提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。
☰本集目录
◎学习目标
- 掌握正交的定义：\((\alpha,\beta)=0\) 时称 \(\alpha\perp\beta\)；
- 理解距离的定义 \(d(\alpha,\beta)=\|\alpha-\beta\|\)，并掌握距离的三条基本性质（非负性、对称性、三角不等式）；
- 掌握勾股定理：\(\alpha\perp\beta\Rightarrow\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2\)；
- 理解并证明正交向量组线性无关；
- 理解正交基与标准正交基的概念，掌握 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)；
- 理解欧几里得空间的概念：配备标准内积的有限维实内积空间。
1正交的定义与性质 ⏱ 00:01
定义 · 正交
设 \(V\) 是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)。若 \((\alpha,\beta)=0\)，则称 \(\alpha\) 与 \(\beta\)正交，记作 \(\alpha\perp\beta\)。⏱ 00:03
正交的充要条件（等价表述）
对非零向量 \(\alpha,\beta\)：
\[ \alpha\perp\beta\ \iff\ \angle(\alpha,\beta)=\frac{\pi}{2}\ \iff\ (\alpha,\beta)=0. \]
相互性
由内积的对称性，\(\alpha\perp\beta\iff\beta\perp\alpha\)，正交关系是相互的。⏱ 00:52
几何直观
在 \(\mathbb{R}^3\) 中，正交等价于几何中的垂直。但在一般实内积空间中，我们用正交这个术语，因为它完全由内积定义，不依赖于任何几何图像。⏱ 00:39
2距离的定义与性质 ⏱ 01:11
定义 · 距离
设 \(V\) 是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，定义 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的距离为：
\[ d(\alpha,\beta)=\|\alpha-\beta\|. \]
即两向量之差的长度。⏱ 01:36
距离的三条基本性质
- 非负性：\(d(\alpha,\beta)\geq 0\)，且 \(d(\alpha,\beta)=0\iff\alpha=\beta\)；
- 对称性：\(d(\alpha,\beta)=d(\beta,\alpha)\)；
- 三角不等式：\(d(\alpha,\gamma)\leq d(\alpha,\beta)+d(\beta,\gamma)\)。
\[ \|\alpha-\gamma\|\leq\|\alpha-\beta\|+\|\beta-\gamma\|. \]
三角不等式的证明
关键工具：向量大小的三角不等式 \(\|\alpha+\beta\|\leq\|\alpha\|+\|\beta\|\)。⏱ 02:58
先证 \(\|\alpha+\beta\|^2\leq(\|\alpha\|+\|\beta\|)^2\)：
\(\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+2(\alpha,\beta)+\|\beta\|^2\leq\|\alpha\|^2+2\|\alpha\|\|\beta\|+\|\beta\|^2=(\|\alpha\|+\|\beta\|)^2\)，
最后一步用了柯西不等式 \((\alpha,\beta)\leq|(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|\|\beta\|\)。⏱ 03:52
两边开方即得 \(\|\alpha+\beta\|\leq\|\alpha\|+\|\beta\|\)。
距离三角不等式：令 \(\alpha-\gamma=(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)\)，应用上述不等式即证。⏱ 04:32
3勾股定理 ⏱ 03:35
命题 · 勾股定理
设 \(V\) 是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)。若 \(\alpha\perp\beta\)（即 \((\alpha,\beta)=0\)），则：
\[ \|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2. \]
证明
\(\|\alpha+\beta\|^2=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)=(\alpha,\alpha)+(\alpha,\beta)+(\beta,\alpha)+(\beta,\beta)\)。
由于 \((\alpha,\beta)=0\) 且内积对称，得：
\[ \|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+0+0+\|\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2. \]
证毕。⏱ 03:46
几何意义
在 \(\mathbb{R}^2\) 或 \(\mathbb{R}^3\) 中，若 \(\alpha\perp\beta\)，则以 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\alpha+\beta\) 为边的三角形是直角三角形，斜边长为 \(\|\alpha+\beta\|\)，这正是勾股定理的推广。⏱ 03:57
逆命题成立
由计算过程可知，\(\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2\iff(\alpha,\beta)=0\)。因此勾股定理的逆也成立。⏱ 04:00
4正交向量组与正交基 ⏱ 05:41
定义 · 正交向量组与正交基
设 \(V\) 是实内积空间。
- 正交向量组：\(V\) 中一组两两正交的非零向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)。
- 正交基：若 \(V\) 是 \(n\) 维实内积空间，一个正交基是 \(V\) 的一个基，且其中的向量两两正交。
定理 · 正交向量组线性无关
实内积空间 \(V\) 中，任意正交向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 都是线性无关的。⏱ 06:30
证明
设有 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。对任意固定的 \(i\)（\(1\leq i\leq s\)），两边与 \(\alpha_i\) 做内积：⏱ 07:22
\[ (k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s,\ \alpha_i)=0. \]
由双线性展开，当 \(j\neq i\) 时 \((\alpha_j,\alpha_i)=0\)（正交），只剩一项：⏱ 07:50
\[ k_i(\alpha_i,\alpha_i)=0. \]
由于 \(\alpha_i\neq 0\)，正定性给出 \((\alpha_i,\alpha_i)=\|\alpha_i\|^2>0\)，因此 \(k_i=0\)。
对一切 \(i\) 成立，故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关。⏱ 08:08
推论
在 \(n\) 维实内积空间 \(V\) 中，任意 \(n\) 个两两正交的非零向量构成 \(V\) 的一个正交基。⏱ 06:38
5标准正交基 ⏱ 07:02
定义 · 标准正交基
设 \(V\) 是实内积空间。\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 称为 \(V\) 的一个标准正交基，如果：
- 它们构成 \(V\) 的一个基；
- 两两正交：\((\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\)（\(i\neq j\)）；
- 每个都是单位向量：\(\|\varepsilon_i\|=1\)（即 \((\varepsilon_i,\varepsilon_i)=1\)）。
\[ (\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1,& i=j,\\ 0,& i\neq j. \end{cases} \]
例：\(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基
取 \(\varepsilon_i\) 为第 \(i\) 个分量为 1、其余分量为 0 的列向量（\(i=1,\dots,n\)），则 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 构成 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基。⏱ 08:10
存在性
任何 \(n\) 维实内积空间都存在标准正交基（将在 P129 用施密特正交化证明）。⏱ 08:26
6欧几里得空间 ⏱ 08:20
定义 · 欧几里得空间
欧几里得空间是指配备了标准内积的有限维实内积空间。
即：\(\mathbb{R}^n\) 配上标准内积 \((\alpha,\beta)=\alpha^T\beta\) 就是一个欧几里得空间。⏱ 08:24
即：\(\mathbb{R}^n\) 配上标准内积 \((\alpha,\beta)=\alpha^T\beta\) 就是一个欧几里得空间。⏱ 08:24
为什么叫"欧几里得"？
因为在 \(\mathbb{R}^3\) 的标准内积下，我们恢复的正是高中所学的欧几里得几何——距离、夹角、正交（垂直）、勾股定理等所有度量概念都能自然地定义和计算。⏱ 08:44
度量矩阵
在标准正交基下，内积的度量矩阵就是单位矩阵 \(I_n\)。任意两个向量 \(\alpha,\beta\) 的坐标列向量分别为 \(X,Y\)，则：
\[ (\alpha,\beta)=X^TIY=X^TY=\sum x_iy_i. \]
这再次说明了标准正交基的优越性。⏱ 09:05
★重点回顾
1
正交：\(\alpha\perp\beta\iff(\alpha,\beta)=0\)。正交是相互的。
2
距离：\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha-\beta\|\)，满足非负性、对称性、三角不等式。
3
勾股定理：\(\alpha\perp\beta\Rightarrow\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2\)。
4
正交向量组线性无关：两两正交的非零向量一定线性无关。
5
正交基：两两正交的非零向量组成的基。在 \(n\) 维空间中，\(n\) 个两两正交的非零向量自动成为正交基。
6
标准正交基：每个向量都是单位向量的正交基。满足 \((\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\delta_{ij}\)。
7
欧几里得空间：有限维实内积空间（默认配备标准内积）。
⚠易错点提醒
常见错误
- 混淆"正交"与"垂直"："正交"是一般的代数概念，"垂直"是几何直观。在一般内积空间下只能用"正交"。
- 距离定义：\(d(\alpha,\beta)=\|\alpha-\beta\|\) 而不是 \(\|\alpha\|-\|\beta\|\)。
- 勾股定理的方向：\(\alpha\perp\beta\Rightarrow\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2\)。不要反过来说（虽然逆命题也成立，但定义上是单向的）。
- 正交基 vs 标准正交基：正交基只需两两正交且非零；标准正交基额外要求每个向量长度为 1。
- 正交向量组不一定构成基：只有 \(n\) 个两两正交的非零向量在 \(n\) 维空间中才能构成正交基。少于 \(n\) 个时只张成子空间。
✎自测与作业
- 验证：在 \(\mathbb{R}^3\) 中，\(\alpha=(1,1,0)^T\)，\(\beta=(1,-1,0)^T\) 正交，并验证勾股定理成立。
- 计算 \(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(4,-2,1)^T\) 之间的距离 \(d(\alpha,\beta)\)。
- 证明：\(\alpha=(1,0,0)^T\)，\(\beta=(1,1,0)^T\)，\(\gamma=(1,1,1)^T\) 线性无关，但不正交。尝试将它们正交化（为下一节课做铺垫）。
- 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，验证 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T\)，\(\varepsilon_2=(0,1,0)^T\)，\(\varepsilon_3=(0,0,1)^T\) 构成标准正交基。
- （思考）在 \(\mathbb{R}^2\) 上，取内积 \((\alpha,\beta)_A=\alpha^TA\beta\)，其中 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)。问：\(\varepsilon_1=(1,0)^T\)，\(\varepsilon_2=(0,1)^T\) 在此内积下还正交吗？
- （选做）证明：在 \(n\) 维实内积空间中，任何正交向量组都可以扩充为一个正交基。
下一集预告
第 P129 集 · 四：施密特正交化。重点：将任意线性无关向量组正交化并单位化为标准正交基的系统方法——这是整个内积空间理论中最核心的算法。