高等代数 · 第 P116 集 · 三十一：线性变换的约当标准形

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◎学习目标

掌握Jordan 标准形定理的完整陈述：线性变换 $A$ 在 $V$ 中存在基，使其矩阵为 Jordan 形矩阵；
理解Jordan 标准形的唯一性：除 Jordan 块的排列次序外，Jordan 标准形是唯一的；
掌握将一般线性变换化为 Jordan 标准形的计算步骤（利用 $N_j$ 和 $N_{j,T}$ 公式）；
理解 Jordan 标准形与矩阵相似性的关系：$A$ 相似于其 Jordan 标准形；
了解最小多项式分解条件：$A$ 有 Jordan 标准形的充要条件是最小多项式在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积。⏱ 18:20

1紧接上集：限制核等于整体核（证明续） ⏱ 00:08

本集开头紧接 P115 末尾的"事实"证明。回顾：需证对任意正整数 $m$，

\ker\bigl(A|_{W_j} - \lambda_j I_{W_j}\bigr)^m = \ker(A-\lambda_j I)^m \cap W_j.

即限制核等于整体核（与 $W_j$ 的交）。 ⏱ 00:08

情形 2（$m > L_j$）证明完成

设 $m > L_j$。由 P115，$G(t) = (t-\lambda_j)^m$ 的"降低版"（把 $(t-\lambda_j)^m$ 换成 $(t-\lambda_j)^{L_j}$）仍为零化多项式，故

V = \ker(A-\lambda_1 I)^{L_1} \oplus \cdots \oplus \ker(A-\lambda_j I)^m \oplus \cdots \oplus \ker(A-\lambda_S I)^{L_S}.

其中对 $i \neq j$，因 $L_i < m$（一般情况下）或 $L_i$ 与 $m$ 无关，$\ker(A-\lambda_i I)^m = \ker(A-\lambda_i I)^{L_i}$（核在达到 $L_i$ 后不再增长）。⏱ 01:00

取 $W_j = \ker(A-\lambda_j I)^{L_j}$ 中 $\ker(A-\lambda_j I)^m$ 的基（因 $m > L_j$，$W_j \subseteq \ker(A-\lambda_j I)^m$），扩充为 $V$ 的基。由直和分解 $V = W_1 \oplus \ker(A-\lambda_j I)^m \oplus W_3 \oplus \cdots \oplus W_S$，把 $\ker(A-\lambda_j I)^m$ 的基与 $W_1, W_3, \dots, W_S$ 的基合起来即为 $V$ 的基。⏱ 01:45

这说明 $\ker(A-\lambda_j I)^m$ 中的向量不需要"扩充"（因为直和分解中该部分恰好就是 $\ker(A-\lambda_j I)^m$ 本身），因此

W_j = \ker(A-\lambda_j I)^m \quad (\text{当 } m > L_j \text{ 时}).

从而限制核等于整体核，事实得证。⏱ 04:00

有了上述事实，$N_j$ 的计算中限制符号可全部去掉，得

N_j = \dim\ker(A-\lambda_j I) = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I).

⏱ 05:50

2Jordan 标准形定理（完整陈述） ⏱ 09:30

定理 · Jordan 标准形定理设 $V$ 为 $F$ 上的 $N$ 维线性空间，$A$ 为 $V$ 上的线性变换，$A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_S$（在扩域中），对应的广义根子空间为 $W_1, \dots, W_S$，nilpotent 指数（幂零指数）分别为 $L_1, \dots, L_S$。则 $V$ 中存在一组基，使得 $A$ 在此基下的矩阵为 Jordan 形矩阵：

J = \begin{pmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_S \end{pmatrix},

其中每个 $J_i$ 是主对角线为 $\lambda_i$ 的 Jordan 形矩阵，由若干个 Jordan 块组成：

J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \end{pmatrix} \oplus \cdots

主对角线为 $\lambda_j$ 的 Jordan 块总数为 $N_j = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I)$，$T$ 级 Jordan 块个数为

N_{j,T} = \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T-1}\bigr) - 2\,\mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T}\bigr) + \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T+1}\bigr),

其中 $T = 1, 2, \dots, L_j$。

定理的矩阵版本设 $A$ 为 $F$ 上 $N$ 阶矩阵，若 $A$ 的最小多项式 $m_A(t)$ 在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积（即

m_A(t) = (t-\lambda_1)^{L_1} \cdots (t-\lambda_S)^{L_S}, \quad \lambda_i \in F,

允许有相同的 $\lambda_i$），则 $A$ 相似于一个 Jordan 形矩阵 $J$：

P^{-1}AP = J,

其中 $P$ 为可逆矩阵（过渡矩阵），$J$ 为上述 Jordan 标准形。⏱ 13:30

Jordan 标准形的主对角线上是 $A$ 的全部特征值（按重数重复出现），因此 Jordan 标准形由 $A$ 本身完全确定（除块排列外）。⏱ 10:45

3化为 Jordan 标准形的步骤 ⏱ 14:30

将一般线性变换（或矩阵）化为 Jordan 标准形的步骤如下：

计算步骤

求特征值：解特征方程 $\det(A - tI) = 0$，得特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_S$（含代数重数）。
求幂零指数 $L_j$：对每个 $\lambda_j$，找最小正整数 $L_j$ 使 $\ker(A-\lambda_j I)^{L_j} = \ker(A-\lambda_j I)^{L_j+1}$（即核稳定）。$L_j$ 为 $\lambda_j$ 对应的最大 Jordan 块阶数。
计算 Jordan 块总数 $N_j$： $N_j = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I).$
计算各阶 Jordan 块个数 $N_{j,T}$： $N_{j,T} = \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T-1}\bigr) - 2\,\mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T}\bigr) + \mathrm{rank}\bigl((A-\lambda_j I)^{T+1}\bigr).$
组装 Jordan 块：对每个 $\lambda_j$，按 $N_{j,1}$ 个 1 级块、$N_{j,2}$ 个 2 级块、……、$N_{j,L_j}$ 个 $L_j$ 级块拼出 $J_j$；所有 $J_1, \dots, J_S$ 拼成 $J$。
验证：$N_j$ 的各 $T$ 级块之和应等于 $\lambda_j$ 的代数重数：$\sum_{T=1}^{L_j} T \cdot N_{j,T} = $（$\lambda_j$ 的代数重数）。

实用技巧（老师强调）对于 3 阶、4 阶矩阵，Jordan 块总数通常很少，枚举法往往比逐一计算 $N_{j,T}$ 更高效。例如：3 阶矩阵中 $\lambda_j$ 对应 2 个 Jordan 块，则只能是"一个 1 级 + 一个 2 级"或"两个 1 级 + 一个 1 级"等有限组合，不必逐一算公式。⏱ 15:15

4Jordan 标准形的唯一性 ⏱ 16:20

命题 · Jordan 标准形的唯一性线性变换 $A$ 的 Jordan 标准形（矩阵 $A$ 的 Jordan 标准形）除 Jordan 块的排列次序外，是唯一的。

唯一性的证明思路（老师简述）：⏱ 17:00

为什么唯一

由本定理，$N_j$（$\lambda_j$ 对应的 Jordan 块总数）和 $N_{j,T}$（$T$ 级块个数）均由 $A$ 本身（$N$、$\mathrm{rank}(A-\lambda_j I)$、$\mathrm{rank}((A-\lambda_j I)^T)$ 等）完全决定，与求基的方法无关。因此无论用什么方法（即使不用丘老师的方法，用"高超的办法"）算出 Jordan 形矩阵，其各阶 Jordan 块个数必然符合上述公式，故除块排列次序外唯一。⏱ 17:45

老师特别指出："你不管用谁的高超办法算出来，你的数也一定是这个数，所以它就唯一的。" 这是 Jordan 标准形唯一性的核心逻辑。

注意 "唯一"是指除 Jordan 块排列次序外唯一。即 $\lambda_1$ 的块可以排在 $\lambda_2$ 的块前面或后面，不影响相似类。

5从矩阵视角：相似于 Jordan 形矩阵 ⏱ 19:00

若 $A$ 为 $F$ 上 $N$ 阶矩阵，可构造 $N$ 维线性空间 $V = F^N$，令线性变换 $\mathcal{A}(x) = Ax$，则矩阵 $A$ 是该线性变换在标准基下的矩阵。由 Jordan 标准形定理，存在新基 $G$，使 $\mathcal{A}$ 在 $G$ 下的矩阵为 Jordan 形 $J$。由相似性，

P^{-1}AP = J,

即 $A$ 相似于 Jordan 标准形 $J$。⏱ 19:35

推论 · 相似于 Jordan 形矩阵的充要条件 $F$ 上 $N$ 阶矩阵 $A$ 相似于一个 Jordan 形矩阵，当且仅当 $A$ 的特征多项式或最小多项式在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积（两个条件中满足其一即可，因为特征多项式与最小多项式有相同的根，重数可不同；若最小多项式可分解为一次因式之积，则特征多项式也必可分解为一次因式之积，反之亦然）。⏱ 19:50

特殊情况若 $F = \mathbb{C}$（复数域），则任意多项式均可分解为一次因式之积（代数基本定理），故复数域上的任意矩阵均有 Jordan 标准形。⏱ 19:50

相似判定：设 $A, B$ 均为 $F$ 上 $N$ 阶矩阵，若它们的最小多项式在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积，则 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件为 $A$ 与 $B$ 有相同的 Jordan 标准形（除 Jordan 块排列次序外）。⏱ 20:30

★重点回顾

1

Jordan 标准形定理：线性变换 $A$ 在 $V$ 中存在基使矩阵为 Jordan 形；矩阵 $A$ 相似于其 Jordan 标准形 $J$。主对角线为 $A$ 的全部特征值。

2

Jordan 块总数公式：$N_j = N - \mathrm{rank}(A-\lambda_j I)$；$T$ 级块个数公式：$N_{j,T} = \mathrm{rank}((A-\lambda_j I)^{T-1}) - 2\mathrm{rank}((A-\lambda_j I)^T) + \mathrm{rank}((A-\lambda_j I)^{T+1})$。

3

唯一性：Jordan 标准形除块排列次序外唯一，由 $N_j$ 和 $N_{j,T}$ 公式保证。

4

存在条件：$A$ 有 Jordan 标准形 $\Leftrightarrow$ 特征多项式（或最小多项式）在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积。复数域上恒成立。

5

相似判定：两矩阵 $A, B$ 满足一次因式条件时，$A \sim B \Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 有相同的 Jordan 标准形（除块排列外）。

⚠易错点提醒

常见错误

$\mathrm{rank}(A-\lambda_j I)$ 误写为 $\mathrm{rank}(A)$：老师多次强调"做来做去忘了，就写成了 $A$ 的秩"。公式中必须是 $A - \lambda_j I$ 的秩，这是最常见的计算错误。
Jordan 标准形存在条件：不是所有矩阵都有 Jordan 标准形！只有最小多项式（或特征多项式）在 $F[t]$ 中可分解为一次因式之积时才有。在实数域上，若特征多项式含不可约二次因式，则无 Jordan 标准形（需扩域或有理标准形）。
$N_{j,T}$ 公式中 $T$ 的范围：$T$ 从 1 到 $L_j$，超过 $L_j$ 时 $N_{j,T}=0$。不要对 $T > L_j$ 仍套公式。
"除排列次序外唯一"的理解：同特征值的 Jordan 块可以交换顺序，不同特征值的块也可以交换顺序，但各特征值对应的各阶块个数不可改变。
验证 $\sum T \cdot N_{j,T}$ = $\lambda_j$ 的代数重数：这是检查计算正确性的好方法，容易遗漏。例如 $\lambda_j$ 的代数重数为 3，$N_{j,1}=1, N_{j,2}=1$ 则 $1\times1 + 2\times1 = 3$，正确。

✎自测与作业

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，求 $A$ 的 Jordan 标准形，并验证 $N_1 = N - \mathrm{rank}(A-I)$。
设 $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，求 $B$ 的 Jordan 标准形。计算 $\mathrm{rank}(B-2I)$ 和 $\mathrm{rank}(B-2I)^2$，验证 $N_{2,1}$ 和 $N_{2,2}$。
设 $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（nilpotent 3 阶 Jordan 块），求其 Jordan 标准形，并计算 $\mathrm{rank}(C), \mathrm{rank}(C^2), \mathrm{rank}(C^3)$，验证 $N_{0,1}, N_{0,2}, N_{0,3}$。
（判断）设 $A$ 为 4 阶实矩阵，特征多项式为 $(t-1)^2(t^2+1)$。$A$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否有 Jordan 标准形？在 $\mathbb{C}$ 上是否有？
（证明）设 $A, B$ 均为复数域上 $N$ 阶矩阵。证明 $A \sim B$ 当且仅当 $A$ 与 $B$ 有相同的 Jordan 标准形（除块排列次序外）。
（选做）设 $A$ 为 5 阶矩阵，特征值 $\lambda_1=1$（代数重数 3），$\lambda_2=2$（代数重数 2）。已知 $\mathrm{rank}(A-I)=3$，$\mathrm{rank}((A-I)^2)=2$，$\mathrm{rank}(A-2I)=4$，$\mathrm{rank}((A-2I)^2)=3$。写出 $A$ 的 Jordan 标准形的所有可能形式。

下一集预告第 P117 集 · 三十二：相似约当形矩阵、约当标准形、特征多项式、最小多项式、有理标准型（课上提及但未展开）。