高等代数 · 第 P137 集 · 十二：实对称矩阵特征多项式、对称变换特征向量

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◎学习目标

准确叙述并证明实对称矩阵的特征多项式的每个复根都是实数，理解这一结论对"特征值存在性"的关键意义；
掌握不同特征值对应的特征向量正交的证明，能从矩阵或对称变换两个角度证明；
理解并证明对称变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间（谱定理证明的核心引理）；
纠正对命题的常见错误表述："实对称矩阵的特征值是实数"应精确表述为"特征多项式的复根都是实数"。

1实对称矩阵特征值都是实数 ⏱ 02:00

首先明确一个重要的表述精确性问题。一般实矩阵 \(A\) 的特征多项式虽然是实系数多项式，但其根可能是复数（如 \(x^2+1=0\) 的根为 \(\pm i\)）。而对称矩阵有极强的约束：

定理 1 · 实对称矩阵特征值实数性设 \(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵（\(A^T=A\)，元素均为实数），则 \(A\) 的特征多项式的每一个复根都是实数。

表述纠正（丘老师特别强调）许多教材写成"实对称矩阵的特征值是实数"，这在逻辑上有问题：按特征值定义，它本来就应当属于基域（此处为 \(\mathbb{R}\)），虚根不能称为"特征值"。正确表述是："特征多项式的每个复根都是实数"——先承认可能出虚根，再证它们其实是实数。

证明：利用复共轭 + 转置两招

思路：设 \(\lambda_0\) 是 \(A\) 的一个复根（即复数域上的特征值），证明 \(\overline{\lambda_0}=\lambda_0\)，从而 \(\lambda_0\in\mathbb{R}\)。⏱ 06:00

第一步：利用实矩阵性质取共轭。因为 \(A\) 的元素都是实数，所以 \(\overline{A}=A\)。设 \(A\alpha=\lambda_0\alpha\)（\(\alpha\neq 0\) 是复列向量），两边取复共轭：

A\overline{\alpha} = \overline{\lambda_0}\,\overline{\alpha}.

第二步：利用对称性取转置。对原方程 \(A\alpha=\lambda_0\alpha\) 两边取转置：

\alpha^T A^T = \lambda_0\,\alpha^T \;\Longrightarrow\; \alpha^T A = \lambda_0\,\alpha^T \quad (\because A^T=A).

第三步：交叉相乘消去 \(A\)。左乘 \(\alpha^T\) 到第一步的共轭方程，右乘 \(\overline{\alpha}\) 到第二步的转置方程：

\alpha^T A\,\overline{\alpha} = \lambda_0\,\alpha^T\overline{\alpha} = \overline{\lambda_0}\,\alpha^T\overline{\alpha}.

第四步：说明 \(\alpha^T\overline{\alpha}\neq 0\)。设 \(\alpha=(c_1,\dots,c_n)^T\)，则

\alpha^T\overline{\alpha} = \sum_{k=1}^{n} c_k\,\overline{c_k} = \sum_{k=1}^{n} |c_k|^2 > 0 \quad (\because \alpha\neq 0).

因此可两边约去 \(\alpha^T\overline{\alpha}\)，得 \(\lambda_0=\overline{\lambda_0}\)，即 \(\lambda_0\in\mathbb{R}\)。证毕。⏱ 15:00

结论推论由于实对称矩阵的特征多项式是实系数 \(n\) 次多项式，由代数基本定理它在 \(\mathbb{C}\) 中必有 \(n\) 个根（计重数）；又由定理 1，这些根全都是实数。因此实对称矩阵一定有 \(n\) 个实特征值（计重数）。⏱ 15:30

2不同特征值的特征向量正交 ⏱ 16:00

一般矩阵属于不同特征值的特征向量只是线性无关，而对称矩阵有更强的性质：

定理 2 · 不同特征值对应特征向量正交设 \(A\) 是实对称矩阵，\(\lambda_1\neq\lambda_2\) 是两个不同的特征值，\(\alpha_1,\alpha_2\) 分别是属于 \(\lambda_1,\lambda_2\) 的特征向量，则

(\alpha_1,\;\alpha_2) = 0.

证明（从对称变换角度）

将 \(A\) 视为 \(\mathbb{R}^n\)（标准内积）上的对称变换。已知 \(A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\)，\(A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2\)，且 \(\lambda_1\neq\lambda_2\)。⏱ 19:00

考虑 \((A\alpha_1,\alpha_2)\)，一方面：

(A\alpha_1,\;\alpha_2) = (\lambda_1\alpha_1,\;\alpha_2) = \lambda_1(\alpha_1,\alpha_2).

另一方面，利用对称性 \((A\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,A\alpha_2)\)：

(\alpha_1,\;A\alpha_2) = (\alpha_1,\;\lambda_2\alpha_2) = \lambda_2(\alpha_1,\alpha_2).

两式相减：

(\lambda_1-\lambda_2)(\alpha_1,\alpha_2) = 0.

因 \(\lambda_1\neq\lambda_2\)，故 \((\alpha_1,\alpha_2)=0\)，即 \(\alpha_1\perp\alpha_2\)。证毕。⏱ 21:00

两种证明视角上述证明从对称变换角度（利用 \((A\alpha,\beta)=(\alpha,A\beta)\)），简洁直观。也可直接对实对称矩阵做纯矩阵运算证明（左乘 \(\alpha_1^T\)，利用 \(A^T=A\)），两者完全等价。丘老师建议读者自己动手验证矩阵版本的证明。⏱ 22:00

3不变子空间的正交补仍是变换的不变子空间 ⏱ 22:30

这是整个谱定理证明中最关键的引理。

引理（命题 5）· 正交补不变性设 \(A\) 是实内积空间 \(V\) 上的对称变换，\(W\) 是 \(A\) 的一个不变子空间（即 \(A(W)\subseteq W\)），则 \(W\) 的正交补\(W^\perp\) 也是 \(A\) 的不变子空间。

证明

任取 \(\beta\in W^\perp\)，要证 \(A\beta\in W^\perp\)，即对一切 \(\alpha\in W\) 有 \((A\beta,\alpha)=0\)。⏱ 23:50

因为 \(W\) 是不变子空间，\(\alpha\in W\Rightarrow A\alpha\in W\)。于是：

(A\beta,\;\alpha) \stackrel{对称性}{=} (\beta,\;A\alpha).

由于 \(\beta\in W^\perp\) 且 \(A\alpha\in W\)，故 \((\beta,A\alpha)=0\)。因此 \((A\beta,\alpha)=0\) 对所有 \(\alpha\in W\) 成立，即 \(A\beta\in W^\perp\)。证毕。⏱ 25:30

重要说明此引理只在 \(A\) 是对称变换时成立。对一般线性变换，不变子空间的正交补不一定是不变子空间。丘老师强调这是对称变换特有的优良性质，是后续归纳法证明谱定理的核心工具。⏱ 26:10

★重点回顾

1

实对称矩阵特征值实数性：证明核心是利用 \(\overline{A}=A\)（实矩阵）和 \(A^T=A\)（对称）两条件，通过 \(\alpha^T A\overline{\alpha}\) 的两种算法推出 \(\lambda=\overline{\lambda}\)。

2

不同特征值特征向量正交：证明仅用 \((A\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,A\alpha_2)\) 和特征值定义，是内积技巧的典范应用。

3

正交补不变性：对称变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间——这是谱定理归纳证明的桥梁。

4

表述精确性："特征多项式的复根都是实数"而非"特征值是实数"——后者在逻辑上是循环论证。

⚠易错点提醒

常见错误

特征值定义域混淆：在 \(\mathbb{R}\) 上讨论时，特征值必须为实数；虚根不能叫"特征值"。必须先扩充到 \(\mathbb{C}\) 看根，再证其为实数。
\(\alpha^T\overline{\alpha}=0\) 的误判：证明中约去 \(\alpha^T\overline{\alpha}\) 需先验证其非零。注意 \(\alpha^T\overline{\alpha}=\sum|c_k|^2>0\)，不是 \(\alpha^*\alpha\)（那是共轭转置），在实矩阵情形两者一致。
正交性只对不同特征值：相同特征值的特征向量之间不一定正交，需要通过 Gram-Schmidt 正交化人为构造正交基。
正交补不变性不成立于一般变换：只有对称变换才具备此性质，不可推广到正交变换或其他变换。

✎自测与作业

验证矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的特征值都是实数，并求出对应的特征向量，验证它们正交。
设 \(A\) 是实对称矩阵，\(\lambda\) 是特征值，\(\alpha\) 是对应特征向量。证明：对任意多项式 \(f(x)\)，\(f(A)\alpha=f(\lambda)\alpha\)。
（深化）用纯矩阵方法证明定理 2：设 \(A^T=A\)，\(A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\)，\(A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2\)，\(\lambda_1\neq\lambda_2\)，证明 \(\alpha_1^T\alpha_2=0\)。（提示：考虑 \(\alpha_1^T A\alpha_2\) 的两种计算方式。）
（思考）若 \(W\) 是实对称变换 \(A\) 的不变子空间，且 \(W\) 有一组标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k\)，将其扩充为 \(V\) 的标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，写出 \(A\) 在此基下的分块矩阵形式。
（挑战）举一个非对称的实矩阵例子，验证它的不变子空间的正交补不一定是其不变子空间。

下一集预告第 P138 集 · 十三：对称变换的正交相似对角化——利用数学归纳法证明谱定理：任意实对称矩阵都可正交相似对角化。