高等代数 · 课程学习笔记

第 P118 集 · 三十三：线性函数、线性函数空间、对偶空间、对偶基

Linear Functions, Dual Spaces and Dual Bases
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P118 / 151 集 核心概念：线性函数（线性泛函） · 对偶空间 V^* · 对偶空间的维数 · 对偶基
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◎学习目标

  1. 理解 \(F\) 自身可视为 \(F\) 上的线性空间（维数 1），并认识其意义：由两个线性空间可以定义线性映射，从而引出线性函数；
  2. 掌握线性函数（线性泛函）的定义：\(F\) 上有限维线性空间 \(V\) 到标量域 \(F\) 的线性映射 \(\varphi: V \to F\)，即保持加法与数量乘法的映射；
  3. 掌握线性函数的表达式定理：给定基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 及 \(F\) 中任意 \(n\) 个元素 \(a_1,\dots,a_n\)，存在唯一线性函数 \(\varphi\) 使得 \(\varphi(\alpha_i)=a_i\)；其表达式为 \(\varphi(\alpha)=\sum_{i=1}^{n} a_i x_i\)（\(\alpha=\sum x_i\alpha_i\)）；
  4. 理解线性函数空间 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 及其记号 \(V^*\)，即 \(V\) 的对偶空间；证明 \(\dim V^* = \dim V\)，从而 \(V^*\) 与 \(V\) 同构；
  5. 掌握对偶基的构造：对 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，存在唯一的 \(V^*\) 中基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 满足 \(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\)。

1\(F\) 本身也可以看成 \(F\) 上的线性空间 ⏱ 00:01

本集首先澄清一个基本事实：标量域 \(F\) 本身，可以把加法、乘法视为两种运算，构成以 \(F\) 为标量域的线性空间。⏱ 00:08

事实 · \(F\) 是 1 维线性空间 \(F\) 中的加法就是 \(F\) 的加法，标量乘法就是 \(F\) 的乘法。由于 \(F\) 是域，八条线性空间公理全部满足，故 \(F\) 是 \(F\) 上的线性空间。又因为 \(F\) 的任意元素 \(a\) 都可写成 \(a = a \cdot e\)（\(e\) 是 \(F\) 的单位元），所以 \(e\) 是它的一组基，\(\(\dim F = 1\)\)。⏱ 00:47

既然 \(V\) 与 \(F\) 都是 \(F\) 上的线性空间，就可以考虑从 \(V\) 到 \(F\) 的线性映射，这正是本节的主题。⏱ 01:13

老师提示 丘老师在课上提到，无限维情形的对偶空间研究需要在一般拓扑线性空间框架下进行，相关内容他写进了《群表实论》（已出版），本科阶段本课程只讨论有限维情形。⏱ 09:13

2线性函数（线性泛函）的定义 ⏱ 02:37

定义 1 · 线性函数 设 \(V\) 是 \(F\) 上的线性空间。从 \(V\) 到 \(F\) 的线性映射 \(\varphi: V \to F\)（即满足 \(\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)\) 与 \(\varphi(k\alpha)=k\varphi(\alpha)\)，对一切 \(\alpha,\beta\in V,\ k\in F\)）称为 \(V\) 上的线性函数（linear functional，线性泛函）。⏱ 02:37

换句话说，线性函数就是“取值为标量”的线性映射。它保持加法与数量乘法，这是后文一切公式推导的基础。⏱ 02:30

3线性函数的表达式定理 ⏱ 03:32

设 \(V\) 是 \(n\) 维 \(F\) 上线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基，则 \(V\) 中任一向量 \(\alpha\) 可唯一地表示为 \(\alpha = x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n\)，\((x_1,\dots,x_n)\) 是 \(\alpha\) 在该基下的坐标。

定理 1 · 线性函数的表达式 设 \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性函数，则对任意 \(\alpha=\sum_{i=1}^{n} x_i\alpha_i\in V\)，
\[ \varphi(\alpha) = x_1\varphi(\alpha_1) + x_2\varphi(\alpha_2) + \cdots + x_n\varphi(\alpha_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i\,\varphi(\alpha_i). \]
这个式子称为线性函数 \(\varphi\) 在给定基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的表达式。⏱ 04:30
定理 2 · 表达式定理的逆命题（存在唯一性） 任给 \(F\) 中 \(n\) 个元素 \(a_1,\dots,a_n\)，就存在唯一的 \(V\) 上的线性函数 \(\varphi\) 使得
\[ \varphi(\alpha_i) = a_i,\quad i=1,2,\dots,n. \]
此时其表达式为（习惯把 \(a_i\) 写在左边）
\[ \varphi(\alpha) = \sum_{i=1}^{n} a_i\, x_i. \]
这是本章节线性映射“由基上的值唯一决定”定理在 \(n=1\) 维情形（\(V\) 到 \(F\)）的特化，丘老师在本集再次使用。⏱ 06:03
理解要点 “知道 \(\varphi\) 在基上的值”与“知道 \(\varphi\) 在任意向量上的值”是等价的：前者完全决定后者。反过来，任给基上的 \(n\) 个标量值，就唯一确定一个线性函数。⏱ 07:45

4对偶空间 \(V^*\) 与维数定理 ⏱ 08:33

由“线性映射空间”知识，\(\mathrm{Hom}(V,F)\)（\(V\) 到 \(F\) 的所有线性映射构成的集合）在映射加法、标量乘法下构成 \(F\) 上线性空间。

定义 2 · 线性函数空间（对偶空间） \(V\) 上的所有线性函数构成的空间 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 称为 \(V\) 的线性函数空间；当 \(V\) 有限维时，记作
\[ V^{*} := \mathrm{Hom}(V,F), \]
并称为 \(V\) 的对偶空间（dual space）。⏱ 09:00
定理 3 · 对偶空间的维数 若 \(V\) 是 \(n\) 维 \(F\) 上线性空间，则
\[ \dim V^{*} = \dim\mathrm{Hom}(V,F) = \dim V \cdot \dim F = n \cdot 1 = n. \]
即对偶空间的维数等于原空间的维数，从而 \(V^{*}\) 与 \(V\) 同构。⏱ 11:13
注意 \(V^*\) 是 \(V\) 的“对偶空间”，其元素是定义在 \(V\) 上的线性函数，而不是 \(V\) 中的向量。符号 \(V^*\) 仅用于有限维情形；丘老师说明无限维时此记号另有所用，本课程只讲有限维。⏱ 10:55

5对偶基的存在、唯一与证明 ⏱ 12:31

已知 \(V^*\) 也是 \(n\) 维的，下面在 \(V^*\) 中找一组基。设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基。

定义 3 · 对偶基 由表达式定理（取 \(a_1=1, a_2=0,\dots,a_n=0\)）存在唯一线性函数 \(\varphi_1\) 使得
\[ \varphi_1(\alpha_1)=1,\quad \varphi_1(\alpha_j)=0\ (j\neq 1). \]
依次取 \((a_1,\dots,a_n)=(0,\dots,0,1,\dots)\)，可得唯一线性函数
\[ \varphi_i(\alpha_j) = \delta_{ij} = \begin{cases}1, & j=i,\\ 0, & j\neq i,\end{cases}\quad i,j=1,\dots,n. \]
称 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 为基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的对偶基（dual basis），是 \(V^*\) 的一组基。⏱ 13:55
证明对偶基线性无关（丘老师课堂完整推导）

设 \(k_1\varphi_1+\cdots+k_n\varphi_n = \mathbf{0}\)（0 函数，即把所有向量映到 \(F\) 中 0 的函数）。两边取在 \(\alpha_1\) 上的函数值：⏱ 16:25

由线性映射的加法与数量乘法，

\[ (k_1\varphi_1+\cdots+k_n\varphi_n)(\alpha_1) = k_1\varphi_1(\alpha_1)+k_2\varphi_2(\alpha_1)+\cdots+k_n\varphi_n(\alpha_1), \]
而 0 函数在 \(\alpha_1\) 上的值就是 \(0\in F\)。由对偶基性质 \(\varphi_1(\alpha_1)=1\)，\(\varphi_j(\alpha_1)=0\ (j\neq 1)\)，得
\[ k_1\cdot 1 + 0 + \cdots + 0 = 0 \implies k_1 = 0. \]
依次取在 \(\alpha_2,\dots,\alpha_n\) 上的函数值，同理推出 \(k_2=0,\dots,k_n=0\)。故 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 线性无关。⏱ 18:00

又 \(\dim V^* = n\)，\(n\) 个线性无关元素即构成 \(V^*\) 的一组基。证毕。

克罗内克符号 \(\delta_{ij}\) 记法 对偶基的第二个向量在 \(\alpha_j\) 上的函数值，当下标 \(j=i\) 时为 1，否则为 0。统一记作
\[ \varphi_i(\alpha_j) = \delta_{ij},\quad \delta_{ij}=\begin{cases}1,&i=j\\ 0,&i\neq j.\end{cases} \]
这个符号（Kronecker delta）前面讲过，务必记熟。⏱ 19:35

★重点回顾

1
\(F\) 本身是 1 维 \(F\) 上线性空间，\(e\) 为基；这使得“\(V\) 到 \(F\) 的线性映射”这一对象有明确定义。
2
线性函数（线性泛函） \(=\) \(V\to F\) 的线性映射，记 \(\varphi:V\to F\)。保持加法与数量乘法。
3
表达式定理：\(\varphi(\alpha)=\sum_i x_i\varphi(\alpha_i)\)；反之，任给 \(\varphi(\alpha_i)=a_i\)，存在唯一线性函数，其表达式 \(\varphi(\alpha)=\sum_i a_i x_i\)。
4
对偶空间 \(V^*=\mathrm{Hom}(V,F)\)；\(\dim V^* = \dim V = n\)，故 \(V^*\cong V\)（同构但非自然同构，见 P120）。
5
对偶基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\)：由 \(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\) 唯一确定；线性无关性证明用“取在 \(\alpha_k\) 上函数值消元”的方法。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆 \(V^*\) 中的元素与 \(V\) 中的向量：\(V^*\) 的元素是“作用在 \(V\) 上取标量值”的函数，不是向量本身。
  2. 0 函数与 0 像要分清：0 函数 \(\mathbf{0}:V\to F\) 把每个向量映到 \(F\) 中的 0；而 \(V\) 中的零向量 \(\mathbf{0}_V\) 是 \(V\) 的元素。推导中对 0 函数取在 \(\alpha\) 上的值，得到的是 \(F\) 中的 0，不能与 \(\mathbf{0}_V\) 混写。
  3. 表达式中系数 \(a_i\) 与 \(x_i\) 的位置：\(\varphi(\alpha)=\sum_i a_i x_i\)，其中 \(a_i=\varphi(\alpha_i)\) 是“基上的函数值”，\(x_i\) 是 \(\alpha\) 在 \(\alpha\) 基下的坐标。习惯把 \(a_i\) 写在左边（标量在前）。
  4. 对偶基的下标约定：\(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\)——第一个下标对应“函数编号”，第二个对应“作用到的向量编号”。\(i=j\) 时取 1，否则取 0。
  5. \(V^*\) 维数公式的来源：\(\dim\mathrm{Hom}(V,W)=\dim V\cdot\dim W\)，这里 \(W=F\)，\(\dim F=1\)，故 \(\dim V^*=n\)。不能把 \(\dim F\) 当成 \(n\)。

✎自测与作业

  1. 设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^3\)，基 \(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)。写出对偶基 \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\)，并验证 \(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\)。
  2. 设 \(\varphi:V\to F\) 是线性函数，\(\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2\)，已知 \(\varphi(\alpha_1)=3,\ \varphi(\alpha_2)=-1\)，求 \(\varphi(\alpha)\) 的表达式。
  3. 用本集方法（取在 \(\alpha_k\) 上的函数值消元）证明：若 \(V\) 是 \(n\) 维，对偶基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 线性无关。把证明完整写出。
  4. 设 \(V\) 是 4 维，\(\alpha_1,\dots,\alpha_4\) 是一组基。取 \(a_1=1,a_2=2,a_3=0,a_4=-1\)，由表达式定理唯一确定的线性函数 \(\varphi\) 在 \(\alpha=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3-\alpha_4\) 上的值是多少？
  5. （思考）\(V\) 与 \(V^*\) 同构（维数相等），但为何 P120 会说 \(V\to V^{**}\) 是自然同构？对比 \(V\) 到 \(V^*\) 的任意同构（需要选基）与 \(V\) 到 \(V^{**}\) 的自然同构（不依赖基的选择），说明区别。
下一集预告 第 P119 集 · 三十四：对偶基的过渡矩阵关系。若 \(V\) 中基由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 换成 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)（过渡矩阵 \(A\)），对偶基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 换成 \(g_1,\dots,g_n\)（过渡矩阵 \(B\)），将推导 \(B=(A^{-1})^{T}\)。