高等代数 · 第 P136 集 · 十一：对称变换及性质

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◎学习目标

从正交投影的几何性质 \((P\alpha,\beta)=(\alpha,P\beta)\) 抽象出对称变换（自伴变换）的定义；
理解并掌握对称变换必为线性变换的证明，掌握"内积相等法"这一重要技巧；
理解对称变换在标准正交基下的矩阵是对称矩阵这一核心结论（当且仅当）；
认识到"对称变换"与"对称矩阵"命名的内在一致性：在标准正交基下，二者互相刻画。

1从正交投影引出对称变换 ⏱ 00:02

丘老师从几何空间中的正交投影出发，自然地引出对称变换的概念。考虑几何空间 \(V\) 中的一个平面 \(U\) 和正交投影映射 \(P\)：

\beta = P_\alpha \beta + (\beta - P_\alpha \beta),

其中 \(P_\alpha \beta \in U\)，而 \(\beta - P_\alpha \beta \in U^\perp\)（正交补）。由正交性知：

(P_\alpha \beta,\; \beta - P_\alpha \beta) = 0.

同理，交换角色可得 \((\alpha - P_\alpha \alpha,\; P_\alpha \beta) = 0\)。利用内积的线性性和对称性，推导出：

正交投影的对称性

(P_\alpha \beta,\; \gamma) = (\beta,\; P_\alpha \gamma) \quad \text{对所有 } \beta, \gamma \in V.

即：正交投影 \(P_\alpha\) 满足 \((P\alpha,\beta)=(\alpha,P\beta)\)。这是对称变换的几何原型。⏱ 02:50

2对称变换的定义 ⏱ 03:35

定义 · 对称变换（自伴变换）设 \(V\) 是实内积空间，\(A:V\to V\) 是一个变换。如果对一切的 \(\alpha,\beta\in V\) 都有

(A\alpha,\;\beta) = (\alpha,\;A\beta),

则称 \(A\) 为 \(V\) 上的对称变换（也称作自伴变换，Hermitian operator 在实情形）。

名称来源 "对称"之名恰来源于内积关系 \((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\) 中 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 地位的对称性。丘老师特别强调，定义中不需要额外假设 \(A\) 是线性变换——它会作为定理自然推出。这区别于许多教材的做法。

3对称变换必为线性变换 ⏱ 05:45

核心问题：仅由 \((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\) 能否推出 \(A\) 是线性变换？答案是肯定的，而且证明方法很巧妙。

证明：\(A\) 保持加法（\(A(\alpha+\beta)=A\alpha+A\beta\)）

关键引理：若对一切 \(\gamma\in V\) 有 \((\alpha,\gamma)=(\beta,\gamma)\)，则 \(\alpha=\beta\)。⏱ 07:25

证明：移项得 \((\alpha-\beta,\gamma)=0\) 对所有 \(\gamma\) 成立。取 \(\gamma=\alpha-\beta\)，则 \((\alpha-\beta,\alpha-\beta)=0\)，由内积正定性得 \(\alpha-\beta=0\)，即 \(\alpha=\beta\)。

应用引理：对一切 \(\gamma\in V\)，计算

(A(\alpha+\beta),\;\gamma) \stackrel{定义}{=} (\alpha+\beta,\;A\gamma) = (\alpha,A\gamma)+(\beta,A\gamma).

再利用对称性换边：

= (A\alpha,\;\gamma) + (A\beta,\;\gamma) = (A\alpha+A\beta,\;\gamma).

由于对一切 \(\gamma\) 有 \((A(\alpha+\beta),\gamma)=(A\alpha+A\beta,\gamma)\)，由引理得 \(A(\alpha+\beta)=A\alpha+A\beta\)。证毕。⏱ 11:15

证明：\(A\) 保持数量乘法

完全类似：对任意实数 \(k\) 和一切 \(\gamma\in V\)，

(A(k\alpha),\;\gamma) = (k\alpha,\;A\gamma) = k(\alpha,A\gamma) = k(A\alpha,\gamma) = (kA\alpha,\;\gamma).

由引理得 \(A(k\alpha)=kA\alpha\)。综上，\(A\) 是线性变换。⏱ 11:55

方法论提炼 "内积相等法"——要证 \(\alpha=\beta\)，只需证对一切 \(\gamma\) 有 \((\alpha,\gamma)=(\beta,\gamma)\)，这是实内积空间中一个极其重要的证明技巧，后续会反复使用。⏱ 09:20

4对称变换的矩阵刻画 ⏱ 12:45

现在假设 \(V\) 是 \(n\) 维实内积空间，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 是一组标准正交基，\(A\) 在该基下的矩阵为 \(A=(a_{ij})\)。我们来探究：\(A\) 是对称变换 \(\iff\) 矩阵 \(A\) 是对称矩阵？

定理 · 对称变换的矩阵刻画设 \(A\) 是实内积空间 \(V\) 上的线性变换，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 是标准正交基，\(A\) 在该基下的矩阵为 \((a_{ij})\)。则

A \text{ 是对称变换} \;\iff\; A^T = A \;\iff\; a_{ij}=a_{ji}\ \text{对所有 }i,j.

证明：必要性（\(\Rightarrow\)）

若 \(A\) 是对称变换，则对一切 \(\alpha,\beta\) 有 \((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\)。特别地，取 \(\alpha=\varepsilon_j\)，\(\beta=\varepsilon_i\)：

(A\varepsilon_j,\;\varepsilon_i) = (\varepsilon_j,\;A\varepsilon_i).

由于是标准正交基，坐标可用内积读出：\((A\varepsilon_j,\varepsilon_i)=a_{ij}\)，\((\varepsilon_j,A\varepsilon_i)=a_{ji}\)（注意内积的对称性 \((u,v)=(v,u)\)）。于是：

a_{ij} = a_{ji} \quad \text{对所有 } i,j.

即 \(A^T=A\)，矩阵 \(A\) 是对称矩阵。⏱ 15:20

证明：充分性（\(\Leftarrow\)）

若 \(A^T=A\)，即 \(a_{ij}=a_{ji}\)。对任意 \(\alpha=\sum x_i\varepsilon_i\)，\(\beta=\sum y_j\varepsilon_j\)，直接计算：

(A\alpha,\beta) = \sum_{i,j} a_{ij}x_i y_j = \sum_{i,j} a_{ji}x_i y_j = (\alpha,A\beta).

故 \(A\) 是对称变换。证毕。⏱ 18:40

命名的巧合与必然 "对称变换"在标准正交基下的矩阵恰为"对称矩阵"，两者命名一一对应，反映了线性变换与其矩阵表示之间的深刻联系。⏱ 21:05

★重点回顾

1

对称变换定义：\((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\) 对所有 \(\alpha,\beta\) 成立。定义中不预先假设线性，线性可由定义推出。

2

证明技巧——内积相等法：要证 \(\alpha=\beta\)，证对一切 \(\gamma\) 有 \((\alpha,\gamma)=(\beta,\gamma)\)；取 \(\gamma=\alpha-\beta\) 即得。

3

对称变换必为线性变换：分别验证加法和数量乘法，均利用内积相等法。

4

矩阵刻画：\(A\) 是对称变换 \(\iff\) 在标准正交基下其矩阵 \(A\) 满足 \(A^T=A\)（即 \(a_{ij}=a_{ji}\)）。

5

几何原型：正交投影 \(P\) 是最典型的对称变换，满足 \((P\alpha,\beta)=(\alpha,P\beta)\)。

⚠易错点提醒

常见错误

在一般基下矩阵未必对称：定理要求基是标准正交基。若非标准正交基，即使 \(A\) 是对称变换，其矩阵也不一定对称。
混淆对称变换与正交变换：正交变换保持内积（\((A\alpha,A\beta)=(\alpha,\beta)\)），对称变换交换内积两边（\((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\)），两者不同。
忽视"线性"需证明：部分教材在定义中直接加上"线性"条件，丘老师特别指出这是不必要的——对称性本身蕴含线性。
坐标读出公式只在标准正交基下成立：\((A\varepsilon_j,\varepsilon_i)=a_{ij}\) 依赖于基向量的标准正交性 \((\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\delta_{ij}\)。

✎自测与作业

验证几何空间中关于 \(xy\)-平面的正交投影 \(P\) 满足 \((P\alpha,\beta)=(\alpha,P\beta)\) 对所有 \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}^3\) 成立。
设 \(A\) 是对称变换。证明：若 \(\alpha\perp\beta\)（即 \((\alpha,\beta)=0\)），不能推出 \(A\alpha\perp A\beta\)。给出反例。
在 \(\mathbb{R}^2\) 中，设标准正交基下 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\)。验证 \(A\) 是对称变换，并求 \(A\) 的特征值和特征向量。
（思考题）证明：若 \(A\) 是对称变换且 \(A^2=I\)（恒等变换），则 \(A\) 是关于某个子空间的正交投影或恒等变换或负恒等变换。
（选做）设 \(V\) 是有限维实内积空间，\(A\) 是 \(V\) 上的线性变换。证明：\(A\) 是对称变换当且仅当对 \(V\) 的任意一组标准正交基，\(A\) 的矩阵都是对称矩阵。

下一集预告第 P137 集 · 十二：实对称矩阵特征多项式、对称变换特征向量——证明实对称矩阵的特征值都是实数，以及不同特征值对应的特征向量正交。