第 P143 集 · 十八：酉变换特征值和特征向量、酉变换与对角矩阵

由 \(A\xi_0 = \lambda_0\xi_0\)，利用酉变换的半线性性质（共轭线性于数量乘法）：

再用一次 \(A\xi_0=\lambda_0\xi_0\) 以及内积的半线性：

但 \(A\) 保持内积，故 \(\langle A\xi_0,A\xi_0\rangle = \langle\xi_0,\xi_0\rangle = \|\xi_0\|^2\)。于是：

因 \(\xi_0\neq 0\)，故 \(\|\xi_0\|^2\neq 0\)，可以约去。⏱ 04:51

目标：对任意 \(\beta\in W^{\perp}\)，证明 \(A\beta\in W^{\perp}\)，即 \(\forall\alpha\in W\)，\(\langle A\beta,\alpha\rangle=0\)。

关键：因为 \(A\) 在整个 \(V\) 上是单射（保持内积⇒保距⇒核为0），且 \(W\) 是有限维，所以 \(A|_W: W\to W\) 是单射，进而是满射。⏱ 09:56

因此，对任意 \(\alpha\in W\)，存在 \(\gamma\in W\) 使得 \(A\gamma=\alpha\)（满射保证原像存在）。

现在计算：

第二步用了 \(A\) 保持内积；第三步用了 \(\beta\in W^{\perp}\)、\(\gamma\in W\)。⏱ 11:16

故 \(A\beta\in W^{\perp}\)，命题得证。

基础：\(n=1\) 时显然成立。

归纳假设：设 \(n-1\) 维情形命题成立。

归纳步：考虑 \(n\) 维酉空间 \(V\) 上的酉变换 \(A\)。

步骤1：因 \(V\) 是复数域上线性空间，特征多项式在复数域上必有根（代数基本定理），故 \(A\) 有特征值 \(\lambda_1\)，取对应的单位特征向量 \(\varepsilon_1\)（\(\|\varepsilon_1\|=1\)）。⏱ 16:47

步骤2：令 \(W=\mathrm{span}\{\varepsilon_1\}\)，则 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间（一维不变子空间由特征向量生成）。由命题4，\(W^{\perp}\) 也是 \(A\) 的不变子空间，且 \(\dim W^{\perp}=n-1\)。⏱ 18:07

步骤3：\(A|_{W^{\perp}}\) 是 \(W^{\perp}\)（\((n-1)\) 维酉空间）上的酉变换，由归纳假设，存在 \(W^{\perp}\) 的标准正交基 \(\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\)，使 \(A|_{W^{\perp}}\) 的矩阵为对角矩阵 \(\mathrm{diag}(\lambda_2,\dots,\lambda_n)\)。

步骤4：因 \(\varepsilon_1\perp W^{\perp}\)，故 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\) 构成 \(V\) 的标准正交基。在此基下，\(A\) 的矩阵为 \(\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\)。⏱ 20:30

由数学归纳法，命题得证。