高等代数 · 第 P115 集 · 三十：约当块的数量

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◎学习目标

理解在约当标准形中，主对角线为某个特征值 \(\lambda_j\) 的 Jordan 块总数 \(N_j\) 如何由 \(\dim\ker(A-\lambda_j I)^m\) 确定；
掌握nilpotent 线性变换的 Jordan 块总数：\(\dim\ker B\)（即 \(B\) 的零空间维数）；
掌握各阶 Jordan 块个数 \(N_{j,T}\) 的计算公式，涉及 \(\mathrm{rank}\) 的递推关系；
理解限制核等于整体核这一关键引理：\(\ker\big|_{W_j}(A-\lambda_j I)^m = \ker(A-\lambda_j I)^m\)（限制到 \(W_j\) 上时）。⏱ 08:00

1背景：分块对角化与 Jordan 形矩阵 ⏱ 00:08

紧接上一集（P114），线性空间 \(V\) 已分解为 \(W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_S\)，其中 \(W_j\) 是与特征值 \(\lambda_j\) 对应的广义特征空间（广义根子空间），\(\dim W_j = \) \(\lambda_j\) 的代数重数。在 \(W_j\) 中选取合适的基，使 \(A\) 在 \(W_j\) 上的限制的矩阵 \(A_j\) 为 Jordan 形矩阵（主对角线为 \(\lambda_j\)）。⏱ 00:67

设 \(B_j = A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\)，则 \(B_j\) 是 \(W_j\) 上的nilpotent 线性变换（幂零），其 nilpotent 指数（幂零指数）为 \(L_j\)（即 \(\lambda_j\) 对应的最大 Jordan 块阶数）。⏱ 01:17

由上一节的定理，\(B_j\) 在 \(W_j\) 的某基 \(G_j\) 下为主对角线为 0 的 Jordan 形矩阵（即 nilpotent Jordan 形矩阵），于是

A_j = \lambda_j I + B_j,

因此 \(A_j\) 是主对角线为 \(\lambda_j\) 的 Jordan 形矩阵。将所有 \(A_1, A_2, \dots, A_S\) 拼成分块对角矩阵即得 \(A\) 在 \(V\) 的某基下的 Jordan 标准形。⏱ 02:24

2nilpotent 变换的 Jordan 块总数 ⏱ 03:21

设 \(B\) 为 nilpotent 线性变换，幂零指数为 \(L\)（即 \(B^L = 0\) 但 \(B^{L-1} \neq 0\)）。其 Jordan 形矩阵由若干个主对角线为 0 的 Jordan 块组成。

命题 · nilpotent 变换的 Jordan 块总数主对角线为 0 的 nilpotent Jordan 形矩阵中，Jordan 块的总个数等于

\dim\ker B.

这是因为每个 nilpotent Jordan 块 \(J_t(0)\) 恰好贡献一个 \(B\) 的核中线性无关的向量（即该块最下方的列对应向量），而整个 \(\ker B\) 的维数等于所有块的最下方向量数的总和，也就是 Jordan 块的总数。

对 \(B_j = A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\)（nilpotent 变换），其 Jordan 块总数（即主对角线为 \(\lambda_j\) 的 Jordan 块总数）为

N_j = \dim\ker B_j = \dim\ker\bigl(A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\bigr).

⏱ 04:15

但 \(W_j\) 是理论上分解出的子空间，实际上并不显式知道 \(W_j\) 的基，因此上面的表达式仍含"限制"，需要进一步化简。

3关键事实：限制核等于整体核 ⏱ 07:47

我们需证明以下事实（本集最核心的引理）：

事实（本集核心引理）对任意正整数 \(m\)，

\ker\bigl(A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\bigr)^m = \ker(A-\lambda_j I)^m.

即：限制在 \(W_j\) 上取 \(m\) 次幂的核，等于在整个 \(V\) 上取 \(m\) 次幂的核（限制到 \(W_j\) 部分）。

证明思路（分两种情形）

包含方向 \(\supseteq\)：若 \(\alpha \in \ker\bigl(A|_{W_j}-\lambda_j I_{W_j}\bigr)^m\)，则 \(\alpha \in W_j\) 且 \[ (A|_{W_j}-\lambda_j I)^m \alpha = 0. \] 由于限制变换的法则与整体相同（\(A|_{W_j}\) 就是 \(A\) 在 \(W_j\) 上的限制），故 \[ (A - \lambda_j I)^m \alpha = 0, \] 即 \(\alpha \in \ker(A-\lambda_j I)^m\)。⏱ 12:31

反向包含 \(\subseteq\)：设 \(\alpha \in \ker(A-\lambda_j I)^m\)，即 \((A-\lambda_j I)^m \alpha = 0\)，需证 \(\alpha \in W_j\)。

情形 1：\(m \leq L_j\)。此时由 \(W_j\) 的定义（广义根子空间），\(W_j = \ker(A-\lambda_j I)^{L_j}\)。由于 \(m \leq L_j\)，\(\alpha \in \ker(A-\lambda_j I)^m \subseteq \ker(A-\lambda_j I)^{L_j} = W_j\)。⏱ 16:45

情形 2：\(m > L_j\)。考虑多项式分解：设 \(A\) 的最小多项式为

g(t) = (t-\lambda_1)^{L_1} \cdots (t-\lambda_j)^{L_j} \cdots (t-\lambda_S)^{L_S}.

构造

G(t) = (t-\lambda_j)^m.

由于 \(m > L_j\)，\((t-\lambda_j)^{L_j}\) 整除 \((t-\lambda_j)^m\)。因此 \(G\) 的其余因式（不含 \((t-\lambda_j)^m\) 部分，用 \(L_j\) 次幂替代）构成 \(A\) 的一个零化多项式：

G'(t) = g(t) \cdot \frac{(t-\lambda_j)^m}{(t-\lambda_j)^{L_j}} = g(t) \cdot (t-\lambda_j)^{m-L_j}.

实际上，\(G'(A) = 0\)（因为 \(g(A)=0\) 且 \(g\) 中已含 \((t-\lambda_j)^{L_j}\)），即 \(G'(A)\) 为零变换。由 Cayley-Hamilton 型分解：

V = \ker(A-\lambda_1 I)^{L_1} \oplus \cdots \oplus \ker(A-\lambda_j I)^m \oplus \cdots \oplus \ker(A-\lambda_S I)^{L_S} = W_1 \oplus W_2' \oplus W_3 \oplus \cdots \oplus W_S.

其中 \(W_2' = \ker(A-\lambda_2 I)^m\)（\(m > L_2\) 时，\(\ker(A-\lambda_2 I)^m = \ker(A-\lambda_2 I)^{L_2} = W_2\)，因为 \(L_2 \leq L_j < m\) 时核不再增长）。于是

W_j = \ker(A-\lambda_j I)^{L_j} \subseteq \ker(A-\lambda_j I)^m.

取 \(\ker(A-\lambda_j I)^m\) 的基 \(\alpha_{j1}, \alpha_{j2}, \dots\)，扩充为 \(V\) 的基（如果需要）。利用直和分解 \(V = W_1 \oplus W_j \oplus W_S\)（这里 \(W_S\) 是其余子空间的直和），把 \(W_j\) 中 \(\ker(A-\lambda_j I)^m\) 的基与 \(W_1, W_S\) 的基合起来构成 \(V\) 的基，说明 \(\ker(A-\lambda_j I)^m\) 中的向量必然全部落在 \(W_j\) 中，即

\ker(A-\lambda_j I)^m \subseteq W_j.

结合 \(W_j \subseteq \ker(A-\lambda_j I)^m\)（由情形 2 中 \(m > L_j\) 得），即证得两集合相等。⏱ 19:35

推论由上述事实，

N_j = \dim\ker\bigl(A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\bigr) = \dim\ker(A-\lambda_j I).

限制符号可以去掉！主对角线为 \(\lambda_j\) 的 Jordan 块总数 \(N_j\) 等于 \(\dim\ker(A-\lambda_j I)\)。⏱ 06:45（P116 开头）

4主对角线为 \(\lambda_j\) 的 Jordan 块总数 \(N_j\) ⏱ 06:00 (P116)

由 P116 开头的推导（紧接本集），利用线性变换的维数公式（\(\dim\ker T + \mathrm{rank}(T) = \dim V\)），有

N_j = \dim\ker(A-\lambda_j I) = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I),

其中 \(N = \dim V\) 为线性空间的维数。注意：是 \(A - \lambda_j I\) 的秩，不是 \(A\) 的秩！这是最容易写错的地方。⏱ 07:57

公式 1 · Jordan 块总数

N_j = N - \mathrm{rank}(A - \lambda_j I),

其中 \(N_j\) 为 Jordan 标准形中主对角线元素为 \(\lambda_j\) 的 Jordan 块的总个数，\(N = \dim V\)，\(\mathrm{rank}(A-\lambda_j I)\) 为矩阵 \(A - \lambda_j I\) 的秩。

5T 级 Jordan 块个数 \(N_{j,T}\) ⏱ 08:58 (P116)

进一步需要计算：主对角线为 \(\lambda_j\) 的 \(T\) 级（即阶数为 \(T\)）Jordan 块的个数 \(N_{j,T}\)。

公式 2 · T 级 Jordan 块个数

N_{j,T} = \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T-1}\bigr) - 2\,\mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T}\bigr) + \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T+1}\bigr),

其中 \(T = 1, 2, \dots, L_j\)（\(L_j\) 为 \(\lambda_j\) 对应的最大 Jordan 块阶数，即 \(B_j\) 的 nilpotent 指数）。

推导思路

设 \(B_j = A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\) 是 nilpotent 变换，幂零指数 \(L_j\)。主对角线为 0 的 nilpotent Jordan 形矩阵中 \(T\) 级 Jordan 块 \(J_T(0)\) 的个数为

n_T = \mathrm{rank}(B_j^{T-1}) - 2\,\mathrm{rank}(B_j^{T}) + \mathrm{rank}(B_j^{T+1}),

其中规定 \(B_j^0 = I\)，\(\mathrm{rank}(I) = \dim W_j\)。

由于 \(A_j = \lambda_j I + B_j\)，故 \((A_j - \lambda_j I)^k = B_j^k\)，\(\mathrm{rank}\) 相同。将 \(B_j\) 用 \(A|_{W_j} - \lambda_j I\) 替代，再由本集的关键事实（限制核等于整体核，等价地限制秩等于整体对应秩），把限制去掉，得

N_{j,T} = \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T-1}\bigr) - 2\,\mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T}\bigr) + \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T+1}\bigr).

⏱ 10:21 (P116)

注意 \(T\) 的范围：\(1 \leq T \leq L_j\)。对 \(T > L_j\)，\((A-\lambda_j I)^T\) 的秩不再变化（因为 \(\ker\) 已稳定），\(N_{j,T} = 0\)。

实用技巧对于低阶矩阵（3 阶、4 阶），通常 Jordan 块总数很少，枚举可能的组合（如 3 阶矩阵中 \(\lambda_j\) 对应 2 个 Jordan 块，则只能是"一个 1 级 + 一个 2 级"或"两个 1 级 + 一个 1 级"等有限种），不必逐一计算 \(N_{j,T}\)。⏱ 11:17 (P116)

★重点回顾

1

分块对角化：\(V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_S\)，在 \(W_j\) 中取基使 \(A_j = \lambda_j I + B_j\) 为 Jordan 形（主对角线为 \(\lambda_j\)），整体 \(A\) 的 Jordan 标准形即各 \(A_j\) 的分块对角。

2

nilpotent 变换的 Jordan 块总数：\(\dim\ker B\)。对 \(B_j = A|_{W_j} - \lambda_j I\)，总数为 \(\dim\ker(A|_{W_j}-\lambda_j I)\)。

3

关键引理（限制核 = 整体核）：对任意 \(m\)，\(\ker\bigl(A|_{W_j}-\lambda_j I\bigr)^m = \ker(A-\lambda_j I)^m\)。分 \(m \leq L_j\)（由 \(W_j\) 定义）和 \(m > L_j\)（由零化多项式分解）两种情形证明。

4

Jordan 块总数公式：\(N_j = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I)\)，限制符号可去掉。

5

T 级 Jordan 块个数公式：\(N_{j,T} = \mathrm{rank}(A-\lambda_j I)^{T-1} - 2\mathrm{rank}(A-\lambda_j I)^T + \mathrm{rank}(A-\lambda_j I)^{T+1}\)，其中 \(T=1,\dots,L_j\)。

⚠易错点提醒

常见错误

把 \(\mathrm{rank}(A-\lambda_j I)\) 误写为 \(\mathrm{rank}(A)\)：老师反复强调，计算中"做来做去忘了"就写成了 \(A\) 的秩，这是最常见的错误。公式中必须是 \(A - \lambda_j I\) 的秩。
\(N_{j,T}\) 公式中 \(T\) 的范围：\(T\) 从 1 到 \(L_j\)（\(\lambda_j\) 对应的最大 Jordan 块阶数），超过 \(L_j\) 时 \(N_{j,T}=0\)。不要对 \(T > L_j\) 仍套用公式得出非零值。
\(\mathrm{rank}(B_j^0)\) 的规定：\(B_j^0 = I_{W_j}\)，\(\mathrm{rank}(I_{W_j}) = \dim W_j\)，不是 \(N\)（全空间维数）。但在化去限制后，\(\mathrm{rank}(I_{W_j})\) 对应的就是 \(\dim W_j\)。
"限制核等于整体核"并非显然：限制核包含整体核的方向是显然的（法则相同），但反向需要分情形证明（\(m \leq L_j\) 和 \(m > L_j\)），\(m > L_j\) 时利用零化多项式分解是关键。
nilpotent Jordan 块总数 = \(\dim\ker B\)：每个 Jordan 块 \(J_t(0)\) 恰好贡献 1 个核中线性无关向量（块最下方行对应向量），总数即核的维数。不要误以为是"块数 × 块阶数"。

✎自测与作业

设 \(V\) 为 5 维空间，\(A\) 为 \(V\) 上的线性变换，特征值为 \(\lambda_1=1, \lambda_2=2\)。已知 \(\mathrm{rank}(A-I)=3\)，\(\mathrm{rank}(A-2I)=4\)。求主对角线为 1 和 2 的 Jordan 块总数 \(N_1, N_2\)。
设 \(A\) 为 4 阶矩阵，特征值 \(\lambda=3\) 的代数重数为 4。计算 \(\mathrm{rank}(A-3I)=2\)，\(\mathrm{rank}(A-3I)^2=1\)，\(\mathrm{rank}(A-3I)^3=0\)。求 \(N_{3,1}, N_{3,2}, N_{3,3}, N_{3,4}\)。
（证明）设 \(B\) 为 \(W\) 上的 nilpotent 变换，幂零指数为 \(L\)。证明主对角线为 0 的 nilpotent Jordan 形矩阵中 \(T\) 级 Jordan 块个数 \(n_T = \mathrm{rank}(B^{T-1}) - 2\mathrm{rank}(B^T) + \mathrm{rank}(B^{T+1})\)，其中 \(B^0 = I\)。
（思考）为什么对 \(m > L_j\)，\(\ker(A-\lambda_j I)^m = \ker(A-\lambda_j I)^{L_j}\)？（提示：\(W_j\) 是广义根子空间，\((A-\lambda_j I)^{L_j}\) 在 \(W_j\) 上为零变换。）
（选做）设 \(A\) 为 3 阶矩阵，特征值 \(\lambda_1 = 0\)（代数重数 2），\(\lambda_2 = 1\)（代数重数 1）。已知 \(\mathrm{rank}(A) = 2\)，\(\mathrm{rank}(A)^2 = 1\)。写出 \(A\) 的 Jordan 标准形的所有可能形式。

下一集预告第 P116 集 · 三十一：线性变换的约当标准形——将本集公式整理为完整的 Jordan 标准形定理，并讨论唯一性。