda\)。循环子空间 \(C(\alpha)\) 是"更小"的不变子空间（通常 \(C(\alpha) \subseteq V_\lambda\) 当 \(\alpha \in V_\lambda\)），其上的最小多项式（伴随多项式）整除 \(V_\lambda\) 上限制的最小多项式 \(\lambda - \lambda\)。⏱ 08:00

在"不可对角化"情形（\(m_A\) 含幂次 \((\lambda-\lambda_i)^{L_i}\)），循环子空间上的最小多项式可能为 \((\lambda-\lambda_i)^{t_i}\)（\(t_i \le L_i\)），这正是 P110 中各 Jordan 块阶数的来源。⏱ 08:30

4循环子空间的基 ⏱ 09:00

定理 · 循环子空间的基设 \(\alpha\) 是 \(A\) 的循环向量，\(T\) 为相应的最小正整数。则

\mathcal{B} = \{\alpha,\ A\alpha,\ A^2\alpha,\ \dots,\ A^{T-1}\alpha\}

是 \(C(\alpha)\) 的一组基，且 \(\dim C(\alpha) = T\)。⏱ 09:20

证明思路

线性无关：由循环向量定义的第 1 条，\(\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关，故为 \(C(\alpha)\) 的生成组中无冗余，\(\dim C(\alpha) \ge T\)。⏱ 09:50

维数上界：由循环向量定义的第 2 条，\(A^T\alpha\) 属于 \(\operatorname{span}\{\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\)，故 \(C(\alpha)\) 中任意更高次项 \(A^k\alpha\)（\(k \ge T\)）都可被前 \(T\) 个线性表示（递推降次）。故 \(\dim C(\alpha) = T\)，且该组为 \(C(\alpha)\) 的基。证毕。⏱ 10:20

\(A\) 在循环子空间 \(C(\alpha)\) 基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵取基 \(\mathcal{B} = \{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\)（正序，从 0 次到 \(T-1\) 次），则 \(A\big|_{C(\alpha)}\) 在该基下的矩阵为

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & -c_0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -c_1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & -c_2 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{T-1} \end{pmatrix},

即"伴随矩阵（companion matrix）"形式。若 \(C(\alpha)\) 为强循环子空间（\(A^T\alpha=0\)），则 \(c_0 = c_1 = \cdots = c_{T-1} = 0\)，矩阵退化为 Jordan 块 \(J_T(0)\)（主对角 0、次对角 1）。⏱ 11:00

基的顺序注意若取倒序基 \(\{A^{T-1}\alpha, A^{T-2}\alpha, \dots, A\alpha, \alpha\}\)，则 1 出现在主对角上方（"次对角"为 1 在上方），即标准 Jordan 块 \(J_T(\lambda)\) 形式。若取正序基 \(\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\)，则 1 出现在主对角下方（"次对角"为 1 在下方），即转置的 Jordan 块形式。本集采用"倒序"写法与 P110 一致（1 在上方）。⏱ 11:30

5幂零变换的 Jordan 标准形定理（证明） ⏱ 12:00

定理 · 幂零变换的 Jordan 标准形设 \(B\) 是 \(F\) 上 \(R\) 维线性空间 \(W\) 上的幂零变换，幂零指数为 \(L\)。则 \(W\) 可分解为 \(B\) 的强循环子空间的直和：

W = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k,

其中每个 \(W_i\) 是 \(B\) 的强循环子空间，\(B\big|_{W_i}\) 的矩阵为 Jordan 块 \(J_{m_i}(0)\)（主对角 0、次对角 1），\(\sum m_i = R\)。⏱ 12:00

证明（第二数学归纳法）

归纳基础 \(R = 1\)：\(W\) 是 1 维空间，由非零向量 \(\alpha\) 生成。幂零指数 \(L\) 满足 \(L \le 1\)（由 P110 命题"幂零指数不超过维数"），故 \(L = 1\)，即 \(B\alpha = 0\)。此时 \(C(\alpha) = W\) 是强循环子空间（\(B\alpha = 0\)），命题成立。⏱ 12:30

归纳假设：假设对所有维数 \(< R\) 的线性空间上，命题成立（即"幂零变换的空间可分解为强循环子空间直和"）。⏱ 13:00

归纳步（\(R\) 维空间 \(W\) 上的幂零变换 \(B\)，幂零指数 \(L\)）：

情况 1：\(L = 1\)（即 \(B = 0\)，零变换）。取 \(W\) 的基 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_R\}\)。因为 \(B\) 是零变换，每个 \(\alpha_i\) 生成的子空间 \(\operatorname{span}\{\alpha_i\}\) 都是 \(B\) 的强循环子空间（\(B\alpha_i = 0\)），且

W = \operatorname{span}\{\alpha_1\} \oplus \operatorname{span}\{\alpha_2\} \oplus \cdots \oplus \operatorname{span}\{\alpha_R\}.

故 \(W\) 分解为 \(R\) 个强循环子空间的直和。证毕。⏱ 13:30

情况 2：\(L > 1\)（\(B \neq 0\)）。因为 \(B\) 是幂零变换，它有特征值 0，故存在非零特征向量 \(\beta\)（\(B\beta = 0\)）。令

W_0 = \ker B = \{\beta \in W : B\beta = 0\}

为特征值 0 的特征子空间（即 \(B\) 的核）。注意：

\(W_0 \neq \{0\}\)（含非零特征向量）；
\(\dim W_0 < R\)（因 \(B \neq 0\)，若 \(W_0 = W\) 则 \(B = 0\)，与 \(L > 1\) 矛盾）；
\(\dim W_0 \ge 1\)。

故 \(1 \le \dim W_0 < R\)，满足归纳假设条件。⏱ 14:00

在商空间 \(W/W_0\) 上构造一个新的线性变换 \(\bar{B}\)（由 \(B\) 诱导）：对任意陪集 \(\alpha + W_0 \in W/W_0\)，规定

\bar{B}(\alpha + W_0) = B\alpha + W_0.

⏱ 14:30

良定性验证（well-defined）：陪集代表不唯一，需验证"换代表不影响结果"。设 \(\alpha + W_0 = \beta + W_0\)，即 \(\alpha - \beta \in W_0\)，则

B(\alpha - \beta) = 0 \quad \text{（因 } \alpha-\beta \in \ker B = W_0\text{）},

即 \(B\alpha - B\beta = 0\)，故 \(B\alpha + W_0 = B\beta + W_0\)。因此 \(\bar{B}\) 的映射良定。⏱ 15:00

\(\bar{B}\) 是商空间上的线性变换（保持加法与标量乘法，这是 P111 中"映射"概念的应用）：

\bar{B}((\alpha+W_0)+(\beta+W_0)) = B(\alpha+\beta)+W_0 = (B\alpha+B\beta)+W_0 = \bar{B}(\alpha+W_0)+\bar{B}(\beta+W_0), \] \[ \bar{B}(c(\alpha+W_0)) = B(c\alpha)+W_0 = cB\alpha+W_0 = c\bar{B}(\alpha+W_0). \]

故 \(\bar{B}\) 是 \(W/W_0\) 上的线性变换。⏱ 15:30

\(\bar{B}\) 是幂零变换：若 \(\bar{B}^k(\alpha+W_0) = B^k\alpha + W_0\)。因 \(B\) 幂零指数 \(L\)，\(\bar{B}\) 的幂零指数 \(L' \le L\)（且一般 \(L' < L\)，因 \(\bar{B}\) 在"商掉"了核之后"降幂"）。商空间 \(W/W_0\) 的维数 \(= R - \dim W_0 < R\)，故由归纳假设，\(W/W_0\) 可分解为 \(\bar{B}\) 的强循环子空间的直和。

老师提示"我们这个搞映射，就多了点映射的概念，比高中简直就是理解深刻多了——每一个元素要有唯一确定的象。" ⏱ 16:00

归纳步的收尾（本笔记省略）由归纳假设，商空间 \(W/W_0\) 可分解为 \(\bar{B}\) 的强循环子空间的直和。把这些强循环子空间的"原像"拉回 \(W\)，与 \(W_0\) 上的 \(B\) 的强循环子空间拼合，得到 \(W\) 分解为 \(B\) 的强循环子空间的直和。每个子空间上 \(B\) 的矩阵为 Jordan 块 \(J_{m_i}(0)\)，合起来为约当形矩阵。证毕。⏱ 17:00

★重点回顾

循环向量：\(\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关且 \(A^T\alpha \in C(\alpha)\) 的向量 \(\alpha\)。"循环"指 \(A^T\alpha\) "回到子空间里来"。

循环子空间 \(C(\alpha) = \operatorname{span}\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots\}\)：由循环向量及其一切 \(A\) 像张成。\(A\) 的不变子空间。

强循环子空间：\(A^T\alpha = 0\)（循环到零）的循环子空间。其上 \(A\) 的矩阵为 Jordan 块 \(J_T(\lambda)\)（一般）或 \(J_T(0)\)（幂零）。

伴随多项式 \(\mu_\alpha(\lambda)\)：循环向量 \(\alpha\) 在 \(A\) 下"循环"的首一多项式，等于 \(A\big|_{C(\alpha)}\) 的最小多项式。强循环（幂零）时 \(\mu_\alpha = \lambda^T\)。

幂零变换的 Jordan 标准形定理（用第二数学归纳法证明）：\(W\) 可分解为 \(B\) 的强循环子空间直和，每块为 Jordan 块 \(J_{m_i}(0)\)。归纳核心：商空间 \(W/\ker B\) 上的诱导变换 \(\bar{B}\) 是幂零的，维数下降。

⚠易错点提醒

常见错误

"循环向量" \(T\) 是最小正整数：\(T\) 是"使 \(\{\alpha, A\alpha, \dots, A^{T-1}\alpha\}\) 线性无关且 \(A^T\alpha\) 落回子空间"的最小正整数。若取更大的 \(T'\)，则多出的向量 \(A^T'\alpha\) 可由前 \(T\) 个线性表示（非基）。
"强循环"与"循环"的区别：强循环要求 \(A^T\alpha = 0\)（"循环到零向量"），是循环的更强条件。幂零变换的循环子空间自动是强循环的（因 \(B^L\alpha=0\)）。
循环子空间的维数 = \(T\)，不是 \(N\)（全空间维数）：\(C(\alpha)\) 通常比全空间 \(V\) 小（是 \(V\) 的不变子空间），\(\dim C(\alpha) = T\)。只有当 \(T = N\) 时 \(C(\alpha) = V\)（"循环向量生成全空间"）。
商空间 \(W/W_0\) 上诱导变换 \(\bar{B}\) 的良定性：必须验证"换陪集代表不影响 \(\bar{B}\) 的值"。关键是 \(W_0 = \ker B\) 是 \(B\) 的不变子空间（特征子空间必为不变子空间），故 \(B(\alpha-\beta) = 0\) 当 \(\alpha-\beta \in W_0\)。若 \(W_0\) 不是 \(B\) 的不变子空间，则 \(\bar{B}\) 不可良定。
第二数学归纳法 vs 第一数学归纳法：本定理用"第二数学归纳法"——归纳假设是"所有维数 \(< R\) 的空间命题成立"（而非仅"维数 \(= R-1\) 的"）。这是因为归纳步中商空间的维数 \(R - \dim W_0\) 可能不等于 \(R-1\)（\(\dim W_0\) 可任意大于 1）。
\(\dim W_0\) 的下界 1 与上界 \(R-1\)：\(\dim W_0 \ge 1\) 由"特征向量非零"保证；\(\dim W_0 < R\) 由"若 \(\dim W_0 = R\) 则 \(B = 0\)（\(L=1\)），与 \(L>1\) 矛盾"保证。这两个界限必须都满足，归纳假设才可用。

✎自测与作业

设 \(A\) 为 3 维空间 \(V\) 上的线性变换，\(\alpha\) 为循环向量，\(T=3\)。写出 \(C(\alpha)\) 的基，并验证 \(\dim C(\alpha) = 3 = \dim V\)（即 \(C(\alpha) = V\)）。
设 \(B\) 为幂零变换，幂零指数 \(L=2\)，空间维数 \(R=5\)。说明 \(B\) 的 Jordan 标准形可能包含的 Jordan 块结构（提示：最大块阶数 = 2，各块阶数之和 = 5，如 \(J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_1(0)\) 或 \(J_2(0) \oplus J_3(0)\)？说明哪个合法。）
设 \(\alpha\) 是 \(A\) 的循环向量，\(T=4\)，伴随多项式 \(\mu_\alpha(\lambda) = \lambda^4 - 3\lambda + 1\)。写出 \(A\big|_{C(\alpha)}\) 在基 \(\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, A^3\alpha\}\) 下的矩阵（"伴随矩阵"形式）。
设 \(W\) 为 3 维空间，\(B\) 为幂零变换，\(B^3 = 0\) 且 \(B^2 \neq 0\)。求 \(B\) 的 Jordan 标准形（含哪些 Jordan 块），并验证。\n
（思考）设 \(W_0 = \ker B\)，\(\bar{B}\) 为 \(W/W_0\) 上的诱导变换。若 \(\dim W_0 = 2\)，\(R = 4\)，则 \(\dim(W/W_0) = 2\)。用归纳假设，\(W/W_0\) 上 \(\bar{B}\) 可分解为几个强循环子空间？说明 \(\bar{B}\) 的幂零指数。\n
（选做）设 \(B\) 为 5 维空间上的幂零变换，\(\dim\ker B = 2\)，幂零指数 \(L = 3\)。写出 \(B\) 的 Jordan 标准形（含 3 阶和 2 阶块），并验证 \(\sum m_i = 5\)。

下一集预告第 P112 集（继续 Jordan 标准形）：处理"不可对角化"情形下含 \(\lambda\) 的 Jordan 块 \(J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0)\)，以及一般线性变换的 Jordan 标准形定理（不可对角化情形的完整处理）。