高等代数 · 第 P130 集 · 五：傅里叶展开、正交矩阵及性质

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◎学习目标

掌握标准正交基的两个核心好处：内积计算化为坐标分量的点积，坐标可用内积公式直接提取；
理解傅里叶展开的含义：任意向量可表为标准正交基的线性组合，系数为 \((\alpha,\alpha_i)\)；
理解正交矩阵的定义：\(A^TA = E\)，并推导其等价条件与基本性质；
掌握正交矩阵的三个重要性质：可逆且 \(A^{-1}=A^T\)、行列式为 \(\pm 1\)、乘积与方幂仍为正交矩阵。

1标准正交基下内积与坐标的简化 ⏱ 00:00

设 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 为 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 的一个标准正交基，即满足：

(\varepsilon_i,\varepsilon_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i\neq j. \end{cases}

设向量 \(\alpha,\beta\) 在该基下的坐标列分别为 \(X=(x_1,\dots,x_n)^T\) 和 \(Y=(y_1,\dots,y_n)^T\)，即 \(\alpha=\sum x_i\varepsilon_i\)，\(\beta=\sum y_i\varepsilon_i\)。

性质 1 · 内积的坐标计算在标准正交基下，两个向量的内积等于其坐标列的点积：

(\alpha,\beta) = X^T Y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i.

证明：由双线性性质，\((\alpha,\beta)=\sum_i\sum_j x_i y_j (\varepsilon_i,\varepsilon_j)\)，因标准正交性，交叉项均为 0，只剩 \(i=j\) 的项，即得结果。⏱ 03:45

性质 2 · 坐标的内积公式坐标 \(x_i\) 可由内积直接算出：

x_i = (\alpha,\varepsilon_i), \qquad i=1,\dots,n.

证明：\(\alpha=\sum_{j=1}^n x_j\varepsilon_j\)，两边与 \(\varepsilon_i\) 作内积，由标准正交性即得 \(x_i=(\alpha,\varepsilon_i)\)。⏱ 08:50

丘老师强调 "在 \(n\) 维欧氏空间中，你一定要起标准正交基来讨论，千万不要起普通的基——你那是故意给自己添麻烦。如果你愿意快、简单，就应该起标准正交基，这么多好处，你要充分利用它的优越性。"⏱ 15:45

2傅里叶展开（Fourier Expansion）⏱ 06:00

将性质 2 代入向量表达式，得到：

\alpha = \sum_{i=1}^{n} x_i \varepsilon_i = \sum_{i=1}^{n} (\alpha,\varepsilon_i)\,\varepsilon_i.

定义 · 傅里叶展开上式称为向量 \(\alpha\) 关于标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 的傅里叶展开，其中 \((\alpha,\varepsilon_i)\) 称为傅里叶系数。⏱ 09:00

丘老师在课堂上指出，此概念与数学分析中函数的傅里叶级数展开在结构上完全类似，只是这里处理的是线性空间中的向量而非函数。⏱ 10:00

几何意义每个系数 \((\alpha,\varepsilon_i)\) 就是 \(\alpha\) 在方向 \(\varepsilon_i\) 上的"投影长度"。傅里叶展开就是把向量沿各坐标轴方向分解为分量之和。

3正交矩阵的定义 ⏱ 12:00

考虑两组标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 与 \(\eta_1,\dots,\eta_n\) 之间的过渡矩阵 \(P\)，即：

(\eta_1,\dots,\eta_n) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\,P.

其中 \(P\) 的第 \(j\) 列就是 \(\eta_j\) 在基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 下的坐标列 \(P_j\)。

定理 · 正交矩阵的定义与刻画 \(n\) 阶实方阵 \(A\) 称为正交矩阵，当且仅当：

\[ A^T A = E. \]

此时 \(\eta_1,\dots,\eta_n\) 仍是标准正交基当且仅当 \(P\) 是正交矩阵。⏱ 14:00

证明：过渡矩阵 \(P\) 为正交矩阵 ⟺ \(\eta_i\) 构成标准正交基

必要性：\(\eta_i\) 标准正交 \(\Leftrightarrow\) 对一切 \(i,j\)，\((\eta_i,\eta_j)=\delta_{ij}\)。在标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 下，\((\eta_i,\eta_j)=P_i^T P_j\)，故条件等价于矩阵乘积 \(P^TP=E\)，即 \(P\) 为正交矩阵。⏱ 17:30

充分性：若 \(P^TP=E\)，则 \((\eta_i,\eta_j)=\delta_{ij}\)，即 \(\eta_1,\dots,\eta_n\) 为标准正交基。⏱ 20:00

分块矩阵视角：将 \(P=(P_1,\dots,P_n)\) 作分块，则 \(P^TP\) 的第 \((i,j)\) 块为 \(P_i^TP_j=(\eta_i,\eta_j)\)，整体构成单位矩阵当且仅当所有 \((\eta_i,\eta_j)=\delta_{ij}\)。⏱ 22:15

4正交矩阵的性质 ⏱ 24:00

命题 · 正交矩阵的基本性质设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵，则以下等价：

A^TA = E \quad \Longleftrightarrow \quad A \text{ 可逆且 } A^{-1}=A^T.

由此还可推出 \(AA^T=E\)。⏱ 25:30

证明

\(A^TA=E\Rightarrow A\) 可逆：两边取行列式，\(|A^T||A|=1\)，即 \(|A|^2=1\)，故 \(|A|\neq 0\)，\(A\) 可逆，且 \(A^{-1}=A^T\)。⏱ 26:00

\(A^{-1}=A^T\Rightarrow AA^T=E\)：由逆矩阵定义 \(AA^{-1}=E\)，代入 \(A^{-1}=A^T\) 即得。\span class="ts">⏱ 27:30

推论 · 正交矩阵的行列式若 \(A\) 是正交矩阵，则：

\det(A) = \pm 1.

证明：由 \(A^TA=E\) 取行列式得 \((\det A)^2=1\)，故 \(\det A=\pm 1\)。⏱ 28:45

性质 2 · 封闭性若 \(A,B\) 均为 \(n\) 阶正交矩阵，则 \(AB\) 也是正交矩阵。

证明：\((AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TEB=B^TB=E\)。⏱ 30:30

性质 3 · 逆与方幂若 \(A\) 为正交矩阵，则 \(A^{-1}=A^T\) 也是正交矩阵；对任意整数 \(k\)，\(A^k\) 仍为正交矩阵。

证明：\((A^T)^TA^T=A^TA=E\)，故 \(A^T\) 正交；\(A^k(A^k)^T=A^kA^{-k}=E\)。⏱ 32:00

性质	结论	关键推导
定义	\(A^TA=E\)	过渡矩阵保持标准正交
可逆性	\(A^{-1}=A^T\)	两边取行列式
对称等式	\(AA^T=E\)	代入 \(A^{-1}=A^T\)
行列式	\(\det A=\pm 1\)	\(\|A\|^2=1\)
封闭性	\(AB\) 正交	\((AB)^T(AB)=E\)
方幂	\(A^k\) 正交	归纳法

★重点回顾

1

标准正交基是欧氏空间中最简洁的基：内积化为点积，坐标可用内积公式 \((\alpha,\varepsilon_i)\) 直接提取。

2

傅里叶展开：\(\alpha=\sum_{i=1}^n(\alpha,\varepsilon_i)\varepsilon_i\)，系数 \((\alpha,\varepsilon_i)\) 是 \(\alpha\) 在各坐标轴方向的投影长度。

3

正交矩阵定义：\(A^TA=E\)。本质是"标准正交基到标准正交基的过渡矩阵"。

4

核心推论：\(A\) 正交 \(\Leftrightarrow A^{-1}=A^T\\Leftrightarrow AA^T=E\)；且 \(\det A=\pm 1\)。

5

运算封闭：正交矩阵的乘积、逆、方幂仍为正交矩阵，构成群（正交群 \(O(n)\)）。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆一般基与标准正交基：一般基下内积公式为 \(X^TAY\)（\(A\) 为度量矩阵），只有标准正交基下才有 \((\alpha,\beta)=X^TY\)。
傅里叶展开误记：公式 \(\alpha=\sum(\alpha,\varepsilon_i)\varepsilon_i\) 仅在基为标准正交时才成立，对普通基不适用。
正交矩阵行列式的符号：\(\det A=\pm 1\)，不总是 1；\(\det A=1\) 称为第一类正交变换（旋转），\(\det A=-1\) 称为第二类（含反射）。
过渡矩阵方向：若 \((\eta_1,\dots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)P\)，则 \(P\) 的第 \(j\) 列是 \(\eta_j\) 的坐标；切勿把行与列搞反。

✎自测与作业

验证矩阵 \(A=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix}\) 是正交矩阵，并计算 \(\det A\)。
已知 \(A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)，验证 \(A\) 是正交矩阵，说明其几何意义（平面旋转）。
在 \(\mathbb{R}^3\) 中，已知标准正交基 \(\varepsilon_1=(1,0,0)^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(0,0,1)^T\)，向量 \(\alpha=(2,3,5)^T\)，写出其傅里叶展开并验证。
设 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 的标准正交基，令 \(\eta_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\)，\(\eta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\varepsilon_1+\varepsilon_2)\)，验证 \(\eta_1,\eta_2\) 仍是标准正交基，并写出过渡矩阵 \(P\)，验证 \(P\) 为正交矩阵。
（思考）证明：若 \(A\) 为正交矩阵且 \(\det A=1\)，则 \(A\) 必可表为若干平面旋转矩阵的乘积（二维情形可直接计算，三维情形参见后续正交变换章节）。

下一集预告第 P131 集 · 六：正交矩阵性质深入、正交补（Orthogonal Complement）、正交投影（Orthogonal Projection）与子空间的直和分解 \(V=U\oplus U^\perp\)。