高等代数 · 课程学习笔记

第 P145 集 · n元多项式一

N 元多项式环的概念、齐次多项式（N-variable Polynomial Ring & Homogeneous Polynomials）
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P145 / 151 集 核心概念：n 元多项式 · 不定元 · N 元多项式环 · 齐次多项式 · 线性空间
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◎学习目标

  1. 理解为什么从对称双线性函数出发会自然地引出多元多项式的概念；
  2. 掌握 n 元多项式的精确定义，包括"项"、"系数"、"相等"的含义；
  3. 了解 N 元多项式环 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 上的加法与乘法运算，以及它作为一个交换环的结构；
  4. 理解单项式次数和多项式次数的定义，并掌握齐次多项式的概念；
  5. 知道所有 m 次齐次多项式在加法和数乘下构成 \(F\) 上的一个线性空间（为课后思考题铺垫）。

1从对称双线性函数引出二次函数 ⏱ 00:00

本集的引言紧接第八章对称双线性函数的讨论。设 \(V\) 为数域 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间，\(\mathfrak{G}=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 为一组基，\(f\) 为 \(V\) 上的一个对称双线性函数，其度量矩阵为 \(A=(a_{ij})\)，显然 \(A\) 是对称矩阵。⏱ 00:09

对任意 \(\alpha,\beta\in V\)，设它们在基 \(\mathfrak{G}\) 下的坐标列向量分别为 \(X=(x_1,\dots,x_n)^T\) 和 \(Y=(y_1,\dots,y_n)^T\)，则：

\[ f(\alpha,\beta)=X^TAY=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_iy_j. \]

特别地，令 \(\beta=\alpha\)（即取 \(Y=X\)），得到：⏱ 01:30

\[ f(\alpha,\alpha)=X^TAX=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j. \]

丘老师指出，这是一个关于坐标 \(x_1,\dots,x_n\) 的表达式，每一项中每个变量的指数都是 1，总次数为 2，因此它是一个二次函数，记作 \(Q(\alpha)\)。⏱ 02:45

思考问题 丘老师留了一个思考题：如果反过来，先给定一个二次函数，能否得到一个对称双线性函数？（ polarization identity，本课暂不作深入讨论）

2n 元多项式的定义 ⏱ 03:38

将上式中的坐标 \(x_1,\dots,x_n\) 视为抽象的符号（暂时不赋予数值含义），把 \(Q\) 看作这 \(n\) 个符号的一个表达式。从代数的角度，不再把它当"函数"看，而是直接研究这个表达式的结构，从而自然地引入 n 元多项式的概念。⏱ 04:00

定义 · n 元多项式 设 \(F\) 为数域，\(x_1,x_2,\dots,x_n\) 是 \(n\) 个相互独立的符号（称为无关不定元）。形如
\[ \sum_{i_1,i_2,\dots,i_n} a_{i_1 i_2 \cdots i_n}\, x_1^{i_1} x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} \]
的表达式称为 \(F\) 上的一个 n 元多项式，其中：
  • \(i_1,i_2,\dots,i_n\) 取遍所有非负整数（只有有限多个系数 \(a_{i_1\cdots i_n}\neq 0\)）；
  • \(a_{i_1\cdots i_n}\in F\) 称为该项的系数；
  • 两个 n 元多项式相等，当且仅当它们含有完全相同的项（除系数为 0 的项可任意增减外）。
符号 \(x_1,\dots,x_n\) 称为 n 个无关不定元，彼此之间没有任何代数关系。⏱ 05:00
与一元多项式的类比 一元多项式 \(F[x]\) 是特殊情形 \(n=1\)。n 元多项式的一般化，把"一个变量"推广到"n 个独立变量"，定义方式完全类似。

3N 元多项式环 \(F[x_1,\dots,x_n]\) ⏱ 07:00

考虑 \(F\) 上所有 n 元多项式组成的集合，记作 \(F[x_1,x_2,\dots,x_n]\)（类比 \(F[x]\)）。在这个集合上规定两种运算：⏱ 07:15

命题 · N 元多项式环的结构 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 关于上述加法和乘法构成一个有单位元的交换环，其中单位元为 \(F\) 的单位元 \(1_F\)（视为零次多项式）。⏱ 08:20

丘老师在课堂上强调，具体的运算规则详见教材下册第七章的多元多项式一节，本节课不做形式化的展开推导。⏱ 09:00

4单项式次数与多项式次数 ⏱ 09:45

定义 · 单项式次数与多项式次数 在 n 元多项式中，每一个形如 \(a_{i_1\cdots i_n}\,x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}\)（系数非零）的组成部分称为一个单项式。⏱ 10:10
  • 单项式的次数：\(i_1+i_2+\cdots+i_n\)，即各不定元指数之和；
  • n 元多项式的次数：在所有系数不为零的单项式中，次数最大的那个值。

5齐次多项式与零多项式 ⏱ 11:00

定义 · 齐次多项式 若 n 元多项式 \(f(x_1,\dots,x_n)\) 中，每一个系数不为零的单项式的次数都等于同一个正整数 \(m\)，则称 \(f\) 为 m 次齐次多项式（简称齐次式）。⏱ 11:30
零多项式的特殊性 系数全为 0 的多项式称为零多项式（记作 \(0\)）。按照定义，零多项式没有系数非零的单项式，因此它的"齐次性条件"对任何自然数 \(m\) 都自动成立——零多项式可以视为任意次的齐次多项式。⏱ 12:20
m 次齐次多项式构成线性空间 固定 \(m\in\mathbb{N}\)，考虑 \(F\) 上所有 m 次齐次多项式（含零多项式）构成的集合，记作 \(H_m\)。对普通的加法与数乘运算，\(H_m\) 构成 \(F\) 上的一个线性空间。⏱ 13:00

丘老师提到，教材下册第八章第一节有例题：用组合数学的方法（"插板法"/"放球法"）计算该线性空间的维数，有兴趣的同学可以动手数一下基底个数。⏱ 14:00

★重点回顾

1
n 元多项式的定义：\(n\) 个无关不定元 \(x_1,\dots,x_n\)，系数取自数域 \(F\)，只有有限多项非零系数的形式和。相等当且仅当项完全相同（差一个系数为 0 的项不计）。
2
N 元多项式环 \(F[x_1,\dots,x_n]\)：加法为合并同类项，乘法为逐项相乘再合并同类项；构成有单位元的交换环。
3
单项式次数=各变量指数之和；多项式次数=所有非零单项式中最大的次数。
4
齐次多项式：所有非零单项式次数相同（都等于 \(m\)）。零多项式视为任意次的齐次多项式。
5
m 次齐次多项式全体 \(H_m\) 构成 \(F\) 上线性空间，维数可用组合数学方法计算（"插板"模型）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆"多项式"与"函数"：n 元多项式是纯代数的形式对象，不定元之间没有代数关系；而函数需要给变量赋值才有意义。二者不可混为一谈。
  2. 忽略"只有有限项系数非零"：定义中明确要求连加号实际上只有有限多项，否则无法做加法和乘法运算。
  3. 零多项式的次数问题：零多项式没有非零单项式，其"次数"在严格定义下通常规定为 \(-\infty\)（或不定义），但在齐次性语境下可以视为任意次的齐次式——两种说法并不矛盾，要看上下文。
  4. 同类项合并：在 n 元情形下，"同类项"要求每个变量的指数完全一致，不能只看总次数。

✎自测与作业

  1. 判断下列表达式哪些是 \(F[x,y,z]\) 中的多项式，哪些不是，并说明理由：(a) \(x^2y+3yz^2-5\); (b) \(x^2+y^{-1}\); (c) \(\sum_{i=0}^{\infty}x^i\)（形式幂级数，非多项式）。
  2. 写出多项式 \(f=x^2y+3xy^2z-z^3+2\) 的所有单项式及其次数，并求出 \(f\) 的次数。
  3. 设 \(f=x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^2x_3\)，\(g=x_1x_2(x_1+x_2)+x_2^2x_3\)，判断 \(f\) 与 \(g\) 是否相等（提示：先合并同类项再看）。
  4. （思考题）用插板法证明：\(F\) 上 \(n\) 个不定元的 \(m\) 次齐次多项式构成的线性空间 \(H_m\) 的维数为 \(\binom{n+m-1}{m}\)。
  5. （阅读）教材下册第八章第一节，完成关于 \(H_m\) 维数的例题，体会组合方法与线性代数的结合。
下一集预告 第 P146 集 · n元多项式二：N 元多项式环的通用性质（代入定理），以及二次型的定义——这是第九章的核心内容。