高等代数 · 第 P146 集 · n元多项式二

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◎学习目标

掌握 N 元多项式环的通用性质（代入定理）：给定环同态和 \(R\) 中 \(n\) 个元素，可以唯一地把不定元代入得到环同态；
理解通用性质的应用价值：研究 n 元多项式环的性质就一通百通；
理解从二次函数到二次型的过渡：把坐标视为不定元，得到二次齐次多项式；
掌握二次型的矩阵表示：任何二次型可以唯一地写成 \(X^TAX\)，其中 \(A\) 是对称矩阵；
理解为什么要把交叉项拆成两项（\(a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i\)，且 \(a_{ij}=a_{ji}\)），以及这一规定的意义。

1N 元多项式环的通用性质（代入定理） ⏱ 00:01

设 \(F\) 为数域，\(R\) 为有单位元的交换环，\(R_1\) 是 \(R\) 的子环且含 \(R\) 的单位元。设有环同态（homomorphism）\(\tau:F\to R_1\)。⏱ 00:40

对 \(R\) 中任意 \(n\) 个元素 \(t_1,t_2,\dots,t_n\)，可以构造一个从 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 到 \(R\) 的对应法则，称为 \(\tau(t_1,\dots,t_n)\)：

\tau(t_1,\dots,t_n)\!\left(\sum a_{i_1\cdots i_n}\,x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}\right) =\sum \tau(a_{i_1\cdots i_n})\,t_1^{i_1}\cdots t_n^{i_n}.

定理 · 通用性质（代入定理）上述对应法则 \(\tau(t_1,\dots,t_n):F[x_1,\dots,x_n]\to R\) 是一个环同态，满足：

对每个不定元 \(x_k\)，有 \(\tau(t_1,\dots,t_n)(x_k)=t_k\)（把 \(x_k\) 代入 \(t_k\)）；
保持加法和乘法运算；
由于 n 元多项式的表法唯一，该同态是唯一确定的。

⏱ 03:00

证明要点

良定性：n 元多项式表成标准形式唯一（相同项合并），因此代入后得到的元素唯一确定，对应法则良定义。⏱ 02:30

保持加法：两个多项式相加后，对应系数相加，再经 \(\tau\) 作用，与先作用再相加结果一致（因为 \(\tau\) 本身是环同态）。

保持乘法：两个多项式相乘后展开，每一项都是两个单项式相乘，代入后仍满足乘法关系，本质上是因为加法和乘法在形式多项式和环 \(R\) 中都满足相同的运算律（交换环的四条公理）。⏱ 04:00

丘老师说明：证明与一元多项式环的通用性质证明完全类似，此处不再展开。

通俗解释 "把 \(x_1,\dots,x_n\) 分别换成 \(R\) 中指定的元素 \(t_1,\dots,t_n\)，这个代入操作保持加法和乘法。"⏱ 04:30

2通用性质的应用：自代入 ⏱ 05:30

通用性质的一个重要应用是取 \(R=F[x_1,\dots,x_n]\) 本身（即多项式环代换到自身）。此时 \(\tau\) 取为恒等映射，而 \(t_1,\dots,t_n\) 取为 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 中的任意 \(n\) 个多项式。⏱ 06:00

推论 · 多项式替换对任意 \(f\in F[x_1,\dots,x_n]\) 和任意 \(g_1,\dots,g_n\in F[x_1,\dots,x_n]\)，把 \(x_k\) 替换为 \(g_k\)（\(k=1,\dots,n\)）得到一个仍属于 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 的多项式，且该替换保持加法和乘法运算。⏱ 06:45

丘老师强调："这个替换非常重要，我们马上就会用到。"⏱ 07:00

核心意义：只要我们在 n 元多项式环上证明了某个关于加法/乘法的等式，那么把这个等式中的不定元 \(x_k\) 全部替换为任意多项式后，等式仍然成立——这就是"一通百通"的思想。⏱ 07:30

3二次型的定义与矩阵表示 ⏱ 08:00

回到本集的出发点：第八章引入的对称双线性函数给出的二次函数 \(Q(\alpha)=X^TAX=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j\)。⏱ 08:15

现在把 \(x_1,\dots,x_n\) 看作不定元（而不再是坐标变量），从 n 元多项式的角度看这个表达式。由于 \(A\) 是对称矩阵（\(a_{ij}=a_{ji}\)），每一项 \(x_ix_j\)（\(i\neq j\)）出现了两次，丘老师故意不合并，而是将交叉项保留为两项，使得系数矩阵保持对称：⏱ 09:30

定义 · N 元二次型设 \(F\) 为数域，\(f(x_1,\dots,x_n)\) 是 \(F\) 上的一个 n 元二次齐次多项式，且具有如下形式：

f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,x_ix_j=X^TAX,

其中系数矩阵 \(A=(a_{ij})\) 满足 \(a_{ij}=a_{ji}\)（即 \(A\) 为对称矩阵）。则称 \(f\) 为 \(F\) 上的一个 n 元二次型，\(A\) 称为该二次型的矩阵。⏱ 10:30

为什么要把交叉项拆成两项？如果合并同类项，\(x_ix_j\) 与 \(x_jx_i\) 是同一项，只有一个系数。拆分后使系数矩阵 \(A\) 对称，从而可以充分利用前面章节关于对称矩阵的全部结论（合同变换、对角化等）。这是本质的技巧。⏱ 11:30

主对角线元素 \(a_{ii}\) 是 \(x_i^2\) 的系数；非对角线元素 \(a_{ij}\)（\(i\neq j\)）是交叉项 \(x_ix_j\) 系数的一半（因为合并前每项占一半）。⏱ 12:00

4二次型矩阵的唯一性 ⏱ 12:30

命题 · 二次型矩阵的唯一性给定一个二次型 \(f\)，如果它的矩阵 \(A\) 和 \(B\) 都是对称矩阵，且都表示同一个二次型（即作为 n 元多项式 \(f=X^TAX=X^T BX\)），则必有 \(A=B\)。⏱ 13:00

证明思路：两个二次型作为 n 元多项式相等，意味着对应项的系数完全相同，比较 \(x_ix_j\) 的系数即得 \(a_{ij}=b_{ij}\)（利用对称性）。⏱ 13:30

重要提醒矩阵 \(A\) 必须对称，唯一性才成立。如果不要求对称，同一个二次型可以有多个不同的矩阵表示（但这失去了研究价值）。⏱ 14:00

丘老师预告：下一章（P147 起）的核心任务就是——给定一个 n 元二次型，通过合适的变量替换，把它化成最简单的形式（标准形），并研究哪些二次型是"等价"的。⏱ 15:00

★重点回顾

通用性质（代入定理）：给定环同态 \(\tau:F\to R\) 和 \(t_1,\dots,t_n\in R\)，存在唯一环同态 \(F[x_1,\dots,x_n]\to R\) 把 \(x_k\) 映为 \(t_k\)，且保持加法和乘法。

自代入：可将不定元替换为任意多项式，所得仍是多项式，且运算关系保持不变——这是后续变量替换的理论依据。

二次型：n 元二次齐次多项式，且能写成 \(X^TAX\)，其中 \(A\) 为对称矩阵。交叉项拆成两项是为了保证矩阵对称。

矩阵唯一性：二次型的对称矩阵表示是唯一的，这为后续研究二次型的分类奠定了坚实基础。

本章定位：n 元多项式是工具，二次型才是第九章的真正主角。

⚠易错点提醒

常见错误

忽略"系数矩阵必须对称"：二次型的定义明确要求 \(A\) 对称，否则不是二次型。给定了二次型表达式后，要先合并同类项，再将交叉项系数除以 2 填入矩阵的非对角元。
混淆"二次型相等"与"多项式相等"：两个二次型作为多项式相等，当且仅当它们的对称矩阵相等；但两个多项式相等要求更严格（项完全相同）。
代入定理的应用范围：代入定理要求目标环 \(R\) 是交换环且有单位元，条件缺一不可。
主对角元与交叉项系数的关系：\(a_{ii}\) 直接是 \(x_i^2\) 的系数，而 \(a_{ij}\)（\(i\neq j\)）是 \(x_ix_j\) 合并后系数的一半，容易搞反。

✎自测与作业

写出二次型 \(f=3x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_3+5x_2^2+6x_2x_3+x_3^2\) 的对称矩阵 \(A\)。
验证：对任意对称矩阵 \(A\)，矩阵 \(\frac{A+A^T}{2}=A\)，说明对称矩阵的自对称性。
（计算）设 \(f(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2\)，取 \(x_1=y_1+y_2,\;x_2=y_2\)，用代入定理计算 \(f\) 在新变量下的表达式，并验证结果仍为二次型。
（思考）通用性质中，如果 \(R\) 不是交换环，定理还成立吗？如果不成立，哪里会出问题？
（选做）设 \(F=\mathbb{R}\)，证明：\(\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\) 中任一等次齐次多项式都可以唯一地写成对称矩阵形式 \(X^TAX\)。

下一集预告第 P147 集 · n元多项式三：**非退化线性替换**与二次型的等价——这是化二次型为标准形的理论基础。