高等代数 · 课程学习笔记

第 P123 集 · 双线性函数（三）：矩阵秩、左根、右根、非退化

Bilinear Forms, Part 3: Matrix Rank, Left/Right Radicals, Non-degeneracy
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P123 / 151 集 核心概念：矩阵秩 · 左根 / 右根 · 非退化 · 对称双线性函数满秩判定
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◎学习目标

  1. 确认合同矩阵保持秩：若 \(B=C^{\top}AC\)（\(C\) 可逆），则 \(\operatorname{rank} B = \operatorname{rank} A\)；
  2. 理解合同是 \(n\) 阶矩阵集合上的一个等价关系（反身、对称、传递），并掌握合同等价类（合同类）的概念；
  3. 掌握双线性函数 \(F\) 的矩阵秩 \(\operatorname{rank}_M(F)\) 的定义：\(F\) 在任一基下度量矩阵的秩（与基无关的不变量）；
  4. 理解"矩阵秩"与"真正的双线性函数秩"（相应线性函数子空间的维数）的区别，后者在维分几何中更自然；
  5. 掌握双线性函数的左根（\(V\) 中） \(\operatorname{rad}_L^V(F)\) 与右根（\(V\) 中） \(\operatorname{rad}_R^V(F)\) 的定义；
  6. 掌握非退化双线性函数的定义：左根与右根都是 \(\{0\}\)；并记住充要条件：在任一基下的度量矩阵满秩（即矩阵秩 \(=n\)）。

1合同矩阵秩的不变性（回顾） ⏱ 00:08

本集开头回顾上一集结论：合同的矩阵有相同的秩。即若 \(B=C^{\top}AC\)（\(C\) 可逆），则

\[ \operatorname{rank} B = \operatorname{rank}(C^{\top}AC) = \operatorname{rank} A. \]
这是由"可逆矩阵左右乘不改变秩"直接推出的。⏱ 00:18

由此，对于 \(V\) 上的双线性函数 \(F\)，虽然在不同基下的度量矩阵一般不同，但它们都是合同的，因此秩相等。这个不变量就是 \(F\) 的矩阵秩，见第 3 节。

2合同是等价关系 ⏱ 00:18

合同是"找得到可逆矩阵 \(C\) 使得 \(B=C^{\top}AC\)"这一性质定义的等价关系。⏱ 00:22

因此合同关系是 \(n\) 阶矩阵集合上的一个等价关系，把矩阵划分为若干个合同等价类（合同类）；同一合同类中的矩阵秩相等。⏱ 00:40

3双线性函数的"矩阵秩" ⏱ 00:48

定义 · 矩阵秩（matrix rank of a bilinear form） 设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数。由前两集：
  1. 同一 \(F\) 在不同基下的度量矩阵合同；
  2. 合同矩阵有相同的秩；
故 \(F\) 在任一基下度量矩阵的秩是与基无关的不变量，称为 \(F\) 的矩阵秩，记作
\[ \operatorname{rank}_M(F). \]
它等于 \(F\) 在任一基下度量矩阵的秩。
为什么要叫"矩阵秩"而非直接叫"秩"？ 丘老师特别说明：因为真正属于双线性函数本身的"秩"是另一种概念——由 \(F\) 产生的所有线性函数族 \(\{\alpha_L\}\)、\(\{\beta_R\}\) 在 \(V^*\) 中张成的子空间的维数，即"左根 / 右根"对应子空间的维数——那个才是"真正的双线性函数秩"（用子空间的维数来定义"变换的秩"更自然）。⏱ 02:11 本集暂时只用"矩阵秩"这个方便的称呼，"真正的秩"的讨论留到后续（丘老师说"以后你在维分几何需要的时候再看"）。

4合同 ⇔ 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵 ⏱ 03:08

定理 · 合同的矩阵可视为同一双线性函数在不同基下的度量矩阵 设 \(A,B\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，且 \(A\) 与 \(B\) 合同（即存在可逆矩阵 \(C\) 使得 \(B=C^{\top}AC\)）。则存在 \(V\)（取为 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，如 \(F^n\)）上的双线性函数 \(F\) 及 \(V\) 的两组基 \(\mathcal{G},\mathcal{H}\)，使得 \(A\) 是 \(F\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵，\(B\) 是 \(F\) 在基 \(\mathcal{H}\) 下的度量矩阵。
证明思路（丘老师严谨版）

第一步：给定矩阵 \(A\)，令 \(V=F^n\)，取标准基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，构造双线性函数

\[ F(\alpha,\beta) = X^{\top} A Y, \]
其中 \(X,Y\) 分别是 \(\alpha,\beta\) 的标准坐标。由 P122 的互构定理，\(F\) 是双线性函数，其在标准基下的度量矩阵恰为 \(A\)。⏱ 05:10

第二步：由合同条件 \(B=C^{\top}AC\)，\(C\) 可逆。令

\[ \beta_1,\dots,\beta_n = \alpha_1,\dots,\alpha_n \cdot C, \]
即 \(\beta_j = \sum_i c_{ij}\alpha_i\)。由于 \(C\) 可逆且 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是基，故 \(\beta_1,\dots,\beta_n\) 也是 \(V\) 的一组基。⏱ 06:30

第三步：由 P122 的基变换公式，\(F\) 在基 \(\mathcal{H}=\beta_1,\dots,\beta_n\) 下的度量矩阵为

\[ C^{\top} A C = B. \]
故 \(A,B\) 可视为同一双线性函数 \(F\) 在两组基下的度量矩阵。证毕。⏱ 07:22

老师提示"这个结论我经常要用——给了两个合同矩阵，我总可以把它看成同一双线性函数在不同基下的度量矩阵。"这个"逆向"使用（合同 → 双线性函数）在后续研究中反复出现。⏱ 08:44

5左根与右根（radical） ⏱ 08:55

定义 · \(F\) 在 \(V\) 中的左根（left radical） 设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数。满足
\[ F(\alpha,\beta)=0,\quad \text{对一切 } \beta\in V \]
的所有 \(\alpha\in V\) 构成的子集
\[ \operatorname{rad}_L^V(F) := \{\,\alpha\in V \mid F(\alpha,\beta)=0,\ \forall\,\beta\in V\,\} \]
称为 \(F\) 在 \(V\) 中的左根。
定义 · \(F\) 在 \(V\) 中的右根（right radical） 满足
\[ F(\alpha,\beta)=0,\quad \text{对一切 } \alpha\in V \]
的所有 \(\beta\in V\) 构成的子集
\[ \operatorname{rad}_R^V(F) := \{\,\beta\in V \mid F(\alpha,\beta)=0,\ \forall\,\alpha\in V\,\} \]
称为 \(F\) 在 \(V\) 中的右根。
左根、右根都是子空间 证明（以左根为例）：⏱ 11:51
  • 零向量 \(\mathbf{0}\) 属于左根：\(F(\mathbf{0},\beta)=0\) 对一切 \(\beta\) 成立；
  • 对加法封闭：若 \(\alpha_1,\alpha_2\in\operatorname{rad}_L^V(F)\)，则 \(F(\alpha_1+\alpha_2,\beta)=F(\alpha_1,\beta)+F(\alpha_2,\beta)=0\)；
  • 对数量乘法封闭：若 \(\alpha\in\operatorname{rad}_L^V(F)\)，则 \(F(k\alpha,\beta)=kF(\alpha,\beta)=0\)。
故左根是 \(V\) 的子空间；右根同理。
术语来源 "根"取自英文 radical（数学中的"根"，如群论中的 radical）；"左根"记 \(L\)（left），"右根"记 \(R\)（right）。丘老师说"记住 rad 即可，L/R 只是方向标记"。⏱ 10:26

6非退化双线性函数及其充要条件 ⏱ 11:27

定义 · 非退化双线性函数（non-degenerate bilinear form） 若双线性函数 \(F\) 在 \(V\) 中的左根与右根都是 \(\{0\}\)（即零子空间），则称 \(F\) 是非退化的。换言之，
\[ F \text{ 非退化 } \iff \operatorname{rad}_L^V(F) = \{\mathbf{0}\} \ \text{且}\ \operatorname{rad}_R^V(F) = \{\mathbf{0}\}. \]
这是本集引入的最重要概念，丘老师强调"这个概念是重要的"。⏱ 12:57
定理 · 非退化的充要条件 设 \(V\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数。则 \(F\) 非退化，当且仅当 \(F\) 在 \(V\) 的任一基下的度量矩阵是满秩（秩 \(=n\)），即
\[ \operatorname{rank}_M(F) = n. \]
证明（丘老师的完整推导，关键步骤）

准备工作：取 \(V\) 的基 \(\mathcal{G}=\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，\(F\) 在该基下的度量矩阵为 \(A\)。设 \(\alpha\) 的坐标列向量为 \(X\)，\(\beta\) 的坐标列向量为 \(Y\)，则 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\)。⏱ 14:08

必要性（左根 \(=\{0\}\) ⇒ \(A\) 满秩）： 设 \(\alpha\in\operatorname{rad}_L^V(F)\)，即 \(F(\alpha,\beta)=0\) 对一切 \(\beta\in V\) 成立，等价于

\[ X^{\top} A Y = 0,\quad \forall\, Y\in F^n. \]
特别取 \(Y=e_i\)（第 \(i\) 个单位列向量），得
\[ X^{\top} A e_i = 0,\quad i=1,\dots,n, \]
即 \(X^{\top}A=0\)（行向量），两边转置得 \(A^{\top}X=0\)，即 \(X\) 是齐次线性方程组 \(A^{\top}X=0\) 的解。⏱ 15:14

左根 \(=\{0\}\) ⇔ 该齐次方程组只有零解 \(X=0\) ⇔ 系数矩阵 \(A^{\top}\) 满秩 ⇔ \(A\) 满秩（\(\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^{\top}=n\)）。⏱ 18:30

充分性（\(A\) 满秩 ⇒ 左根 \(=\{0\}\)）：反过来，若 \(A\) 满秩，则 \(A^{\top}X=0\) 只有零解 \(X=0\)，即 \(\alpha=\mathbf{0}\)，故左根为零子空间。⏱ 18:45

右根同理：完全类似地可证，右根 \(=\{0\}\) ⇔ \(A\) 满秩（此时用的是 \(AX=0\)，\(X\) 是 \(\alpha\) 的坐标）。⏱ 18:55

合起来：\(F\) 非退化 ⇔ 左根 \(=\) 右根 \(=\{0\}\) ⇔ \(A\) 满秩（秩 \(=n\)）⇔ \(\operatorname{rank}_M(F)=n\)。⏱ 19:55

推论 · 对称双线性函数特别地，若 \(F\) 是对称双线性函数，则 \(F\) 非退化 ⇔ 其度量矩阵 \(A\)（对称矩阵）满秩。这是实数域上内积理论的关键：几何空间的内积（对称、正定）非退化，因此其度量矩阵（Gram 矩阵）满秩，从而 \(\det A\neq 0\)。丘老师说"非退化很重要，因为几何空间的内积明明是对称的，你要在实数域上的线性空间引进内积，必须加个'对称的'口号"。⏱ 21:47
老师提示 · 本集结尾 丘老师在本集末尾提到：虽然是为清华大学物理系讲的高等代数，但"内容丝毫没给你少一点点"，与数学系讲的内容一致。他还表达了对清华、北大两校物理系与数学系的平等评价，"我始终希望两个大学都很好"。本集到此收尾，下一集将进入"非退化的重要条件"进一步讨论，以及实数域上内积的引入（对称口号）。⏱ 21:01

★重点回顾

1
合同矩阵保持秩：\(B=C^{\top}AC\)（\(C\) 可逆）\(\Rightarrow\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}A\)。合同是等价关系，合同类由"秩相等"等条件刻画。
2
矩阵秩 \(\operatorname{rank}_M(F)\)：双线性函数 \(F\) 在任一基下度量矩阵的秩，与基无关。暂时以矩阵来定义，真正的"双线性函数秩"（相应线性函数子空间的维数）后续再揭示。
3
合同 ⇔ 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵：给了合同矩阵 \(A,B\)，总能构造双线性函数 \(F\) 及两组基使得 \(A,B\) 分别是 \(F\) 在两组基下的度量矩阵。
4
左根 \(\operatorname{rad}_L^V(F)\)、右根 \(\operatorname{rad}_R^V(F)\)：满足 \(F(\alpha,\beta)=0\) 对一切 \(\beta\)（或 \(\alpha\)）成立的 \(\alpha\)（或 \(\beta\)）的集合，均为 \(V\) 的子空间。"根"取自英文 radical。
5
非退化双线性函数：左根 \(=\) 右根 \(=\{0\}\)。充要条件：在任一基下的度量矩阵满秩（\(\operatorname{rank}_M(F)=n\)）。对称双线性函数非退化 ⇔ 度量矩阵满秩，这是引进度量（内积）的关键前提。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. "矩阵秩" \(\neq\) "双线性函数真正的秩"：本集的"矩阵秩"是暂时使用的称呼，真正的双线性函数秩是"左根 / 右根对应线性函数子空间的维数"，二者关系丘老师明确推迟到后续讨论。不要在当前阶段把两者等同。
  2. 左根 / 右根的定义方向：左根 = 固定第一个位置（左边）的 \(\alpha\)，对所有 \(\beta\) 都满足 \(F(\alpha,\beta)=0\)；右根 = 固定第二个位置（右边）的 \(\beta\)，对所有 \(\alpha\) 都满足 \(F(\alpha,\beta)=0\)。方向弄反会得到不同的子空间（对一般双线性函数，左根与右根不必相等）。
  3. 非退化要求左根和右根都为零子空间：只验证左根 \(=\{0\}\) 是不够的，必须同时验证右根 \(=\{0\}\)（对非对称双线性函数，二者可能不同）。对称双线性函数时，左根 = 右根，只需验证其一。
  4. "满秩"要求 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵且秩 \(=n\)：只有满秩（\(A\) 可逆）时 \(F\) 才非退化；若 \(\operatorname{rank}A < n\)，则存在非零向量 \(\alpha\) 使 \(F(\alpha,\beta)=0\) 对所有 \(\beta\)，即 \(F\) 退化。
  5. 合同与相似混淆：合同 \(B=C^{\top}AC\)（左是转置）；相似 \(B=C^{-1}AC\)（左是逆）。二者不可互换：一般情形下 \(C^{\top}\neq C^{-1}\)。

✎自测与作业

  1. 设 \(V=\mathbb{R}^3\)，双线性函数 \(F(\alpha,\beta)=\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1\)（其余项为 0）。写出其在标准基下的度量矩阵 \(A\)，计算 \(\operatorname{rank}_M(F)\)，并求左根 \(\operatorname{rad}_L^V(F)\) 和右根 \(\operatorname{rad}_R^V(F)\)。判断 \(F\) 是否非退化。
  2. 设 \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 上某双线性函数 \(F\) 在标准基下的度量矩阵。证明 \(F\) 退化，并给出非零向量 \(\alpha\) 属于左根（即 \(F(\alpha,\beta)=0\) 对所有 \(\beta\)）。
  3. （证明）设 \(A,B\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，且 \(B=C^{\top}AC\)（\(C\) 可逆）。证明 \(\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}B\)，并由此证明：双线性函数 \(F\) 的矩阵秩 \(\operatorname{rank}_M(F)\) 与基无关。
  4. （充要条件的应用）设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^2\)，双线性函数 \(F(\alpha,\beta)=\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2\)。写出度量矩阵，验证 \(F\) 非退化，并说明 \(F\) 的对称性（即 \(F(\alpha,\beta)=F(\beta,\alpha)\)）如何帮助简化验证。
  5. （思考）对非对称双线性函数，左根与右根是否一定相等？举一个左根 \(=\{0\}\) 但右根 \(=\{\beta_0\}\neq\{0\}\)（或相反）的例子，说明"非退化"必须同时要求左根和右根都为零子空间。
  6. （选做）设 \(F\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的对称双线性函数，度量矩阵为 \(A\)（对称）。若 \(F\) 非退化（\(A\) 满秩），证明由 \(F\) 产生的线性函数族 \(\{\alpha_L\mid\alpha\in V\}\) 张成 \(V^*\) 的整个空间（维数 \(=n\)）。（这解释了为什么"对称 + 非退化"是引进内积的充分条件。）
下一集预告 第 P124 集 · 双线性函数（四）：实数域上内积的引入。利用"对称 + 非退化"双线性函数在实数域上的线性空间中定义内积，进而定义长度、夹角、正交等度量概念，完成"从双线性函数到度量几何"的闭环。