高等代数 · 课程学习笔记

第 P14 集 · 七：代数余子式

Cofactors & Laplace Expansion of Determinants
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P14 / 151 集 核心概念：余子式 · 代数余子式 · 按行（列）展开定理 · 行指标逆序数技巧
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◎学习目标

  1. 理解"按第一行元素分组"三阶行列式六项的方法：\(a_{11}, a_{12}, a_{13}\) 各对应一个二阶子式；
  2. 掌握余子式 \(M_{ij}\) 的定义：划去第 \(i\) 行第 \(j\) 列后剩下的 \(n-1\) 阶行列式；
  3. 掌握代数余子式 \(A_{ij}\) 的定义：\(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)；
  4. 理解 \(n\) 阶行列式按某一行（或某一列）展开的猜想：\(\det A = \sum_{j} a_{ij} A_{ij}\)；
  5. 学会用"行指标逆序数 + 列指标逆序数"计算 \((-1)^{i+j}\) 的符号，掌握排列分两次求和的写法；
  6. 体会"把 \(i\) 行元素排到乘积首位"的技巧：这是证明按行展开定理的核心；
  7. 会验证 \(A_{11} = (+1) M_{11}\)、\(A_{12} = (-1) M_{12}\)、\(A_{13} = (+1) M_{13}\) 与"主/反对角线平行"的对应关系。

1三阶按行分组的续讲 ⏱ 00:01

P13 结尾已把三阶行列式六项按第一行分成三组，本集延续这个观察，明确"余子式"概念。

分组回顾 三阶行列式 \(D_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\) 的六项按第一行分为三组：
\[ D_3 = a_{11}\bigl(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}\bigr) + a_{12}\bigl(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}\bigr) + a_{13}\bigl(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}\bigr). \]
每组括号里正好是划掉 \(a_{i j}\) 所在行、列后的二阶行列式（按原来行、列次序排）。
三组二阶子式的写法

对 \(a_{11}\)：划掉第 1 行第 1 列，剩下 \(a_{22}, a_{23}, a_{32}, a_{33}\) 按原来次序排： \[ M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}. \] 与主对角线平行（正的）对应 \(a_{22}a_{33}\)，与反对角线平行（负的）对应 \(a_{23}a_{32}\)。⏱ 01:19

对 \(a_{12}\)：划掉第 1 行第 2 列，剩下 \(a_{21}, a_{23}, a_{31}, a_{33}\) 按原来次序排： \[ M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}. \] 主对角平行项 \(a_{21}a_{33}\) 前为 \(+\)；因 \(i+j = 1+2 = 3\)（奇），该项在展开式前带 \(-\)，正好与 \(a_{12}\) 的"负号"一致。

对 \(a_{13}\)：划掉第 1 行第 3 列，剩下 \(a_{21}, a_{22}, a_{31}, a_{32}\)： \[ M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}. \] 因 \(i+j = 4\)（偶），带 \(+\)。⏱ 03:25

老师强调 "按第一行元素，把六项分了三组"——分组的核心是"先定第一行的元素，剩余 4 个元素自然组成二阶行列式"。这个思想可以推广到 \(n\) 阶。⏱ 04:47

2余子式 \(M_{ij}\) 的定义 ⏱ 04:49

从三阶推广到 \(n\) 阶：固定 \(i\) 行 \(j\) 列，定义"余子式"。

定义 · 余子式 设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，\(i, j \in \{1,2,\dots,n\}\)。划去 \(A\) 中第 \(i\) 行和第 \(j\) 列，剩下的 \(n-1\) 阶子矩阵按原来的行列次序组成行列式，称为 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)：
\[ M_{ij} = \det\bigl(A\ \text{划掉第 } i \text{ 行、第 } j \text{ 列}\bigr), \quad (n-1) \times (n-1) \text{ 阶}. \]
老师解释 \(i,j\) 元的记号 划去第 \(i\) 行第 \(j\) 列的交叉位置元素，习惯上写作 \(a_{ij}\)（小写 \(a\) 加 \(i,j\) 下标）。老师特意强调用 \(A\) 的 \(i\) 元（大写 \(A\)，下标 \(i,j\)）而不用小写 \(a_{ij}\)，是因为在一般讨论中 \(i,j\) 不一定就是"第 2 行第 1 列"这种具体位置——定义本身对任意 \(i,j\) 都成立。⏱ 07:31
"一定记得本质：划去 \(A\) 的 \(i\) 元所在行、列，剩下的按原次序组成 \(n-1\) 阶行列式。"
余子式的阶数 \(n\) 阶矩阵的余子式是 \(n-1\) 阶行列式。划掉一行、一列后，行少 1、列少 1，剩下的 \(n-1\) 行 \(n-1\) 列正好组成 \(n-1\) 阶行列式。⏱ 08:44

3代数余子式 \(A_{ij}\) 的定义 ⏱ 09:56

光有 \(M_{ij}\) 还不够，因为按行展开时每个 \(M_{ij}\) 前面要带 \((-1)^{i+j}\) 的符号。这个"带符号的 \(M_{ij}\)"就是代数余子式。

定义 · 代数余子式 \[ A_{ij} \;=\; (-1)^{i+j}\, M_{ij}. \] 称 \(A_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式。"代数"来源于英语 algebra 的首字母 \(A\)（表示"带符号"的含义），与"余子式" \(M_{ij}\)（matrix minor，裸子式）区分。⏱ 10:49
三阶情形的符号验证

\(a_{11}\)：\(i+j = 2\)（偶），\((-1)^2 = +1\)，故 \(A_{11} = +M_{11}\)；

\(a_{12}\)：\(i+j = 3\)（奇），\((-1)^3 = -1\)，故 \(A_{12} = -M_{12}\)；

\(a_{13}\)：\(i+j = 4\)（偶），\((-1)^4 = +1\)，故 \(A_{13} = +M_{13}\)。

这与上一节分组时观察到的"主对角平行项（偶）带 +、反对角平行项（奇）带 −"完全一致。⏱ 11:35

三阶展开式的简洁写法 把 \(M_{ij}\) 前面的符号吸收进 \(A_{ij}\) 后，三阶行列式按第一行展开写成
\[ \det A \;=\; a_{11}\, A_{11} \;+\; a_{12}\, A_{12} \;+\; a_{13}\, A_{13}. \]
即"第一行元素分别乘以各自代数余子式的乘积之和"。这就是"按第一行展开"。⏱ 12:32
老师补充 "代数余子式，algebra，A"——老师特意用英语词源帮助记忆：\(A\) 取自 algebra 首字母，表示"带符号（algebraic sign）"的 \(M\)。⏱ 12:55

4\(i, j\) 元与行列式的符号约定 ⏱ 06:44

在证明按行展开定理之前，先把 \(n\) 阶行列式中"任一项"的符号讲清楚。

约定 · 行指标、列指标逆序数 设 \(\det A = \sum (\pm) \, a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}\) 中，列指标排列为 \(j_1, j_2, \dots, j_n\)（行指标已是自然序 \(1,2,\dots,n\)）。则该行的符号为
\[ (-1)^{\,t(j_1 j_2 \cdots j_n)}, \]
其中 \(t(\cdot)\) 是列指标排列的逆序数。若把行指标也写成一般排列 \(i_1, i_2, \dots, i_n\)，则
\[ (-1)^{\,t(i_1 i_2 \cdots i_n) \;+\; t(j_1 j_2 \cdots j_n)}. \]
即"行指标逆序数 + 列指标逆序数"之和作为 \((-1)\) 的指数。⏱ 06:44
老师提示 "不是按定义了，因为旁边（行指标）没有按自然性"——把 \(i\) 行元素排到乘积首位时，行指标 \(i, 1, 2, \dots, i-1, i+1, \dots, n\) 不再是自然序，所以不能直接套用定义的"列排列逆序数"，而要写成"行指标逆序 + 列指标逆序"之和。⏱ 15:25

5按行展开定理（猜想） ⏱ 05:58

三阶已验证"按第一行展开"成立，自然要问：能否推广到 \(n\) 阶？

猜想 · 按某一行展开 设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，固定第 \(i\) 行（\(i \in \{1,\dots,n\}\)）。猜想
\[ \det A \;=\; a_{i1}\, A_{i1} \;+\; a_{i2}\, A_{i2} \;+\; \cdots \;+\; a_{in}\, A_{in} \;=\; \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\, A_{ij}. \]
其中 \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 的代数余子式。若能证明，即得按行展开定理。⏱ 06:20
对称性说明 由行列式行与列对称（性质 1），同样的展开式对"按某一列"也成立：
\[ \det A \;=\; \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, A_{ij}. \]
老师特别说明：本集证明按行展开，按列展开由对称性直接得到，不再重复证明。

6证明：行指标逆序数 ⏱ 17:01

开始正式证明。固定 \(i\) 行，把 \(a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}\) 排在乘积的第一个位置，其余行按自然序 \(1, 2, \dots, i-1, i+1, \dots, n\) 写。行指标排列为 \((i, 1, 2, \dots, i-1, i+1, \dots, n)\)。

命题 · 行指标逆序数 \[ t\bigl(i, 1, 2, \dots, i-1, i+1, \dots, n\bigr) \;=\; i-1. \] ⏱ 17:21
证明

数 \(i\) 本身后面有几个比它小的数？即 \(1, 2, \dots, i-1\) 共 \(i-1\) 个，与 \(i\) 各成逆序。所以 \(i\) 贡献 \(i-1\) 个逆序。⏱ 17:42

\(i\) 之后 \(i+1, i+2, \dots, n\) 之间是自然序，无逆序。\(1, 2, \dots, i-1\) 之间也是自然序，无逆序。

所以行指标逆序数恰为 \(i-1\)。

记法说明 行指标用红色表示 \(i\)，后面 \((1,2,\dots,i-1,i+1,\dots,n)\) 按自然序。老师特意强调"把 \(i\) 排在第一位置，其余由小到大"，这是把 \(i\) 行元素提前的写法，与三阶展开"按第一行"的类比一致。

7证明：列指标逆序数 ⏱ 19:56

列指标写成 \(j, k_1, k_2, \dots, k_{i-1}, k_{i+1}, \dots, k_n\)，其中 \(j\) 是 \(i\) 行元素对应的列号（\(j\) 可取 \(1\) 到 \(n\) 任意值），后面 \(k_1, \dots, k_n\) 是 \(1,2,\dots,n\) 中除 \(j\) 外的 \(n-1\) 个数的全排列。

命题 · 列指标逆序数 \[ t\bigl(j, k_1, k_2, \dots, k_n\bigr) \;=\; (j-1) \;+\; t\bigl(k_1, k_2, \dots, k_n\bigr), \] 其中 \(k_1, k_2, \dots, k_n\) 是 \(\{1,\dots,n\}\setminus\{j\}\) 的排列。⏱ 19:56
证明

把排列 \((j, k_1, k_2, \dots, k_n)\) 从左到右看：\(j\) 后面比它小的有 \(j-1\) 个（即 \(1,2,\dots,j-1\)），所以 \(j\) 自己贡献 \(j-1\) 个逆序。⏱ 20:14

剩下的 \(k_1, k_2, \dots, k_n\) 是 \(n-1\) 个正整数（\(1\) 到 \(n\) 去掉 \(j\)）的排列，它们之间的逆序数就是 \(t(k_1,\dots,k_n)\)（这里把 \(n-1\) 个元素的排列当作 \(n\) 元排列的"删去 \(j\) 后"的特例来写，性质完全相同）。

注意：这里把 \(n-1\) 个正整数的全排列称为"\(n\) 元排列中删去一个元素"的排列，老师特别说明"我前面铺垫好了，N 个不同正整数的全排列也叫 \(n\) 元排列"，所以这种写法合法。⏱ 21:06

铺垫回顾 在 P13 中老师已铺垫："N 元排列不仅指 \(1\) 到 \(N\)，也指 \(N\) 个不同正整数的全排列。" 本集"列指标 \(j\) 加上 \(n-1\) 个剩余数"的情形正依赖于这条铺垫。

8证明：提取公因子与分组求和 ⏱ 21:31

结合第 6、7 节，行列式中任一项的符号为

合成符号 \[ (-1)^{t(i,1,\dots,i-1,i+1,\dots,n) + t(j,k_1,\dots,k_n)} \;=\; (-1)^{(i-1) + (j-1) + t(k_1,\dots,k_n)}. \]
关键观察 · 指数合并 \(i-1 + j-1 = i+j-2\)，所以 \((-1)^{i+j-2} = (-1)^{i+j}\)（因为减 2 个不改变 \((-1)\) 的符号）。⏱ 21:36
即"行指标逆序 + 列指标逆序"之和 = \((i+j) + t(k_1,\dots,k_n)\)。
提取公因子完成展开

按 \(i\) 行元素分组：把 \(\det A\) 的所有项按 \(j\)（\(a_{ij}\) 的列指标）分成 \(n\) 组，每组 \(j\) 固定，对 \(k_1, k_2, \dots, k_n\) 求和。

第 \(j\) 组的公因子为 \[ (-1)^{i+j} \cdot a_{ij}, \] 其中 \(a_{ij}\) 在 \(j\) 固定时不变（\(i\) 也固定），\((-1)^{i+j}\) 也不变，可以提出。

剩下的求和： \[ \sum_{\substack{k_1,k_2,\dots,k_n \\ \text{是 } \{1,\dots,n\}\setminus\{j\} \text{ 的排列}}} (-1)^{t(k_1,\dots,k_n)} a_{1k_1} a_{2k_2} \cdots a_{n k_n} \] （其中第 \(i\) 行元素被 \(a_{ij}\) 提出，不在求和中出现。）

这正是划去 \(A\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列后剩下的 \(n-1\) 阶行列式的定义式，即 \(M_{ij}\)。所以第 \(j\) 组 = \((-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} = a_{ij} A_{ij}\)。

把 \(j = 1, 2, \dots, n\) 全加起来： \[ \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}. \qquad \blacksquare \] ⏱ 22:47

核心洞察 按行展开定理的本质：把 \(i\) 行元素排到乘积首位，行指标逆序数是 \(i-1\)，列指标中 \(j\) 自身贡献 \(j-1\)，合起来 \(i+j-2 \equiv i+j \pmod 2\)，于是剩下的求和正好是余子式 \(M_{ij}\) 的定义式。

★重点回顾

1
余子式 \(M_{ij}\)：划去 \(i\) 行 \(j\) 列后剩下的 \(n-1\) 阶行列式，按原行列次序。⏱ 04:49
2
代数余子式 \(A_{ij}\)：\(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)；"A"取自 algebra 首字母。⏱ 09:56
3
按行展开猜想：\(\det A = \sum_{j} a_{ij} A_{ij}\)；按列展开由行与列对称直接得到。⏱ 05:58
4
行指标逆序数：\(t(i, 1, \dots, i-1, i+1, \dots, n) = i-1\)。⏱ 17:21
5
列指标逆序数：\(t(j, k_1, \dots, k_n) = (j-1) + t(k_1, \dots, k_n)\)。⏱ 19:56
6
关键合式：\((i-1)+(j-1) = i+j-2 \equiv i+j \pmod 2\)，所以 \((-1)^{i+j}\) 是公因子，剩下的求和正好是 \(M_{ij}\)。⏱ 21:36
7
三阶验证：\(A_{11} = +M_{11}\)，\(A_{12} = -M_{12}\)，\(A_{13} = +M_{13}\)，与"主/反对角线平行"的符号对应一致。⏱ 11:35

⚠易错点提醒

常见错误
  1. \(M_{ij}\) 与 \(A_{ij}\) 混淆：\(M_{ij}\) 是裸子式（不带 \((-1)^{i+j}\)），\(A_{ij}\) 才带符号。计算时千万别漏掉 \((-1)^{i+j}\)。
  2. \(i+j\) 的奇偶性判断错：\(i+j\) 偶 \(\Rightarrow +\)；\(i+j\) 奇 \(\Rightarrow -\)。\(i,j\) 都从小到大 1 起算，别把 \(i,j\) 写成 0 起算的下标。
  3. 把"按行展开"误写成"按列展开"：两者结果相等（行列式行与列对称），但形式不同。按行展开是 \(\sum_j a_{ij} A_{ij}\)（固定行 \(i\)，列指标变化）；按列展开是 \(\sum_i a_{ij} A_{ij}\)（固定列 \(j\)，行指标变化）。
  4. 忘记"把 \(i\) 行元素排到首位"：证明中必须把 \(i\) 行元素排在乘积第一个位置，行指标才变为 \((i,1,2,\dots,i-1,i+1,\dots,n)\)，逆序数才是 \(i-1\)。如果按自然序写行指标，逆序数为 0，无法得到 \(i+j\) 的合成式。
  5. \(n-1\) 元排列当作 \(n\) 元排列写：列指标 \(j\) 加上 \(n-1\) 个剩余数是 \(n\) 个不同正整数的全排列，与 \(1\) 到 \(n\) 的 \(n\) 元排列性质完全相同。老师明确说"我前面铺垫好了"，复习时别忘了这条约定。
  6. 符号合并写错：\((i-1)+(j-1) = i+j-2\)，不是 \(i+j\)。但因为 \((-1)^2 = 1\)，所以 \((-1)^{i+j-2} = (-1)^{i+j}\)，合式时"减 2 不管"。
  7. 三阶情形二阶子式的正负号：余子式 \(M_{ij}\) 本身不带 \((-1)^{i+j}\)，展开式 \(a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\) 中 \(A_{12}\) 前的负号来自 \(i+j = 3\)（奇）。

✎自我检测

  1. 写出三阶矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\) 中 \(a_{22}\) 的余子式 \(M_{22}\) 与代数余子式 \(A_{22}\)。
  2. 证明：\(A_{11} = +M_{11}\)，\(A_{12} = -M_{12}\)，\(A_{13} = +M_{13}\)，\(A_{21} = -M_{21}\)，\(A_{22} = +M_{22}\)，\(A_{23} = -M_{23}\)。
  3. 对 \(n = 4\)，固定 \(i = 3\) 行，求 \(t(3,1,2,4)\) 和 \(t(j, k_1, k_2, k_3)\)（\(j\) 任意），验证 \(t(\text{行}) + t(\text{列}) = 2 + t(k_1,k_2,k_3)\)。
  4. 用按第一行展开计算 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\) 的值，并用按第二行展开验证结果一致。
  5. 设 \(A\) 为 \(n\) 阶对角矩阵（对角元全为 \(a\)），证明 \(\det A = a^n\)。（提示：按第一行展开 + 对角矩阵的余子式）
  6. （思考）证明：\(\det A\) 可以写为 \(\det A = \sum_i a_{ij} A_{ij}\)（按第 \(j\) 列展开）。（提示：利用行与列对称，或直接对 \(j\) 做与对 \(i\) 对称的论证）
  7. （思考）若 \(A\) 是上三角形矩阵（主对角线下方全为 0），证明 \(\det A\) 等于主对角线元素之积。（提示：按最后一行展开，下三角子式中非零项唯一）
下一集预告 第 P15 集将讨论行列式的更多性质，包括"不同行（列）元素的代数余子式混合乘积之和为 0"、"行列式按两行展开的恒等式"，以及克拉默法则（Cramer's rule）的铺垫。