高等代数 · 第 P112 集 · 二十七：商空间、幂零变换、强循环子空间

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◎学习目标

理解给定一个 \(F\) 上的 \(r\) 维线性空间 \(W\) 与子空间 \(W_0\)，以及 \(W\) 上的线性变换 \(B\) 满足 \(B(W_0) \subseteq W_0\)（或 \(B\) 限制在 \(W_0\) 上为 \(0\) 变换）时，可在商空间 \(W/W_0\)上定义诱导变换 \(B_1\)：\(\bar\alpha \mapsto B(\alpha)+W_0\)，并验证它是 \(W/W_0\) 上的线性变换；⏱ 00:27
若 \(B\) 是幂零指数为 \(L\) 的幂零变换，则商空间上的诱导变换 \(B_1\) 也是幂零的（且 \(B_1^{L}=0\)）；从而可以对该“低维”商空间使用归纳假设，把 \(W/W_0\) 分解为 \(B_1\) 的强循环子空间的直和；⏱ 01:11
把商空间中的强循环子空间（陪集 \(\alpha+W_0\)）“拉回” \(W\)：把每个陪集用其代表元（即向量）代替，得到 \(W\) 的一组子空间；⏱ 04:25
这些直接拉回的子空间未必是 \(B\) 的强循环子空间（\(B^{T_i}\alpha_i\) 可能仅落在 \(W_0\) 中而非 \(0\) 向量），需要把 \(W_0\) 中的部分向量“回填”进子空间后，验证修正后的子空间确实是 \(B\) 的强循环子空间；⏱ 09:29
证明修正后各子空间代表元生成的向量组线性无关（其陪集构成商空间的一组基的一部分），从而可扩充为 \(W_0\) 的基，进而把 \(W_0\) 的基按 \(B\) 的循环结构拆分，最终得到 \(W\) 是若干 \(B\) 的强循环子空间的直和；⏱ 16:55
为下一集（幂零变换的 Jordan 标准形）与后续（一般线性变换的 Jordan 标准形）打下“强循环子空间直和分解”的理论基础。

1商空间上的诱导变换 ⏱ 00:27

本集紧接上一集对“若 \(B\) 是 \(W\) 上的幂零变换，则 \(W\) 可分解为 \(B\) 的强循环子空间直和”的归纳证明。设 \(W_0=\ker B\)（即 \(B\) 属于特征值 \(0\) 的特征子空间），则 \(B(W_0)\subseteq W_0\)，故可在商空间 \(W/W_0\) 上定义映射 \(B_1\)：

定义 · 商空间上的诱导变换设 \(B\) 为 \(W\) 上的线性变换，\(W_0\subseteq W\) 是 \(B\) 的不变子空间（本集情形 \(W_0=\ker B\)）。定义

B_1:\; W/W_0 \longrightarrow W/W_0,\qquad \alpha+W_0 \longmapsto B(\alpha)+W_0.

验证 \(B_1\) 是 \(W/W_0\) 上的线性变换

良定义性：若 \(\alpha+W_0=\alpha'+W_0\)，即 \(\alpha-\alpha'\in W_0\)，由 \(B(W_0)\subseteq W_0\) 得 \(B(\alpha)-B(\alpha')\in W_0\)，故 \(B(\alpha)+W_0=B(\alpha')+W_0\)。 ⏱ 00:30

保持加法与纯量乘法（老师留作同学自证）：

B_1(\alpha+W_0+\beta+W_0)=B(\alpha+\beta)+W_0 = \bigl(B\alpha+W_0\bigr)+\bigl(B\beta+W_0\bigr) = B_1(\alpha+W_0)+B_1(\beta+W_0), \] \[ B_1(\lambda(\alpha+W_0)) = B(\lambda\alpha)+W_0 = \lambda\bigl(B\alpha+W_0\bigr) = \lambda B_1(\alpha+W_0).

从而 \(B_1\) 是 \(W/W_0\) 上的线性变换。⏱ 01:09

老师提示“这个每个同学自己可以验证一下，这样可以留几行，\(B\) 基本留几行。”即商空间的加法、纯量乘法运算配合 \(B\) 的线性，验证并不复杂，但每一步都应把“陪集等于陪集”（即差属于 \(W_0\)）写清楚。

2商空间上的诱导变换是幂零变换 ⏱ 01:11

命题 · \(B_1\) 也是幂零的若 \(B\) 的幂零指数为 \(L\)（即 \(B^{L-1}\neq 0,\ B^{L}=0\)），则商空间上的诱导变换 \(B_1\) 也满足 \(B_1^{L}=0\)。

证明：直接计算 \(B_1^{L}(\alpha+W_0)\)

按定义，\(B_1\) 作用 \(k\) 次：

B_1^{k}(\alpha+W_0)=B^{k}(\alpha)+W_0.

特别地取 \(k=L\)，因为 \(B^{L}\) 是 \(0\) 变换，\(B^{L}(\alpha)=0\)（零向量），故

B_1^{L}(\alpha+W_0)=0+W_0 = W_0,

即商空间中的 \(0\) 元素。所以对任意 \(\alpha+W_0\)，\(B_1^{L}(\alpha+W_0)=W_0\)，从而 \(B_1\) 是幂零变换（幂零指数不超过 \(L\)）。⏱ 01:57

关键一句“\(B\) 是幂零指数为 \(L\) 的幂零变换，首先直觉上你应该考虑 \(L\) 次幂”——老师强调：拿在手边的信息（幂零指数 \(L\)）不要丢掉，直接用 \(L\) 次幂去算，就能立刻得到 \(B_1^{L}=0\)。

由此，对商空间 \(W/W_0\)（维数为 \(\dim W_0\)，比 \(\dim W=r\) 小）就可以使用归纳假设（按维数 \(r\) 作第二数学归纳法）。⏱ 03:44

3归纳假设：商空间分解为强循环子空间直和 ⏱ 04:03

归纳假设按维数归纳，假设对所有维数小于 \(r\) 的线性空间上、幂零指数为某值的幂零变换，整个空间可分解为该变换的强循环子空间的直和。

由第 2 节，\(B_1\) 是 \(W/W_0\) 上的幂零变换，故可把 \(W/W_0\) 分解为 \(B_1\) 的强循环子空间的直和。记这些强循环子空间为 \(\mathcal{U}_1,\dots,\mathcal{U}_s\)，其中每个 \(\mathcal{U}_i\) 是 \(B_1\) 的强循环子空间：

\mathcal{U}_i = \operatorname{span}\bigl\{\,\alpha_i+W_0,\ B_1(\alpha_i+W_0),\ B_1^{2}(\alpha_i+W_0),\ \dots,\ B_1^{T_i-1}(\alpha_i+W_0)\,\bigr\},

即 \(\alpha_i+W_0\) 是 \(B_1\) 的循环生成元，其连续像 \(B_1^{k}(\alpha_i+W_0)\)（\(k=0,1,\dots,T_i-1\)）线性无关，而 \(B_1^{T_i}(\alpha_i+W_0)=W_0\)（商空间的 \(0\) 元素）。⏱ 04:44

定义 · 强循环子空间（回顾）设 \(A\) 是 \(V\) 上的线性变换，\(U\subseteq V\) 是 \(A\) 的不变子空间。若存在 \(\alpha\in U\) 使得 \(U=\operatorname{span}\{\alpha, A\alpha, A^{2}\alpha,\dots\}\)，且这些向量线性无关（设恰好 \(T\) 个，\(A^{T}\alpha=0\)），则称 \(U\) 是 \(A\) 的强循环子空间（\(\alpha\) 是 \(A\) 的循环向量，\(T\) 为其循环指数）。⏱ 05:36

4把分解“拉回”原空间 \(W\) ⏱ 04:25

商空间的元素都是陪集（陪集的代表元）。把第 3 节中每个 \(\mathcal{U}_i\) 的生成元陪集换成其代表元（向量），得到 \(W\) 中的子空间：

U_i^{(0)} = \operatorname{span}\bigl\{\,\alpha_i,\ B\alpha_i,\ B^{2}\alpha_i,\ \dots,\ B^{T_i-1}\alpha_i\,\bigr\},\qquad i=1,\dots,s.

由商空间定理（陪集构成的基对应 \(W\) 中一组代表元生成 \(W/W_0\) 的基），把 \(U_1^{(0)},\dots,U_s^{(0)}\) 的全体生成元代表元挑出来，得到 \(W\) 中一组线性无关向量，其张成的子空间记为 \(U\)。由商空间定理（老师强调“这是大课讲过、书上没写、但考试考过的结论”）：

商空间直和分解定理（定理二的应用）若 \(\{\bar u_1,\dots,\bar m\}\) 是 \(W/W_0\) 的一组基，且 \(\bar u_j=u_j+W_0\)，则

W = W_0 \,\oplus\, \operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}.

即整个空间 \(W\) 等于原特征子空间 \(W_0\) 直和由陪集代表元张成的子空间 \(U\)，且这一组代表元就是 \(U\) 的一组基。⏱ 09:37

于是可以“分段”：把 \(U\) 再按 \(B\) 的循环结构拆成若干子空间，分别由 \(\{\alpha_i, B\alpha_i,\dots,B^{T_i-1}\alpha_i\}\) 与 \(W_0\) 中补充的向量生成，尝试构造 \(B\) 的强循环子空间。⏱ 11:37

5验证修正后的子空间仍是 \(B\) 的强循环子空间 ⏱ 09:29

先看直接拉回的 \(U_i^{(0)}\)：取首向量 \(\alpha_i\)，希望 \(B^{T_i}\alpha_i=0\)。但实际计算发现：

B^{T_i}\alpha_i + W_0 = B_1^{T_i}(\alpha_i+W_0) = W_0 \implies B^{T_i}\alpha_i \in W_0,

即 \(B^{T_i}\alpha_i\) 未必等于零向量，只是属于 \(W_0=\ker B\)。⏱ 10:54

并非如你所愿 \(U_i^{(0)}\) 不一定就是 \(B\) 的强循环子空间，因为“\(B^{T_i}\alpha_i\) 恰好等于零向量”这一强循环子空间定义所要求的条件未必满足，只能保证 \(B^{T_i}\alpha_i\in W_0\)（可能非零）。⏱ 13:47

修正办法：把 \(B^{T_i}\alpha_i\in W_0\) “回填”进 \(U_i\)。令

U_i = \operatorname{span}\bigl\{\,B^{T_i}\alpha_i,\ \alpha_i,\ B\alpha_i,\ \dots,\ B^{T_i-1}\alpha_i\,\bigr\}\subseteq W.

再验证 \(B^{T_i+1}\alpha_i=0\)：因为 \(B^{T_i}\alpha_i\in W_0=\ker B\)，按特征子空间（\(W_0\) 是特征值 \(0\) 的特征子空间）定义，\(B\) 作用其上必为零向量，故

B^{T_i+1}\alpha_i = B\bigl(B^{T_i}\alpha_i\bigr) = 0.

这样 \(U_i\) 的生成链中，\(B^{T_i}\alpha_i\) 作为“新的首向量”（在 \(W_0\) 中），再用 \(B\) 作用一次即得零向量，符合强循环子空间定义。⏱ 12:44

细节：为什么回填后首向量是 \(B^{T_i}\alpha_i\) 而非 \(\alpha_i\) 本身

对强循环子空间 \(\operatorname{span}\{v, Bv, \dots, B^{T-1}v\}\)，要求 \(B^{T}v=0\) 且前 \(T\) 个向量线性无关。在 \(U_i\) 中，把 \(v=B^{T_i}\alpha_i\in W_0\) 作为“新起点”：

v=B^{T_i}\alpha_i,\quad Bv=B^{T_i+1}\alpha_i=0

故以 \(v\) 为循环生成元时，循环长度至少为 \(1\)（即 \(v, Bv=0\)，\(T=1\) 的强循环子空间就是 \(W_0\) 中由 \(v\) 生成的一维子空间）。而 \(\alpha_i, B\alpha_i,\dots,B^{T_i-1}\alpha_i\) 与 \(v=B^{T_i}\alpha_i\) 合起来仍保持 \(B\) 的不变性与线性无关性（见第 6 节证明），故 \(U_i\) 整体仍是 \(B\) 的强循环子空间。⏱ 12:44

6线性无关性、扩充基与强循环子空间直和分解定理 ⏱ 16:55

需要证明回填后各 \(U_i\) 的生成元（全部落在 \(W_0\) 中的那部分）线性无关。设向量组 \[ B^{T_1}\alpha_1,\dots,B^{T_1}\alpha_1\ (\text{即} W_0\text{ 中的首向量}),\ \dots,\ B^{T_s}\alpha_s \] 满足

k_1 B^{T_1}\alpha_1+\cdots+k_s B^{T_s}\alpha_s = 0.

两边同时作用 \(B\)（利用线性变换对纯量乘法的分配律，把 \(B\) 提出来、指数减 1）：

k_1 B^{T_1-1}\alpha_1+\cdots+k_s B^{T_s-1}\alpha_s = B^{-1}(\text{原式}) \in \ker B = W_0.

更严格地，原式等于零向量，故该线性组合本身 \(\in\ker B=W_0\)；把它视为商空间 \(W/W_0\) 中的陪集，等于 \(W_0\)（商空间的 \(0\)）：

\bigl(k_1 B^{T_1-1}\alpha_1+\cdots+k_s B^{T_s-1}\alpha_s\bigr)+W_0 = W_0.

按商空间的纯量乘法、加法运算法则，这等价于

k_1\bigl(B_1^{T_1-1}(\alpha_1+W_0)\bigr)+\cdots+k_s\bigl(B_1^{T_s-1}(\alpha_s+W_0)\bigr)=W_0.

而 \(\{B_1^{T_1-1}(\alpha_1+W_0),\dots,B_1^{T_s-1}(\alpha_s+W_0)\}\) 是商空间基的一部分（商空间基的任意子组都线性无关），故 \(k_1=\cdots=k_s=0\)。⏱ 20:42

扩充 \(W_0\) 的基并拆分，得到 \(W\) 的强循环子空间直和分解

已证 \(W_0\) 中向量组 \(\{B^{T_1}\alpha_1,\dots,B^{T_s}\alpha_s\}\) 线性无关，故可扩充成 \(W_0\) 的一组基：把该向量组后面补上 \(a_1,\dots,a_q\)，使

\bigl\{\,B^{T_1}\alpha_1,\dots,B^{T_s}\alpha_s,\ a_1,\dots,a_q\,\bigr\}

是 \(W_0\) 的一组基。⏱ 22:42

因为 \(W=W_0\oplus U\)，把 \(W_0\) 这组基按循环结构拆分（每个 \(a_j\) 及其在 \(B\) 下的像构成循环链），连同前面各 \(U_i\) 的循环链，得到 \(W\) 的一组基。由此 \(W\) 被分解为若干 \(B\) 的强循环子空间的直和：每个直和项都形如

\operatorname{span}\bigl\{\,v, Bv, B^{2}v, \dots, B^{T-1}v\,\bigr\},\quad B^{T}v=0,

其中 \(v\) 是循环生成元，\(T\) 是循环指数（不超过幂零指数 \(L\)）。⏱ 24:55

本集核心结论（定理，留待下集结合 Jordan 标准形给出形式）设 \(B\) 是 \(F\) 上 \(r\) 维线性空间 \(W\) 上的幂零变换，幂零指数为 \(L\)，则 \(W\) 可分解为 \(\dim W_0\)（即 \(\dim\ker B\)）个 \(B\) 的强循环子空间的直和；每一个强循环子空间取“循环生成元放最前”的基，合起来就是 \(W\) 的一组基。强循环子空间个数为

\dim W_0 = \dim W - \operatorname{rank} B = r - \operatorname{rank} B.

（“\(B\) 的像的维数”即 \(B\) 的秩 \(\operatorname{rank} B\)；这里用到“线性变换的像的维数 + 核的维数 = 整个空间的维数”这一维数公式，也即 \(r-\operatorname{rank} B=\dim\ker B\)。）⏱ 24:55

承上启下本集在理论上完成了“幂零变换可分解为强循环子空间直和”的归纳证明。下一集将数一数每个大小的 Jordan 块（强循环子空间）有多少个——Jordan 块大小由 \(\ker B^{i}\) 的维数差决定，幂零指数 \(L\) 是最大 Jordan 块的阶数——从而得到幂零变换的 Jordan 标准形。

★重点回顾

商空间上的诱导变换：\(B_1(\alpha+W_0)=B\alpha+W_0\)，要求 \(B(W_0)\subseteq W_0\)；良定义性与线性靠商空间的陪集运算保证。

幂零性传递：\(B\) 幂零（\(B^L=0\)）\(\Rightarrow B_1\) 幂零（\(B_1^L=0\)），直接由定义 \(B_1^k(\alpha+W_0)=B^k\alpha+W_0\) 得证。

强循环子空间：\(\alpha\) 为循环生成元、\(B^T\alpha=0\) 且 \(\alpha,B\alpha,\dots,B^{T-1}\alpha\) 线性无关；\(W\) 被分解为若干强循环子空间的直和，每个直和项取“生成元放最前”的基，合起来即 \(W\) 的基。

“回填”技巧：陪集代表元直接生成的子空间，\(B^{T_i}\alpha_i\) 只保证落在 \(\ker B=W_0\) 中，需把 \(B^{T_i}\alpha_i\) 补进生成元集合，才能构成真正的 \(B\) 的强循环子空间。

线性无关性：把陪集等式（差属于 \(W_0\)）“降到”商空间中，用商空间基（或其子组）的线性无关性证明系数全零；再用基的扩充把 \(W_0\) 的补充基向量也拆成循环链。

维数结论：强循环子空间个数 \(=\dim W_0=\dim\ker B=r-\operatorname{rank} B\)；该个数由 \(B\) 唯一确定，为下一集数 Jordan 块个数、写 Jordan 标准形做准备。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆 \(B^{T_i}\alpha_i\in W_0\) 与 \(B^{T_i}\alpha_i=0\)：前者只说明像落在核（特征子空间）中，后者才说明强循环子空间定义成立；必须把 \(B^{T_i}\alpha_i\) 本身“回填”进生成元，验证 \(B(B^{T_i}\alpha_i)=B^{T_i+1}\alpha_i=0\)（利用 \(W_0=\ker B\)）。
忘记商空间的运算法则：陪集的加法是“代表元相加再取陪集”，纯量乘法是“纯量乘代表元再取陪集”；写证明时每一步都要核对“陪集相等 \(\iff\) 差属于 \(W_0\)”。
基的扩充遗漏 \(W_0\) 的维数部分：回填后 \(W_0\) 中还有 \(\dim W_0 - s\) 个向量需补进基，这些向量也要按 \(B\) 的循环结构拆分成强循环子空间，否则分解不完整。
强循环子空间取基时顺序错误：每个强循环子空间的基必须是“循环生成元放最前、再依次是 \(B\) 的像”的顺序，合起来才是 \(W\) 的一组基；顺序乱了会破坏分块对角结构。
维数公式记错：\(\dim W_0=r-\operatorname{rank} B\) 用的是“线性变换的像（秩）的维数 + 核的维数 = 整个空间维数”，不是子空间维数公式；不要把 \(W_0\) 当成任意子空间套 \(V_1+V_2\) 维数公式。
把“商空间分解”直接等同“\(W\) 分解”：商空间中的强循环子空间是陪集张成的，拉回 \(W\) 后必须经第 5 节“回填”修正，才得到 \(W\) 中真正的强循环子空间；不能跳过这一步直接声明“分解完成”。

✎自测与作业

设 \(W=\mathbb{R}^4\)，\(B\) 为幂零变换，\(B^3=0\) 但 \(B^2\neq 0\)，\(\ker B\) 维数为 2。写出商空间 \(W/\ker B\)（维数 2）上诱导变换 \(B_1\) 的表达式，并验证 \(B_1^3=0\)。
验证商空间线性性：设 \(B_1(\alpha+W_0)=B\alpha+W_0\)，证明 \(B_1((\alpha+\beta)+W_0)=B_1(\alpha+W_0)+B_1(\beta+W_0)\) 与 \(B_1(\lambda(\alpha+W_0))=\lambda B_1(\alpha+W_0)\)。
设 \(B\) 的幂零指数为 \(L=4\)，某循环生成元 \(\alpha\) 满足 \(B^4\alpha\in\ker B\) 但 \(B^4\alpha\neq 0\)。把 \(B^4\alpha\) 回填进生成元后，验证 \(B^5\alpha=0\)，并说明此时该强循环子空间的循环指数为 5（仍 \(\le L+1\) 情形下需与整体幂零指数核对）。
（证明题）证明：若 \(W_0\) 中向量组 \(\{B^{T_1}\alpha_1,\dots,B^{T_s}\alpha_s\}\) 满足 \(k_1B^{T_1}\alpha_1+\cdots+k_sB^{T_s}\alpha_s=0\)，则 \(k_1=\cdots=k_s=0\)。提示：把该等式两边“除”以 \(B\)（作用 \(B\) 一次降幂）得陪集等式，用商空间基的线性无关性。
设 \(B\) 的 Jordan 标准形由 1 阶、2 阶、4 阶三种 Jordan 块组成，\(\operatorname{rank} B\) 已知。计算：(a) Jordan 块总数；(b) 各阶 Jordan 块个数关系（用 \(\dim\ker B,\dim\ker B^2,\dim\ker B^4\) 表示）——为下一集 P113 的 Jordan 标准形做准备。
（思考）为什么“强循环子空间个数 \(=\dim W_0\)”？用本集第 6 节“基的扩充 + 维数公式 \(r-\operatorname{rank} B=\dim\ker B\)”完整写出推导（丘老师在课上称之为“小学生都会数，但后面的维数就不是小学生会数的”结论）。

下一集预告第 P113 集 · 二十八：幂零变换的 Jordan 标准形——数一数各阶 Jordan 块个数 \(N_t\)（由 \(\operatorname{rank} B^{t-1},\operatorname{rank} B^{t},\operatorname{rank} B^{t+1}\) 决定），写出幂零变换的 Jordan 标准形（由 0 为主对角线的 Jordan 块组成的分块对角矩阵），并证明除去 Jordan 块排列次序外唯一。