高等代数 · 第 P113 集 · 二十八：幂零变换的 Jordan 标准形

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◎学习目标

掌握幂零变换的 Jordan 标准形：$W$ 存在一组基，使得幂零变换 $B$ 在该基下的矩阵是由主对角线全为 0 的 Jordan 块组成的分块对角矩阵（称为 Jordan 标准形），除去 Jordan 块的排列次序外，该标准形被 $B$ 唯一确定；
理解每个 Jordan 块的阶数 $T$（循环指数）不超过 $B$ 的幂零指数 $L$（$B^L=0$，$B^{L-1}\neq 0$）；
掌握 $T$ 阶 Jordan 块个数 $N_T$ 的计算公式 $N_T = \operatorname{rank} B^{T-1} + \operatorname{rank} B^{T+1} - 2\operatorname{rank} B^{T},\qquad 1\le T\le L,$ 特别地 $N_1=\operatorname{rank} B^0-\operatorname{rank} B^1=\dim W-\operatorname{rank} B$；
掌握 Jordan 块总数公式 $\sum_{T=1}^{L}N_T = \dim W_0 = \dim W - \operatorname{rank} B$（$W_0=\ker B$，即 $B$ 属于特征值 0 的特征子空间）；
理解 幂零指数 $L$ 是最大 Jordan 块的阶数（$L$ 阶 Jordan 块的个数 $N_L=\operatorname{rank} B^{L-1}$），并据此判断 Jordan 标准形的具体结构；
把上述变换语言结论翻译为矩阵语言：$r$ 阶幂零矩阵 $B$ 相似于由其 Jordan 标准形（0 主对角线的 Jordan 块分块对角矩阵）；
为下一集（一般线性变换的 Jordan 标准形）做好“先处理幂零情形，再处理一般情形”的铺垫。

1幂零变换的 Jordan 标准形（定理二） ⏱ 08:44

定理二 · 幂零变换的 Jordan 标准形（前半部分：存在性）设 $B$ 是 $F$ 上 $r$ 维线性空间 $W$ 上的幂零变换，幂零指数为 $L$，则存在 $W$ 的一组基，使得 $B$ 在该基下的矩阵为由若干 Jordan 块（每个 Jordan 块为主对角线全 0、次对角线全 1 的方阵）组成的分块对角矩阵，称为 $B$ 的 Jordan 标准形。

J_B = \begin{pmatrix} J_{T_1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{T_m} \end{pmatrix},\qquad J_T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}_T

其中 $J_T$ 是 $T$ 阶、主对角线为 0、次对角线（对角线下方的那一条）为 1 的 Jordan 块，$T\le L$。这些 $J_T$ 的排列次序不影响标准形，除排列次序外，$J_B$ 由 $B$ 唯一确定。⏱ 08:58

为什么每个 Jordan 块的主对角线都是 0

因为 $B$ 是幂零变换：$B^L=0$（0 变换）。若某个 Jordan 块的阶为 $T$，则把该 Jordan 块矩阵 $J_T$ 作用 $T$ 次后为零矩阵（$J_T^T=0$，$J_T^{T-1}$ 的次对角线位置仍有 1）。分块对角矩阵 $J_B$ 的 $L$ 次幂等于每个块 $J_{T_i}^L$ 的分块对角（仍为 0，因 $T_i\le L$），故 $J_B^L=0$；同理 $J_B^{L-1}\neq 0$ 当且仅当某个块阶数恰为 $L$。⏱ 09:53

老师提示“有章块（Jordan 块）你现在肯定清楚都是组队的，每一组队都会领的有章块（Jordan 块）”——每个循环链（强循环子空间）对应一个 Jordan 块，块的大小即循环链长度。

2Jordan 块的个数由 $\operatorname{rank} B^t$ 决定 ⏱ 13:10

定理二只说“存在 Jordan 标准形”，但实际解题时还要算出各阶 Jordan 块有多少个。老师强调：不能靠“理论上把 $W$ 分解了”去逐个写出每个强循环子空间，那是“理论上的东西，你这样真的写，写不出来的”；反过来，数一数 $t$ 阶 Jordan 块有多少个，就能把整个 Jordan 标准形写出来。⏱ 14:18

关键工具 · 单个 $T$ 阶 Jordan 块的秩对 $T$ 阶 Jordan 块 $J_T$（主对角线 0、次对角线 1），$J_T$ 是“阶梯形”矩阵：

\operatorname{rank} J_T = T-1,\quad \operatorname{rank} J_T^{2} = T-2,\ \dots,\ \operatorname{rank} J_T^{T-1}=1,\quad \operatorname{rank} J_T^{T}=0.

一般地，$J_T^k$（$k\ge 1$）仍是次对角线上移的阶梯形（$k$ 阶“超对角”），当 \(k⏱ 18:29

为什么 $\operatorname{rank} J_T^k=T-k$（\(1\le k

以 $J_5$ 为例：

J_5 = \begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix},\quad J_5^2 = \begin{pmatrix}0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix},\quad J_5^{4} = \begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}.

$J_5$ 有 4 个非零行（秩 4），$J_5^2$ 有 3 个非零行（秩 3），$J_5^{T-1}$ 有 1 个非零行（秩 1），$J_5^T=0$（秩 0）。归纳易证对任意 $T$ 同样成立：⏱ 19:14

分块对角矩阵的秩 = 各块秩之和若 $J_B$ 由若干 Jordan 块 $J_{T_1},J_{T_2},\dots,J_{T_m}$ 分块对角组成，则

\operatorname{rank} J_B^k = \sum_{i=1}^{m} \operatorname{rank} J_{T_i}^{k}.

这是用“数 $t$ 阶 Jordan 块个数 $N_t$”去反推 $\operatorname{rank} B^k$ 的基础。⏱ 21:05

3$N_1$ 的计算（1 阶 Jordan 块个数） ⏱ 20:01

先用最简单的情形 $T=1$。设 $N_t$ 表示 $t$ 阶 Jordan 块的个数（$t=1,2,\dots,L$）。则

\operatorname{rank} B^{0} = \dim W = N_1\cdot 1 + N_2\cdot 2 + N_3\cdot 3 + \cdots + N_L\cdot L, \] \[ \operatorname{rank} B^{1} = N_1\cdot 0 + N_2\cdot 1 + N_3\cdot 2 + \cdots + N_L\cdot (L-1).

两式相减（“把 $B$ 的所有行都算上”——老师强调 $N_1$ 只能把 $B$ 的 0 次幂（单位矩阵，秩 $=$ 维数）与 1 次幂一起比，才能“出来”）：

\operatorname{rank} B^{0} - \operatorname{rank} B^{1} = N_1 + N_2 + \cdots + N_L = N_1\cdot 1 + N_2\cdot 1 + \cdots + N_L\cdot 1.

注意右端每一项恰是 $N_t$（各阶 Jordan 块“贡献的行数差”），故

\[ N_1 = \operatorname{rank} B^{0} - \operatorname{rank} B^{1} = \dim W - \operatorname{rank} B. \] 这与第 P112 集“强循环子空间个数 $=\dim W_0=\dim W-\operatorname{rank} B$”完全一致。⏱ 23:55

4一般 $N_t$ 的计算公式 ⏱ 24:28

当 \(2\le t

\operatorname{rank} B^{t-1} = \sum_{j=t}^{L} N_j (j-(t-1)) = N_t\cdot 1 + N_{t+1}\cdot 2 + \cdots + N_L\cdot (L-t+1), \] \[ \operatorname{rank} B^{t} = \sum_{j=t+1}^{L} N_j (j-t) = N_{t+1}\cdot 1 + N_{t+2}\cdot 2 + \cdots + N_L\cdot (L-t), \] \[ \operatorname{rank} B^{t+1} = \sum_{j=t+2}^{L} N_j (j-(t+1)) = N_{t+2}\cdot 1 + \cdots + N_L\cdot (L-t-1).

三式做“$(t-1)$ 次幂秩 − $t$ 次幂秩 − $(t+1)$ 次幂秩”的线性组合，逐项消去 $N_{t+1},\dots,N_L$，最后只剩 $N_t$：

公式 · $N_t$（$1\le t\le L$）

\boxed{\,N_t = \operatorname{rank} B^{t-1} + \operatorname{rank} B^{t+1} - 2\,\operatorname{rank} B^{t}\,}

约定 $B^0=I$（单位矩阵，$\operatorname{rank} B^0=\dim W=r$）；当 $t=L$ 时 $B^{L+1}=0$，公式退化为 $N_L=\operatorname{rank} B^{L-1}$（老师验证了 $t=L$ 时该式也成立，因为 $L$ 阶 Jordan 块到 $L$ 次幂才变 0 矩阵、$L+1$ 次幂秩为 0）；当 $t=1$ 时退化为 $N_1=\operatorname{rank} B^0-\operatorname{rank} B^1$。⏱ 27:30

老师课堂举例（数 Jordan 块个数的“小学生难度”类比）

老师用“数粉笔”打比方：三岁小孩能数到 5，但 13 以后容易跳到 15（“我已经试验了好多小孩，包括我的孙子，他一年十三以后就十五了，十四怕发不出来”）——类比“$N_1$ 很容易数，但一般 $N_t$ 需要 $B^{t-1},B^t,B^{t+1}$ 三个秩联立才能数出来，小学生不会数”。⏱ 17:00 实际解题时，只要把 $\operatorname{rank} B^{t-1},\operatorname{rank} B^{t},\operatorname{rank} B^{t+1}$ 代进公式即可，无需逐个写出每个循环子空间。

5幂零指数的意义与 Jordan 标准形的唯一性 ⏱ 33:55

幂零指数 $L$ 与最大 Jordan 块 $L$ 是 最大 Jordan 块的阶数（即 $N_L\ge 1$，$N_{L+1}=0$）。理由：$J_T^k=0$ 当且仅当 $k\ge T$；分块对角矩阵 $J_B^k=0$ 当且仅当所有块都满足 $J_{T_i}^k=0$，即 $k\ge\max_i T_i$。故 $B^L=0$（$B^{L-1}\neq 0$）等价于最大 Jordan 块阶数为 $L$。⏱ 34:10

Jordan 标准形的唯一性 $B$ 的 Jordan 标准形中，各阶 Jordan 块的个数 $N_1,\dots,N_L$ 由 $B$ 唯一确定（由上面的 $N_t$ 公式，只依赖于 $\operatorname{rank} B^{t-1},\operatorname{rank} B^{t},\operatorname{rank} B^{t+1}$，而这些秩由 $B$ 唯一确定，与基无关）。因此

\text{“}B\text{ 的 Jordan 标准形，除 Jordan 块的排列次序以外，是被 }B\text{ 唯一确定的。”}

这就是本集定理二的完整内容（存在性 + 唯一性）。⏱ 37:39

老师强调的“解题实用化” “具体作题的时候就算这几个秩了，就能把它（Jordan 标准形）算出来。”实际操作：先求 $L$（幂零指数），再逐次求 $\operatorname{rank} B^{0},\dots,\operatorname{rank} B^{L}$，套用 $N_t$ 公式得各阶个数，直接写出分块对角 Jordan 标准形——不必再回头做“强循环子空间直和分解”的构造性证明。⏱ 38:03

6Jordan 标准形到矩阵语言的推论 ⏱ 41:07

推论 · 幂零矩阵的 Jordan 标准形设 $B$ 是 $F$ 上的 $r$ 阶幂零矩阵，幂零指数为 $L$，则 $B$ 相似于由主对角线全 0 的 Jordan 块组成的分块对角矩阵（$B$ 的 Jordan 标准形）；各阶 Jordan 块个数 $N_t$ 满足

N_t = \operatorname{rank} B^{t-1} + \operatorname{rank} B^{t+1} - 2\,\operatorname{rank} B^{t},\quad 1\le t\le L, \] \[ \sum_{t=1}^{L} N_t = r - \operatorname{rank} B,\quad \text{最大阶} = L.

除去 Jordan 块的排列次序外，该 Jordan 标准形由 $B$ 唯一确定。⏱ 42:18

从变换语言到矩阵语言的翻译

给定 $r$ 阶幂零矩阵 $B$，可在 $F^r$ 上建立线性变换 $B$（同一记号），由本集定理二知存在 $F^r$ 的一组基使 $B$ 的矩阵为 Jordan 标准形；线性变换在不同基下的矩阵相似，故 $B$ 相似于其 Jordan 标准形。老师指出“跟后面就一样的系数了，我就不写了，我就再念这个……”——矩阵版本的定理表述与变换版本一一对应，仅符号由“线性变换 $B$”换成“矩阵 $B$”，$\dim W$ 换成“矩阵的阶数 $r$”。⏱ 43:44

承上启下本集收尾于“幂零矩阵说完以后，我们就可以来探讨一般线性变换的标准形”——下一集 P114 将讨论：设 $A$ 是 $V$ 上一般线性变换，若其最小多项式 $m_A(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等的一次因式的幂的乘积 $(\lambda-\lambda_1)^{L_1}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s}$，则 $V$ 分解为 $A$ 的不变子空间的直和（对应每个特征值的广义特征子空间），进一步对每个子空间“减去 $\lambda_i$”化为幂零情形，从而得到一般线性变换的 Jordan 标准形。

★重点回顾

Jordan 块（主对角线为 0）：$J_T$ 为 $T$ 阶方阵，主对角线全 0、次对角线（对角线下方）全 1，其余 0；$J_T^T=0$，$J_T^{T-1}\neq 0$。

单个 $J_T$ 的秩：$\operatorname{rank} J_T^k=T-k$（\(1\le k

分块对角矩阵秩 = 各块秩之和：$\operatorname{rank} B^k=\sum_i\operatorname{rank} J_{T_i}^k$，配合 $N_t$ 计数即可反推 Jordan 块结构。

$N_t$ 公式：$N_t=\operatorname{rank} B^{t-1}+\operatorname{rank} B^{t+1}-2\operatorname{rank} B^{t}$（$1\le t\le L$，约定 $B^0=I$，$B^{L+1}=0$）；$N_1=\dim W-\operatorname{rank} B$。

幂零指数 $L$：$B^L=0$ 且 $B^{L-1}\neq 0$；$L$ 等于最大 Jordan 块的阶数；$N_L=\operatorname{rank} B^{L-1}$。

唯一性：Jordan 标准形除块排列次序外由 $B$ 唯一确定（各阶 $N_t$ 由 $\operatorname{rank} B^t$ 唯一确定，与基无关）。

⚠易错点提醒

常见错误

Jordan 块的次对角线位置：$J_T$ 的 1 在主对角线下方（即第 $i$ 行第 $i+1$ 列为 1，或按“循环生成元放最前”的基排列后，$J_T$ 的 1 在主对角线上方——两种约定均常见，需与所取基的顺序一致）。本集按“循环生成元 $\alpha, B\alpha,\dots,B^{T-1}\alpha$ 为基”得出 $J_T$ 的 1 在主对角线下方（第 $i+1$ 行第 $i$ 列为 1），即 $J_T e_i=e_{i+1}$（$i<T$），$J_T e_T=0$。
$\operatorname{rank} J_T^k$ 的“越界”情形：当 $k\ge T$ 时 $J_T^k=0$（秩 0），不能套用 $T-k$（会算出负数）。公式 $N_t$ 中 $\operatorname{rank} B^{t+1}$ 项在 $t=L$ 时应取 $\operatorname{rank} B^{L+1}=0$。
$B^0$ 的秩：$B^0$ 是单位矩阵，$\operatorname{rank} B^0=\dim W=r$；$N_1$ 公式中第一项就是这个，不能误写为 $\operatorname{rank} B$。
“数 Jordan 块个数”不能靠构造：老师明确说“按照数学归纳发生的，根据归纳讲上空间……那个东西都是理论上的，你这样真的写，写不出来的”；实际计算要用 $\operatorname{rank} B^k$ 联立，不要试图逐个写出每个循环子空间。
最大 Jordan 块阶数 = 幂零指数 $L$（严格）：$B^{L-1}\neq 0$ 保证确实存在 $L$ 阶 Jordan 块（否则最大阶 \(
Jordan 标准形 ≠ 对角化：幂零矩阵若可对角化，则只能是零矩阵（因特征值全为 0，对角形必为 0 矩阵）；非零幂零矩阵的 Jordan 标准形必有 1 以上阶的 Jordan 块，不可对角化。

✎自测与作业

计算 $J_4$（4 阶、主对角线 0、次对角线 1 的 Jordan 块）的 $J_4, J_4^2, J_4^3, J_4^4$，验证 $\operatorname{rank} J_4^k=4-k$（$k=1,2,3$）、$J_4^4=0$。
设 5 阶幂零矩阵 $B$ 满足 $\operatorname{rank} B=3$，$\operatorname{rank} B^2=1$，$\operatorname{rank} B^3=0$。求 $B$ 的幂零指数 $L$，并计算 $N_1,N_2,N_3$，写出 $B$ 的 Jordan 标准形。
设 $B$ 是 6 阶幂零矩阵，$\operatorname{rank} B=4$，$\operatorname{rank} B^2=2$，$\operatorname{rank} B^3=0$。验证 $L=3$，并求 $N_1,N_2,N_3$（提示：$N_1=\dim B^0-\dim B^1=6-4=2$；$N_2=\operatorname{rank} B+\operatorname{rank} B^3-2\operatorname{rank} B^2$；$N_3=\operatorname{rank} B^2$）。
（证明题）证明 $\sum_{t=1}^{L}N_t=\dim W-\operatorname{rank} B$。提示：用“每个 $t$ 阶 Jordan 块贡献 1 个 1 阶（$t=1$ 时）或 0（$t>1$ 时）到 $W_0=\ker B$ 中”与 $\dim\ker B=\dim W-\operatorname{rank} B$ 结合；也可由第 4 节 $N_1$ 公式及 $N_t$ 公式逐项验证。
（概念）设 $B$ 幂零指数 $L=2$，$\dim W=5$，$\operatorname{rank} B=3$。求 $N_1,N_2$，写出 $B$ 的 Jordan 标准形（应含 3 个 1 阶块与 2 个 2 阶块，或类似组合，请用 $N_t$ 公式核对）。
（思考）为什么“把 $W$ 分解成强循环子空间直和”的构造性证明不能直接用于实际计算 $N_t$？结合老师“理论上的东西，你这样真的写，写不出来的”提示，说明 $N_t$ 公式（只依赖 $\operatorname{rank} B^t$）相比构造性分解的优势。

下一集预告第 P114 集 · 二十九：幂零矩阵的 Jordan 标准形与一般线性变换的 Jordan 标准形——把本集结论套用到矩阵 $B$（幂零矩阵相似于 0 主对角线的 Jordan 分块对角矩阵），并开始讨论：设 $A$ 的一般线性变换满足最小多项式 $m_A$ 在 $F[\lambda]$ 中分解为两两不等一次因式的幂的乘积，则 $V$ 可分解为 $A$ 的不变子空间直和（各特征值对应的广义特征子空间），进而化为“每个子空间上减去 $\lambda_i I$ 的幂零变换”，逐块应用本集幂零 Jordan 标准形，得到一般线性变换的 Jordan 标准形。

第 P113 集 · 二十八：幂零变换的 Jordan 标准形

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◎学习目标

1幂零变换的 Jordan 标准形（定理二） ⏱ 08:44

2Jordan 块的个数由 \(\operatorname{rank} B^t\) 决定 ⏱ 13:10

3\(N_1\) 的计算（1 阶 Jordan 块个数） ⏱ 20:01

4一般 \(N_t\) 的计算公式 ⏱ 24:28

5幂零指数的意义与 Jordan 标准形的唯一性 ⏱ 33:55

6Jordan 标准形到矩阵语言的推论 ⏱ 41:07

★重点回顾

⚠易错点提醒

✎自测与作业