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◎学习目标
- 理解并掌握行列式按一行展开定理：\(\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}\)，即第 \(i\) 行元素与其对应代数余子式乘积之和等于整个行列式；
- 掌握行列式按一列展开定理：\(\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}\)，并利用转置的思想把“按列展开”归约到“按行展开”；
- 理解两个“换行 / 换列”性质：第 \(i\) 行元素与第 \(k\) 行的代数余子式乘积之和，当 \(i \neq k\) 时等于 0；对列有类似结论；
- 会用“把某一行（列）化出很多 0，再按该行（列）展开”的简化计算法来算 n 阶行列式；
- 通过具体计算一个三阶范德蒙德型行列式，认识著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式及其公式 \(\prod_{1 \le i < j \le n}(x_j - x_i)\)。
1按一行展开定理的证明 ⏱ 00:02
本集开头紧接上一集（第 P14 集“代数余子式”）的推导。回顾：\(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)，其中 \(M_{ij}\) 是划去第 \(i\) 行第 \(j\) 列后剩下的 \((n-1)\) 阶余子式。本集的核心定理是：
证明思路（把 \(\det A\) 中与第 \(i\) 行相关的项分组）
按行列式的定义，\(\det A\) 是“不同行不同列取 \(n\) 个元素乘积”的带符号代数和。固定行指标 \(i\) 不变、列指标取遍所有 \(n!\) 排列时，把其中属于第 \(i\) 行（即含因子 \(a_{i\sigma(i)}\)）的项抽出来：每一项都可写成 \(a_{i\sigma(i)}\) 乘以“去掉第 \(i\) 行第 \(\sigma(i)\) 列后剩下的 \((n-1)\) 阶项”。⏱ 00:45
对固定的列指标 \(j\)，剩下的 \((n-1)\) 阶结构（行指标取 \(1,2,\dots,i-1,i+1,\dots,n\)，列指标取除了 \(j\) 之外的 \(n-1\) 个）恰好构成余子式 \(M_{ij}\) 的展开；而 \((-1)^{i+j}M_{ij}\) 就是代数余子式 \(A_{ij}\)。⏱ 01:21 把所有 \(j\) 的项合起来，就得到右端 \(\sum_j a_{ij} A_{ij}\)，证毕。
丘老师在课堂上说：“我在这里改进了我教材上，起码少写了一行……我讲课不断改进我自己教材上，最好是听我现讲的东西，比我教材肯定有改进。”⏱ 02:31
2按一列展开：用转置证明 ⏱ 03:13
为什么成立：利用 \(\det A = \det A^{T}\)
对 \(A^{T}\) 按“第 \(j\) 行”展开（因为 \(A^{T}\) 的第 \(j\) 行就是 \(A\) 的第 \(j\) 列）。注意 \(A^{T}\) 的第 \(j\) 行第 1 列元素是 \(a_{1j}\)（即 \(A\) 的第 \(1\) 行第 \(j\) 列元素）。⏱ 05:09
\(A^{T}\) 的余子式等于 \(A\) 的对应余子式的转置，故行列式值相等：\((-1)^{j+i}M^{T}_{ji} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)。⏱ 07:05 于是 \(A^{T}\) 第 \(j\) 行元素与其代数余子式的乘积之和，正好等于 \(A\) 的第 \(j\) 列元素与其代数余子式的乘积之和，即 \(\det A\)。证毕。
3换行 / 换列展开（性质 3、4） ⏱ 09:42
把“自己乘自己”的展开换掉：让第 \(i\) 行的元素去乘第 \(k\) 行（\(k\neq i\)）的代数余子式。
证明思路：构造“两行相同”的行列式
构造一个新的行列式 \(A^{*}\)：它与 \(A\) 完全相同，只把第 \(k\) 行也换成第 \(i\) 行的元素 \(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}\)。这样 \(A^{*}\) 有两行完全相同，故 \(\det A^{*}=0\)（两行相同行列式为 0，性质 5）。⏱ 10:50
同时，\(A^{*}\) 按第 \(k\) 行展开，其元素 \(a_{kj}\)（现等于 \(a_{ij}\)）的代数余子式仍等于 \(A\) 中对应位置 \(a_{kj}\) 的代数余子式（因为余子式只与“划掉的行和列”有关，与该行本身的数值无关）。⏱ 12:20
故 \(\det A^{*} = \sum_j a_{ij} A_{kj} = 0\)，性质 3 得证。对列同理（换列后两列相同）。
4计算实例：把行列式“化零”再展开 ⏱ 16:09
本集算了一个典型的三阶行列式，第一行全 1，第二行是一组数，第三行是平方：
计算思路：先用“某一行（列）的倍数加到另一行（列）”把某一列化出很多 0，再按该列展开。这是本集反复强调的实用方法。⏱ 17:00
完整计算过程
第一步：用第二行消第三行的 \(x_1\) 项。把“第二行乘以 \(-x_1\)”加到第三行：
第二步：再用第一行消第二行的 \(x_1\)。把“第一行乘以 \(-x_1\)”加到第二行：
第三步：按第一列展开（只有一个非零元 1）：
第四步：二阶行列式 \(\begin{vmatrix}1&1\\x_2&x_3\end{vmatrix}=x_3-x_2\)，于是
5范德蒙德（Vandermonde）行列式 ⏱ 20:01
把上例推广到 \(n\) 阶：第一行全 1，第二行是一组数 \(x_1,\dots,x_n\)，第三行是平方……第 \(n\) 行是 \((n-1)\) 次方：
证明思路：数学归纳法
基础：\(n=2\) 时 \(V_2 = x_2-x_1\)，显然成立。⏱ 23:16
归纳步：假设 \(n-1\) 阶成立，证 \(n\) 阶。关键仍是把第一列下方元素消成 0（按第一列展开降阶）：把“第 \(n\) 行的 \(-x_n\) 倍加到第 \(n-1\) 行……”逐步从下往上消；把“第 \(n\) 行的 \(-x_1\) 倍加到第 \(n-1\) 行、第 \(n-2\) 行……”全部消掉。这样第一列除第一行外全为 0，按第一列展开提出因子 \(\prod_{i=1}^{n-1}(x_n-x_i)\)，剩下的正是 \(n-1\) 阶范德蒙德行列式，由归纳假设得证。⏱ 23:52
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆余子式 \(M_{ij}\) 与代数余子式 \(A_{ij}\)：\(M_{ij}\) 是划去第 \(i\) 行第 \(j\) 列后的 \((n-1)\) 阶行列式（没有符号），\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。展开公式里必须用代数余子式 \(A_{ij}\)。
- 展开式里的余子式“与所乘的行无关”：性质 3 中，\(a_{ij}\) 乘的是 \(A_{kj}\)（第 \(k\) 行的代数余子式），但 \(A_{kj}\) 只取决于“划掉第 \(k\) 行第 \(j\) 列”，与第 \(i\) 行的数值无关——这是证明“换行 = 0”的关键，不要想当然。
- “换行 / 换列 = 0”只在 \(i\neq k\) 时成立；\(i=k\) 时等于 \(\det A\)。写通式要用克罗内克 \(\delta_{ik}\)。
- 范德蒙德行列式的顺序：公式是 \(x_j-x_i\)（\(j>i\)，大减小）。若行按 \(x_1^{n-1},\dots,x_1\)（降幂）排，或列顺序颠倒，符号可能变，要按“前一行减后一行”的约定核对。
- “化零”时只用行 / 列的倍数加法：加的是“同一行的倍数加到另一行”，不能把某行乘以 0 再相加等非法操作；倍数加法（性质 7）不改变行列式值，而互换两行反号、某行乘非零数 \(k\) 使行列式乘 \(k\)。
✎自测与作业
- 对三阶矩阵 \(A=\begin{pmatrix} 2&3&1\\4&0&2\\1&5&3\end{pmatrix}\)，分别按第一行、第二列展开计算 \(\det A\)，并验证结果一致。
- 验证性质 3：对上述 \(A\)，计算 \(\sum_j a_{1j}A_{2j}\)（第一行元素与第二行代数余子式的乘积之和），说明它应等于 0，并动手算出结果核对。
- 计算四阶行列式 \(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}\)（提示：这是 \(x_i=1,2,3,4\) 的范德蒙德行列式，先用归纳公式 \(V_4=\prod_{i
- 用“某列倍数加法化零”的方法计算 \(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}\)，得到 \((b-a)(c-a)(c-b)\)。
- （思考）为什么“把某行（列）的元素与另一行（列）的代数余子式相乘再求和”会等于 0？从“构造两行相同的行列式”角度给出完整证明（参照本笔记 s3 折叠证明）。
- （选做）用克莱姆法则解方程组 \(\begin{cases}2x+y=3\\x-3y=5\end{cases}\)：先算系数行列式 \(D\)，再把第 2 列换成常数项得 \(D_2\)，求出 \(y=D_2/D\)；同理求 \(x\)。（本集为下一集 P16 Cramer 法则做铺垫。）