高等代数 · 第 P124 集 · 四：对称和斜(反)对称双线性函数、度量矩阵、对角矩阵

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◎学习目标

理解对称双线性函数和斜对称（反对称）双线性函数的定义，并掌握其在度量矩阵上的对应特征（对称矩阵 vs 斜对称矩阵）；
掌握特征不为2的域上对称双线性函数的对角化定理：存在基使得度量矩阵为对角矩阵；
理解证明中关键一步：如何找到向量 \(\alpha_1\) 使得 \(F(\alpha_1, \alpha_1) \neq 0\)（需要特征不为2这一条件）；
理解证明中的广义正交化构造（类比施密特正交化，但针对一般双线性函数而非内积）；
了解斜对称矩阵的合同标准形（分块对角，每个非零块为 \(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)）。

1对称与斜对称双线性函数的定义 ⏱ 00:02

继上一节（P121）双线性函数的一般理论之后，本节专门讨论两种重要的特殊类型。

定义 1 · 对称双线性函数设 \(F\) 为域 \(K\) 上线性空间 \(V\) 上的双线性函数。若对一切 \(\alpha, \beta \in V\)，有

F(\alpha, \beta) = F(\beta, \alpha),

则称 \(F\) 为对称双线性函数。

定义 2 · 斜对称双线性函数设 \(F\) 为域 \(K\) 上线性空间 \(V\) 上的双线性函数。若对一切 \(\alpha, \beta \in V\)，有

F(\alpha, \beta) = -F(\beta, \alpha),

则称 \(F\) 为斜对称双线性函数（部分教材也称"反对称双线性函数"，但丘老师强调英文 skew 应译为"斜"而非"反"）。

术语辨析英文 skew-symmetric 中，skew = 斜，anti = 反。因此"斜对称"是更准确的翻译。丘老师特别指出："反对称是不准确的，抗才是反的意思，skew 是斜的意思。"本笔记统一采用斜对称这一译法。

例子几何空间中的内积 \(\langle \alpha, \beta \rangle\) 就是一个对称双线性函数——这正是引入这些概念的几何动机所在。⏱ 00:08

2度量矩阵的性质：对称 ↔ 对称矩阵 ⏱ 03:30

命题 1 设 \(F\) 为 \(V\) 上双线性函数，\(\varepsilon = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) 为 \(V\) 的一组基，\(A = (a_{ij})\) 为 \(F\) 在该基下的度量矩阵，其中 \(a_{ij} = F(\varepsilon_i, \varepsilon_j)\)。

若 \(F\) 是对称的，则 \(A\) 是对称矩阵（\(a_{ij} = a_{ji}\)）；
若 \(F\) 是斜对称的，则 \(A\) 是斜对称矩阵（\(a_{ij} = -a_{ji}\)，且对角元全为 0）。

证明：由定义，\(a_{ij} = F(\varepsilon_i, \varepsilon_j)\)，\(a_{ji} = F(\varepsilon_j, \varepsilon_i)\)。⏱ 04:55

若 \(F\) 对称，则 \(F(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = F(\varepsilon_j, \varepsilon_i)\)，即 \(a_{ij} = a_{ji}\)，故 \(A^T = A\)；
若 \(F\) 斜对称，则 \(F(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = -F(\varepsilon_j, \varepsilon_i)\)，即 \(a_{ij} = -a_{ji}\)，故 \(A^T = -A\)；且取 \(i=j\) 得 \(a_{ii} = -a_{ii}\)，故 \(2a_{ii}=0\)。

注意斜对称矩阵的对角元是否全为零，取决于域 \(K\) 的特征。若 char\(K \neq 2\)，则 \(a_{ii} = 0\)；但若 char\(K = 2\)，则 \(a_{ii}\) 可以任意！这也是为何后面诸多结论都要求"特征不为2"。

反过来也成立：若在某组基下度量矩阵对称（或斜对称），则函数 \(F\) 就是对称（或斜对称）的。因此：⏱ 06:00

推论 1 双线性函数 \(F\) 是对称的 \(\iff\) 它在任意基下的度量矩阵是对称矩阵。\(\qquad\qquad\quad\) \(F\) 是斜对称的 \(\iff\) 它在任意基下的度量矩阵是斜对称矩阵。

3对称双线性函数的对角化定理 ⏱ 06:45

本节的核心定理：在适当条件下，任何对称双线性函数都可找到一组基，使其度量矩阵为对角矩阵。

定理 1 · 对称双线性函数的对角化设 \(F\) 为特征不为 2 的域 \(K\) 上线性空间 \(V\) 上的对称双线性函数。则 \(V\) 中存在一组基 \(\varepsilon\)，使得 \(F\) 在该基下的度量矩阵为对角矩阵。

等价地（由度量矩阵合同理论）：⏱ 12:40

推论 2 · 对称矩阵的合同对角化设 \(K\) 是特征不为 2 的域，\(A\) 为 \(K\) 上任一 \(n\) 阶对称矩阵，则存在可逆矩阵 \(P\)，使得

P^T A P = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n).

即 \(A\) 合同于一个对角矩阵。这个对角矩阵称为 \(A\) 的合同标准形（的一种）。

4证明：找自正交向量与广义正交化 ⏱ 07:00

证明用数学归纳法对空间维数 \(n = \dim V\) 进行。

证明完整过程

（基础）\(n = 1\) 时，\(V\) 由一个非零向量生成，度量矩阵为 \(1 \times 1\) 矩阵，自然是对角矩阵。命题成立。⏱ 07:05

（归纳假设）设对维数 \(< n\) 的空间命题成立，证 \(n\) 维情形。

关键引理：找到自正交的向量

若 \(F\) 不是零函数，需证明存在 \(\alpha_1 \neq 0\) 使得 \(F(\alpha_1, \alpha_1) \neq 0\)。用反证法：⏱ 08:00

假设对一切 \(\alpha \in V\)，都有 \(F(\alpha, \alpha) = 0\)。则由双线性性和对称性：

0 = F(\alpha + \beta, \alpha + \beta) = F(\alpha,\alpha) + 2F(\alpha,\beta) + F(\beta,\beta) = 2F(\alpha,\beta).

因为 char\(K \neq 2\)，所以 \(2 \neq 0\)，可除以 2 得 \(F(\alpha, \beta) = 0\) 对一切 \(\alpha, \beta\) 成立，即 \(F\) 为零函数，矛盾！⏱ 09:15

因此存在 \(\alpha_1 \neq 0\) 使得 \(F(\alpha_1, \alpha_1) \neq 0\)。这一步是本证明的关键，特征不为2的条件在此用到了。

（广义正交化）将 \(\alpha_1\) 扩充为 \(V\) 的一组基 \((\alpha_1, \beta_1, \dots, \beta_{n-1})\)。定义：

\beta_i' = \beta_i - \frac{F(\beta_i, \alpha_1)}{F(\alpha_1, \alpha_1)}\,\alpha_1, \qquad i = 1, \dots, n-1.

这一构造直接类比几何中"从向量 \(\beta\) 减去其在 \(\alpha\) 方向上的投影"，使 \(\beta_i'\) 与 \(\alpha_1\) 关于 \(F\) "垂直"：⏱ 10:20

F(\alpha_1, \beta_i') = F(\alpha_1, \beta_i) - \frac{F(\beta_i, \alpha_1)}{F(\alpha_1, \alpha_1)}\,F(\alpha_1, \alpha_1) = 0.

由于 \(\alpha_1, \beta_1', \dots, \beta_{n-1}'\) 与 \(\alpha_1, \beta_1, \dots, \beta_{n-1}\) 互相线性表出（过渡矩阵主对角元全为1，可逆），它们也是 \(V\) 的一组基。

（归纳步骤）令 \(W = \operatorname{span}(\beta_1', \dots, \beta_{n-1}')\)，则 \(V = K\alpha_1 \oplus W\)。\(F\) 限制在 \(W\) 上仍是对称双线性函数，由归纳假设，\(W\) 中存在基 \(\alpha_2, \dots, \alpha_n\) 使 \(F|_W\) 的度量矩阵为对角矩阵。⏱ 11:40

于是在基 \((\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\) 下，\(F\) 的度量矩阵为：

\begin{pmatrix} F(\alpha_1,\alpha_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & D_{n-1} & \\ 0 & & & \end{pmatrix},

其中 \(D_{n-1}\) 是对角矩阵，从而整个矩阵是对角矩阵。证毕。

几何直观此证明与几何空间中"先找一个非零向量，再在其正交补空间中归纳"的思路完全一致。丘老师强调："我从几何空间受到启发，始终没有离开解析几何。"⏱ 04:50

5斜对称矩阵的合同标准形 ⏱ 15:30

对于斜对称双线性函数，其度量矩阵不能化为对角矩阵（除非是零矩阵），但可以化为一种更简单的分块对角形式。

定理 2 · 斜对称矩阵的合同标准形设 \(K\) 是特征不为 2 的域，\(F\) 为 \(K\) 上线性空间 \(V\) 上的斜对称双线性函数。则 \(V\) 中存在一组基，使得 \(F\) 在该基下的度量矩阵为分块对角矩阵：

\operatorname{diag}\!\left( \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\; \dots,\; \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\; 0, \dots, 0 \right).

其中每个 \(2 \times 2\) 块 \(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) 称为辛块（symplectic block），末尾可能有若干 \(1 \times 1\) 的零块。非零块的个数由 \(F\) 唯一决定，等于 \(\frac{1}{2}\operatorname{rank}(F)\)。

推论 3 特征不为 2 的域 \(K\) 上，任一 \(n\) 阶斜对称矩阵 \(A\) 合同于上述分块对角矩阵。特别地，斜对称矩阵的秩必为偶数。

说明此定理的证明比对称情形更复杂，丘老师建议"看书上 proof，不需要死记"。本集只要求记住结论并会应用。⏱ 16:20

★重点回顾

对称双线性函数\(\iff\)度量矩阵是对称矩阵；斜对称双线性函数\(\iff\)度量矩阵是斜对称矩阵（char\(K \neq 2\) 时对角元全为0）。

对角化定理（核心）：char\(K \neq 2\) 时，任何对称双线性函数在适当基下度量矩阵为对角矩阵。即任意对称矩阵合同于对角矩阵。

证明关键：找到 \(\alpha_1 \neq 0\) 使 \(F(\alpha_1,\alpha_1) \neq 0\)——用反证法+极化恒等式，需要 char\(K \neq 2\) 才能由 \(2F(\alpha,\beta)=0\) 推出 \(F(\alpha,\beta)=0\)。

广义正交化：构造 \(\beta_i' = \beta_i - \frac{F(\beta_i,\alpha_1)}{F(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1\)，使 \(F(\alpha_1, \beta_i') = 0\)。这是施密特正交化的推广。

斜对称矩阵标准形：合同于 \(\operatorname{diag}(J, J, \dots, J, 0, \dots, 0)\)，其中 \(J = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)。秩必为偶数。

⚠易错点提醒

常见错误

忽略特征不为2的条件：对角化定理和斜对称矩阵对角元为0的结论，都要求 char\(K \neq 2\)。在特征为2的域上，\(2=0\)，极化恒等式失效，结论不再成立。
混淆"相似对角化"与"合同对角化"：相似对角化要求 \(P^{-1}AP = D\)，合同对角化要求 \(P^TAP = D\)。两者完全不同。对称矩阵的合同对角化比相似对角化弱得多（任何对称矩阵都可合同对角化，但并非都可相似对角化）。
对"斜对称"与"反对称"的翻译混淆：skew = 斜，anti = 反。丘老师坚持用"斜对称"，国内不少教材用"反对称"，考试时两者等价，但要注意术语对应。
认为斜对称矩阵总可对角化：斜对称矩阵一般不能合同化为对角矩阵（除非是零矩阵），只能化为辛块分块对角形。
忘记斜对称矩阵的秩必为偶数：这是从标准形直接得出的重要结论。

✎自测与作业

验证：在 \(\mathbb{R}^3\) 上定义 \(F((x_i),(y_i)) = x_1y_2 + x_2y_1\)，判断 \(F\) 是否对称？是否斜对称？写出其在标准基下的度量矩阵。
设 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，用配方法（依次消去交叉项）找到一个可逆矩阵 \(P\) 使 \(P^TAP\) 为对角矩阵，并写出对角元。
证明：在特征不为2的域上，斜对称矩阵的对角元全为0。
计算 \(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) 的秩，并说明为何它是斜对称矩阵合同标准形的最小非零块。
（思考）为什么特征为2的域上，对称双线性函数不一定能合同对角化？构造一个反例。

下集预告第 P125 集 · 五：合同标准形——进一步讨论合同标准形的唯一性（Sylvester 惯性定理的域一般化版本），以及实数域上对称矩阵合同的完全分类。