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◎学习目标
- 理解正交变换的定义：实内积空间 \(V\) 上的满射变换 \(\mathscr{A}\)，满足对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，\(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\)（保持内积不变）；
- 掌握正交变换的五条基本性质：① 保持长度；② 保持非零向量夹角；③ 保持正交性；④ \(\mathscr{A}\) 必为线性变换；⑤ \(\mathscr{A}\) 必为单射（从而双射）；
- 理解证明线性性的核心技巧：在实内积空间中，通过计算差向量的长度的平方（即该向量与自身的内积），利用内积的正定性推出差为零向量；
- 理解保距同构映射（isometry）的概念，以及正交变换的封闭性和可逆性。
1正交变换的定义与几何直观 ⏱ 00:00
课程从几何直观出发。在三维欧氏空间中，绕一条过原点的直线做旋转，或关于一个平面的镜面反射，都保持：
- 两个点之间的距离不变；
- 两个向量之间的夹角不变；
- 从而内积不变（因为内积由长度和夹角共同决定）。
这启发我们去研究一般实内积空间上保持内积不变的变化。
定义 · 正交变换
设 \(V\) 是实内积空间，\(\mathscr{A}:V\to V\) 是映射。如果：
- \(\mathscr{A}\) 是满射（\(\mathscr{A}(V)=V\)）；
- 对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，\(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\)（保持内积不变）；
\[ \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle = \langle\alpha,\beta\rangle,\quad \forall\,\alpha,\beta\in V. \]
注：定义中只要求满射，单射不需要作为条件，它可以从上述两条性质推导出来。
几何例子① 三维空间中绕一条直线的旋转（转角任意）；② 关于一个平面的镜面反射。两者都是正交变换。
2保持长度与角度 ⏱ 04:30
性质 1 · 保持长度
对一切 \(\alpha\in V\)，\(\|\mathscr{A}\alpha\|=\|\alpha\|\)。
\[ \|\mathscr{A}\alpha\|^2 = \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha\rangle = \langle\alpha,\alpha\rangle = \|\alpha\|^2. \]
因为 \(\mathscr{A}\) 保持内积，直接取 \(\alpha=\beta\) 即得。
性质 2 · 保持夹角
对一切非零向量 \(\alpha,\beta\in V\)（\(\alpha\neq 0,\beta\neq 0\)），
\[ \angle(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta) = \angle(\alpha,\beta). \]
证明：由夹角余弦定义
\[ \cos\angle(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=\frac{\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle}{\|\mathscr{A}\alpha\|\,\|\mathscr{A}\beta\|}=\frac{\langle\alpha,\beta\rangle}{\|\alpha\|\,\|\beta\|}=\cos\angle(\alpha,\beta). \]
夹角取值在 \([0,\pi]\) 区间内，余弦值相等则角相等。
性质 3 · 保持正交性
对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，
\[ \mathscr{A}\alpha\perp\mathscr{A}\beta \iff \alpha\perp\beta. \]
证明：\(\mathscr{A}\alpha\perp\mathscr{A}\beta \Leftrightarrow \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=0 \Leftrightarrow \langle\alpha,\beta\rangle=0 \Leftrightarrow \alpha\perp\beta\)，三步等价，用到了内积保持性和正交定义。
3核心定理：正交变换一定是线性变换 ⏱ 09:00
这是本集最核心、也最深刻的一条结论：
定理 · 正交变换必为线性变换
设 \(\mathscr{A}\) 是实内积空间 \(V\) 上的正交变换，则 \(\mathscr{A}\) 必为 线性变换（保持加法和数量乘法）。
注意：定义中并没有要求 \(\mathscr{A}\) 是线性的，仅仅要求"满射 + 保持内积"，就能推导出线性性。证明只用了"保持内积"这一条，甚至不需要满射条件。
证明：\(\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}\alpha+\mathscr{A}\beta\)（保持加法）
思路：在实内积空间中，要证两个向量相等，只需证它们之差的内积（即差的长度的平方）为零，再利用内积的正定性即得差为零向量。⏱ 10:50
记 \(\delta=\mathscr{A}(\alpha+\beta)-(\mathscr{A}\alpha+\mathscr{A}\beta)\)，计算 \(\|\delta\|^2=\langle\delta,\delta\rangle\)：
\[ \|\delta\|^2 = \langle\mathscr{A}(\alpha+\beta)-(\mathscr{A}\alpha+\mathscr{A}\beta),\;\mathscr{A}(\alpha+\beta)-(\mathscr{A}\alpha+\mathscr{A}\beta)\rangle. \]
利用内积的双线性展开（四项），再逐项用内积保持性和长度保持性替换：
\[ \begin{aligned} &\langle\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}(\alpha+\beta)\rangle - \langle\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}\alpha\rangle \\ &- \langle\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}\beta\rangle - \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}(\alpha+\beta)\rangle \\ &+ \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\alpha\rangle + \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle \\ &+ \langle\mathscr{A}\beta,\mathscr{A}(\alpha+\beta)\rangle - \langle\mathscr{A}\beta,\mathscr{A}\alpha\rangle - \langle\mathscr{A}\beta,\mathscr{A}\beta\rangle \end{aligned} \]
每一项都用内积保持性换回原空间：例如 \(\langle\mathscr{A}(\alpha+\beta),\mathscr{A}(\alpha+\beta)\rangle=\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle\)，\(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\) 等。展开后全部相消，得到 \(\|\delta\|^2=0\)。⏱ 19:30
由内积正定性，\(\|\delta\|^2=0\Rightarrow\delta=0\)，故 \(\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}\alpha+\mathscr{A}\beta\)。
类似方法（留作练习）可证 \(\mathscr{A}(k\alpha)=k\,\mathscr{A}\alpha\)，⏱ 20:10 故 \(\mathscr{A}\) 为线性变换。
关键技巧实内积空间中，"两向量相等"的一个强有力证法是：证明它们之差的长度的平方等于 0，再由内积正定性推出差为零向量。这一技巧在本定理的证明中起了决定性作用。
老师提示"证明我在书上写得很清楚，回去看书。"丘老师在课堂上指出，线性性的证明细节完整写在他的教材中，本笔记仅保留思路框架。
4单射性与可逆性 ⏱ 21:00
性质 4 · 正交变换必为单射
正交变换 \(\mathscr{A}\) 的核 \(\ker\mathscr{A}=\{\alpha\in V:\mathscr{A}\alpha=0\}\) 只有零向量。
证明：设 \(\alpha\in\ker\mathscr{A}\)，则 \(\mathscr{A}\alpha=0\)，于是 \(\|\mathscr{A}\alpha\|=0\)。由长度保持性 \(\|\alpha\|=\|\mathscr{A}\alpha\|=0\)，得 \(\alpha=0\)。故 \(\ker\mathscr{A}=\{0\}\)，\(\mathscr{A}\) 为单射。⏱ 23:00
因为 \(\mathscr{A}\) 已经是满射（定义条件），现在又证得单射，所以 \(\mathscr{A}\) 是双射，从而可逆。
性质 5 · 保持距离
对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，
\[ d(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=\|\mathscr{A}\alpha-\mathscr{A}\beta\|=\|\mathscr{A}(\alpha-\beta)\|=\|\alpha-\beta\|=d(\alpha,\beta). \]
最后一步用到了 \(\mathscr{A}\) 的线性性（先已证）和长度保持性。
小结正交变换保持实内积空间中一切度量关系不变：长度、夹角、正交性、距离——由"保持内积"这一条核心性质完全推出。
5命题总结：正交变换 = 保距同构 ⏱ 31:00
综合以上所有性质，得到以下重要结论：
命题 E
设 \(\mathscr{A}\) 是实内积空间 \(V\) 上的变换，则以下等价：
- \(\mathscr{A}\) 是正交变换（满射 + 保持内积）；
- \(\mathscr{A}\) 是 \(V\) 到自身的保距同构（双射 + 保持内积）。
★重点回顾
1
定义核心：正交变换 = 满射 + 保持内积。不需要额外要求线性或单射，它们都能推导出来。
2
五条性质：保持长度 → 保持夹角 → 保持正交性 → 必为线性变换 → 必为单射（双射）→ 保持距离。
3
证明线性性的技巧（最核心）：在实内积空间中，欲证 \(\mathbf{u}=\mathbf{v}\)，可证 \(\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=\langle\mathbf{u}-\mathbf{v},\mathbf{u}-\mathbf{v}\rangle=0\)，再利用内积正定性推出 \(\mathbf{u}-\mathbf{v}=0\)。
4
证明单射的技巧：由 \(\mathscr{A}\alpha=0\Rightarrow\|\mathscr{A}\alpha\|=0\Rightarrow\|\alpha\|=0\Rightarrow\alpha=0\)，故 \(\ker\mathscr{A}=\{0\}\)。
5
保距同构：正交变换就是实内积空间到自身的保距同构映射，保持一切度量关系不变。
⚠易错点提醒
常见错误
- 把"正交变换"等同于"正交矩阵"：正交变换是抽象空间上的映射，正交矩阵是该变换在特定基下的矩阵表示，两者相关但不等同。
- 误以为定义中要同时要求"线性 + 满射 + 保持内积"：实际上只需"满射 + 保持内积"，线性性可以推导。
- 忽略证明线性性时用的内积正定性技巧：在一般的赋范空间中不能直接用"差的内积为0推差为0"，此技巧依赖于内积结构。
- 混淆"正交变换"和"正交投影"：正交投影（见后续课程）不是可逆的（除非投影到全空间），因此不是正交变换。
- 对"保持正交性"的方向理解反了：性质3是充要条件 \(\mathscr{A}\alpha\perp\mathscr{A}\beta\iff\alpha\perp\beta\)，不是单向的。
✎自测与作业
- 验证正交变换保持长度：从定义 \(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\) 直接推导 \(\|\mathscr{A}\alpha\|=\|\alpha\|\)。
- 验证正交变换保持距离：用线性性（先假设已证）和内积保持性，证明 \(d(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=d(\alpha,\beta)\)。
- 完成线性性证明：仿照加法部分的方法，自行推导 \(\mathscr{A}(k\alpha)=k\,\mathscr{A}\alpha\)（数量乘法保持）。
- 验证正交变换的逆仍为正交变换：设 \(\mathscr{A}\) 是正交变换，证明 \(\mathscr{A}^{-1}\) 也是正交变换。
- 验证两个正交变换的复合仍为正交变换：设 \(\mathscr{A},\mathscr{B}\) 均为正交变换，证明 \(\mathscr{A}\circ\mathscr{B}\) 也是正交变换。
- （思考）在复内积空间（酉空间）上，类似地定义"酉变换"（满射 + 保持内积），能否同样推出酉变换必为线性变换？证明思路与实情形有何异同？
下一集预告
第 P134 集 · 九：正交变换与正交矩阵，将建立正交变换与其矩阵表示之间的桥梁，给出三个等价命题，并引入正交矩阵的概念。