高等代数 · 课程学习笔记

第 P12 集 · 五：行列式性质2、3、4

Properties of Determinants II — Row Multiplication, Row Swap, Linearity
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P12 / 151 集 核心概念：行列式性质 · 转置不变 · 行互换反号 · 行提取公因子
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◎学习目标

  1. 掌握行列式性质2：某一行（列）的所有元素同乘一个数 \(k\)，等于用 \(k\) 乘该行列式，即一行公因子可以提到行列式记号外面；
  2. 掌握行列式性质3：互换行列式的两行（列），行列式反号；由此推出两行相同或两行成比例时行列式为零；
  3. 理解行列式对某一行（列）的线性性质（性质4）：若某一行是两组数的和，则行列式可拆成两个行列式的和；
  4. 会运用这些性质对行列式进行化简计算，特别是遇到主对角元素相同、其余元素相同的特殊行列式。

1性质2：一行乘 \(k\)（公因子可提） ⏱ 01:47

回顾：第 P11 集讲了性质1——转置不变：\(\det A^{T} = \det A\)。本集继续探讨三种初等行变换对行列式的影响。

性质2 · 一行乘k，行列式乘k 设矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行所有元素同乘非零数 \(k\)，得矩阵 \(B\)，则
\[ \det B = k \cdot \det A. \]
写成行列式形式：
\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}. \]
简称：某行的公因子可以提到行列式记号外面。⏱ 07:38
证明（从 \(n\) 阶行列式定义出发）

设矩阵 \(B\) 由 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 得到，即 \(b_{ij}=a_{ij}\)（\(j\neq i\)），\(b_{ij}=ka_{ij}\)（第 \(i\) 行）。⏱ 02:55

按行列式定义，\(\det B\) 对列指标排列 \(\sigma=(j_1,j_2,\dots,j_n)\) 求和，每一项为 \((-1)^{\tau(\sigma)} b_{1j_1}b_{2j_2}\cdots b_{nj_n}\)。其中第 \(i\) 行因子为 \(b_{ij_i}=ka_{ij_i}\)。

把公因子 \(k\) 从连加号中提取出来：⏱ 06:00

\[ \det B = k \sum_{\sigma} (-1)^{\tau(\sigma)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} = k \cdot \det A. \]

丘老师特别指出：初等行变换要求 \(k\neq 0\)（因为逆变换需要除以 \(k\)），但上述等式在 \(k=0\) 时也自然成立（两行全零则行列式为0，等式两边皆为零）。⏱ 08:15

对列同样成立 由性质1（转置不变）\(\det A = \det A^{T}\)，性质2对列同样成立：某一列的公因子也可提到行列式外面。

2性质3：两行互换，行列式反号 ⏱ 15:40

性质3 · 两行互换反号 互换行列式的第 \(p\) 行与第 \(q\) 行（\(p\neq q\)），所得新行列式等于原行列式的相反数，即
\[ \det C = -\det A. \]
写成行列式形式：
\[ \begin{vmatrix} \cdots \\ \text{第 }p\text{ 行} \\ \cdots \\ \text{第 }q\text{ 行} \\ \cdots \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \cdots \\ \text{第 }q\text{ 行} \\ \cdots \\ \text{第 }p\text{ 行} \\ \cdots \end{vmatrix}. \]
证明（基于 \(n\) 阶行列式定义，交换两个行指标）

设 \(C\) 是 \(A\) 的第 \(p\) 行与第 \(q\) 行互换后得到的矩阵。按定义写出 \(\det C\)：行指标取为自然顺序（第1行→第2行→…→第n行），列指标仍按排列 \((j_1,j_2,\dots,j_n)\) 遍历所有 \(n!\) 个排列。⏱ 18:05

关键技巧：把乘积项中属于第 \(p\) 行和第 \(q\) 行的两个因子交换位置（乘法交换律），同时把列指标排列中对应的两个列指标 \(j_p\) 与 \(j_q\) 也做交换（一次对换）。

列指标排列做一次对换，其逆序数改变奇偶性，故符号 \((-1)^{\tau}\) 变号。由于这项对换只改变符号，不改变求和范围（仍是全部 \(n!\) 个排列），所以⏱ 22:50

\[ \det C = -\det A. \]

丘老师强调："性质3、性质4的证明，全是按 \(n\) 阶行列式的定义。" 这正是 \(n\) 阶行列式定义重要性的体现。⏱ 03:32

推论1 · 两行相同则行列式为零 若行列式有两行完全相同，则行列式值为 0。
证明：设第 \(p\) 行与第 \(q\) 行相同，互换这两行行列式不变（元素相同），但按性质3应反号，故 \(\det A = -\det A\)，即 \(2\det A=0\)，所以 \(\det A=0\)。
推论2 · 两行成比例则行列式为零 若行列式有两行成比例（比如第 \(q\) 行 = \(\lambda\) × 第 \(p\) 行），则行列式值为 0。
证明：先从第 \(q\) 行提取公因子 \(\lambda\)（性质2），得到 \(\lambda\) 乘以一个有两行相同的行列式（由推论1知其值为0），故原行列式 = \(\lambda \cdot 0 = 0\)。

3行线性性质：某行是两组数之和可拆项 ⏱ 09:28

这是为证明"一行的倍数加到另一行行列式不变"所做的预备知识。

性质4 · 行的线性（可拆性） 若行列式某一行（如第 \(i\) 行）的每个元素都是两组数之和，即 \(a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}\)，则该行列式可拆成两个行列式之和：
\[ \det A = \det A^{(b)} + \det A^{(c)}, \]
其中 \(A^{(b)}\) 的第 \(i\) 行为 \((b_{i1},\dots,b_{in})\)，\(A^{(c)}\) 的第 \(i\) 行为 \((c_{i1},\dots,c_{in})\)，其余行与 \(A\) 相同。
证明（按定义展开，逐项拆分）

设第 \(i\) 行元素为 \(a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}\)。按定义展开 ⏱ 10:26：

\[ \det A = \sum_{\sigma} (-1)^{\tau(\sigma)} a_{1j_1} \cdots a_{ij_i} \cdots a_{nj_n}, \]

乘积项中第 \(i\) 个因子 \(a_{ij_i}=b_{ij_i}+c_{ij_i}\)，由分配律将该乘积拆成两项：⏱ 11:33

\[ a_{1j_1}\cdots(b_{ij_i}+c_{ij_i})\cdots a_{nj_n} = a_{1j_1}\cdots b_{ij_i}\cdots a_{nj_n} + a_{1j_1}\cdots c_{ij_i}\cdots a_{nj_n}. \]

对每个排列 \(\sigma\) 都如此拆分，再由加法交换律和结合律，将全部 \(n!\) 个两项之和重新组合成两个分别对 \(\sigma\) 求和的表达式，即为 \(\det A^{(b)} + \det A^{(c)}\)。证毕。

4典型例题：主对角全为 \(k\)，其余全为 \(b\) ⏱ 24:10

例题 计算 \(n\) 阶行列式（\(n\geq 2\)）：
\[ D_n = \begin{vmatrix} k & b & b & \cdots & b \\ b & k & b & \cdots & b \\ b & b & k & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & k \end{vmatrix}. \]
主对角线上全为 \(k\)，其余所有位置全为 \(b\)。
解法：列加法 → 提取公因子 → 化成上三角

第一步（利用对称性，把各列加到第一列）：每行元素之和均为 \(k+(n-1)b\)。把第2列至第n列都加到第1列（性质7，倍加不改变行列式值），第1列所有元素都变成 \(k+(n-1)b\)。⏱ 26:22

第二步（提取公因子）：从第1列提出公因子 \(k+(n-1)b\)（性质2的逆用）：

\[ D_n = \bigl(k+(n-1)b\bigr) \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & k & b & \cdots & b \\ 1 & b & k & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & k \end{vmatrix}. \]

第三步（化成上三角）：把第1行乘以 \(-1\) 分别加到第2行至第n行（性质7，值不变），第1列下方全变为0，主对角线下方全变为0：⏱ 29:14

\[ D_n = \bigl(k+(n-1)b\bigr) \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & k-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & k-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & k-b \end{vmatrix}. \]

第四步（按上三角计算）：上三角行列式等于主对角线元素之积：

\[ \boxed{D_n = \bigl(k+(n-1)b\bigr)(k-b)^{n-1}}. \]

丘老师点评：此结论在组合数学中有应用，且方法体现了"列加法→提公因子→化上三角"这一常用套路。⏱ 31:46

★重点回顾

1
性质2（一行乘k）：\(\det B = k\det A\)。某行的公因子可提到行列式外面；对列同样成立（由转置不变性）。
2
性质3（两行互换）：\(\det C = -\det A\)。证明核心：交换列指标排列的一次对换，使符号改变。⏱ 22:50
3
推论：两行相同 ⇒ \(\det=0\)；两行成比例 ⇒ \(\det=0\)。前者由互换反号推出，后者由性质2+前者推出。
4
性质4（行线性）：某行拆成两组数之和，行列式拆成两个行列式之和。证明从定义逐项拆分即可。
5
典型例题：主对角全为 \(k\)、其余全为 \(b\) 的 \(n\) 阶行列式，结果为 \(\bigl(k+(n-1)b\bigr)(k-b)^{n-1}\)。解法关键：列加法使第一列元素相同，再提取公因子，最后化上三角。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆初等行变换与行列式性质的适用范围：初等行变换要求 \(k\neq 0\)（逆变换需要除以 \(k\)），但性质2的等式在 \(k=0\) 时也成立（两边均为0）。
  2. 两行互换后忘记反号：用箭头表示矩阵变换时写等号是错的，行列式值改变必须用等号连接并注明反号。
  3. 把"两行成比例"直接当性质用而不验证：需先提公因子（性质2），再用"两行相同则行列式为0"的推论。
  4. 拆项时搞错哪一行拆：性质4只允许拆某一行（或某一列），不能同时对多行拆项再合并。
  5. 例题计算漏掉 \((k-b)^{n-1}\) 的指数：上三角矩阵的主对角线除第一元外其余 \(n-1\) 个元素都是 \(k-b\)，不要误写为 \(k-b\)。

✎自测与作业

  1. 用性质2直接验证：\(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \end{vmatrix}\)。
  2. 证明：\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0\)（提示：观察第三行是否为前两行的线性组合，或用性质3和推论）。
  3. 计算：\(\begin{vmatrix} a+x & b+x & c+x \\ a+y & b+y & c+y \\ a+z & b+z & c+z \end{vmatrix}\)（提示：各行减去第一行，再用性质3判断是否有两行成比例）。
  4. 把例题中 \(n=3\) 的特例代入公式 \(D_3=(k+2b)(k-b)^2\) 验证，并直接按定义展开计算核对。
  5. （思考）性质4能否推广到"某一行是 \(m\) 组数之和"？请尝试证明或给出反例。
  6. （预习）下一章将介绍"一行的倍数加到另一行"（性质5），本集的性质4是其证明的关键工具。
下一集预告 第 P13 集 · 六：行列式性质4续、性质5（倍加不变）、性质6（成比例为零）、性质7，将继续完善初等行变换对行列式的影响体系。