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◎学习目标
- 理解正交补\(U^\perp\) 的定义，掌握其作为子空间（且继承内积结构）的基本性质；
- 掌握有限维子空间的直和分解定理：\(V = U \oplus U^\perp\)，并会构造性地证明；
- 理解正交投影\(P_U(\alpha)\) 的定义，掌握其显式计算公式（利用标准正交基）；
- 掌握正交投影的最短距离性质：\(\|\alpha-P_U(\alpha)\|\leq\|\alpha-\gamma\|\) 对一切 \(\gamma\in U\) 成立。
1正交补的定义与基本性质 ⏱ 00:00
从立体几何直观出发：在 \(\mathbb{R}^3\) 中，过原点的平面 \(U\) 与过原点且垂直于该平面的直线 \(W\) 互为"正交补"。我们将此概念推广到一般的欧氏空间。
证明
非空：零向量与任何向量的内积为 0，故 \(0\in S^\perp\)，非空显然成立。⏱ 04:30
加法封闭：若 \(\beta_1,\beta_2\in S^\perp\)，则对任意 \(\alpha\in S\)，\((\beta_1+\beta_2,\alpha)=(\beta_1,\alpha)+(\beta_2,\alpha)=0+0=0\)，故 \(\beta_1+\beta_2\in S^\perp\)。
数乘封闭：若 \(\beta\in S^\perp\)，\(k\in\mathbb{R}\)，则 \((k\beta,\alpha)=k(\beta,\alpha)=k\cdot 0=0\)，故 \(k\beta\in S^\perp\)。
因此 \(S^\perp\) 是子空间。内积限制在 \(S^\perp\) 上仍满足正定性、对称性、双线性，故 \(S^\perp\) 也是欧氏空间。⏱ 06:00
2直和分解 \(V = U \oplus U^\perp\) ⏱ 08:00
证明（构造性证明）
第一步：构造分解。取 \(U\) 的一个标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\)（由施密特正交化定理保证存在），令：
显然 \(\alpha_1\in U\)。验证 \(\alpha_2\in U^\perp\)：对每个 \(j=1,\dots,m\)：
因 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\) 是 \(U\) 的基，\(\alpha_2\) 与所有基向量正交，故 \(\alpha_2\in U^\perp\)。⏱ 14:00
第二步：唯一性。设 \(\alpha=\gamma_1+\gamma_2=\alpha_1+\alpha_2\)，其中 \(\gamma_1,\alpha_1\in U\)，\(\gamma_2,\alpha_2\in U^\perp\)。则 \(\gamma_1-\alpha_1=\alpha_2-\gamma_2\)，左边属于 \(U\)，右边属于 \(U^\perp\)，故属于 \(U\cap U^\perp\)。
对 \(\delta\in U\cap U^\perp\)，有 \((\delta,\delta)=0\)（因为 \(\delta\in U^\perp\) 与自身正交），由内积正定性得 \(\delta=0\)。因此 \(U\cap U^\perp=\{0\}\)，分解唯一，即 \(V=U\oplus U^\perp\)。⏱ 18:00
丘老师指出，实数系的完备性（柯西序列必有极限）是关键工具；欧氏空间自动完备，因此有限维情形无需额外条件。
3正交投影的定义与构造 ⏱ 22:00
证明：由直和分解，\(\alpha_2=\alpha-P_U(\alpha)\)。验证 \((\alpha_2,\varepsilon_j)=0\) 对所有 \(j\) 成立（见定理证明部分），故 \(\alpha_2\in U^\perp\)，这正是正交投影的构造。
正交投影的线性性
由显式公式，\(P_U\) 是线性组合运算，自然保持加法和数乘：\(P_U(\alpha+\beta)=P_U(\alpha)+P_U(\beta)\)，\(P_U(k\alpha)=kP_U(\alpha)\)。⏱ 28:00
进一步，\(P_U\) 是幂等变换：\(P_U^2=P_U\)，因为 \(P_U(\alpha)\in U\)，再投影一次不变。
4正交投影的几何性质（最短距离）⏱ 30:00
证明
必要性：对任意 \(\gamma\in U\)，考虑向量分解：
其中 \(\alpha-\alpha_1\in U^\perp\)，\(\alpha_1-\gamma\in U\)（因 \(U\) 是子空间），二者正交。由勾股定理：
取平方根即得结论，等号当且仅当 \(\|\alpha_1-\gamma\|=0\) 即 \(\gamma=\alpha_1\)。⏱ 35:00
充分性：若 \(\|\alpha-\alpha_1\|\leq\|\alpha-\gamma\|\) 对所有 \(\gamma\in U\) 成立，设 \(\delta=P_U(\alpha)\) 为标准正交投影，则由必要性有 \(\|\alpha-\delta\|\leq\|\alpha-\alpha_1\|\)，结合已知得二者相等，再推得 \(\alpha_1=\delta\)。⏱ 38:00
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆正交投影与一般投影：只有当补空间取为 \(U^\perp\) 时才是"正交投影"；取其他补空间时投影不保持最短距离性质。
- 忽略有限维条件：定理 \(V=U\oplus U^\perp\) 对无限维 \(U\) 不成立，必须要求 \(U\) 闭（希尔伯特空间理论）。
- 混淆内积与距离：\(\|\alpha-\gamma\|\) 是距离，\(\|\alpha-\gamma\|^2=(\alpha-\gamma,\alpha-\gamma)\) 是距离的平方，勾股定理用在距离的平方上更直接。
- 正交补的元素判定：\(\beta\in U^\perp\Leftrightarrow(\beta,\varepsilon_i)=0\) 对所有基向量 \(\varepsilon_i\) 成立（不必检验所有向量）。
✎自测与作业
- 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，设 \(U=\operatorname{span}\{(1,1,0)^T,(0,1,1)^T\}\)，用施密特正交化求出 \(U\) 的标准正交基，并写出任意向量 \(\alpha=(a,b,c)^T\) 在 \(U\) 上的正交投影公式。
- 验证：对 \(\alpha=(1,2,3)^T\)，习题 1 所得投影 \(P_U(\alpha)\) 满足 \(\alpha-P_U(\alpha)\perp U\)。
- 设 \(U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}\)，求 \(U^\perp\) 并验证 \(\mathbb{R}^3=U\oplus U^\perp\)。
- 在 \(\mathbb{R}^4\) 中，设 \(U=\operatorname{span}\{(1,0,1,0)^T,(0,1,0,1)^T\}\)，求 \(U^\perp\) 的一组标准正交基。
- （思考）证明：正交投影 \(P_U\) 是幂等变换（即 \(P_U^2=P_U\)），并求其矩阵表示（在 \(V\) 的某一组基下）。
- （选做）在多项式空间 \(\mathbb{R}_2[x]\)（次数≤2的多项式）中，内积定义为 \((f,g)=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx\)，求 \(U=\operatorname{span}\{1,x\}\) 的正交补，并求 \(x^2\) 在 \(U\) 上的正交投影。