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◎学习目标
- 回顾实对称矩阵正定性的定义，并掌握三个常用的等价判定条件；
- 理解顺序主子式（leading principal minors）的概念，掌握用顺序主子式判定正定矩阵的方法；
- 理解半正定、负定、半负定、不定二次型/矩阵的分类及其几何意义；
- 对本学期 151 集课程内容进行系统性回顾，建立完整的知识框架。
1正定矩阵回顾与等价条件 ⏱ 00:01
本节从上次课（第六章内积空间开始）回顾正定矩阵的定义，并给出若干等价条件，为后面的顺序主子式判定做铺垫。
定义 · 正定矩阵
设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵。若对一切 \(\alpha \in \mathbb{R}^n\) 且 \(\alpha \neq 0\)，都有
注：这等价于二次型 \(x^{T}Ax\) 为正定二次型，其规范型为 \(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2\)。⏱ 00:41
\[ \alpha^{T} A \alpha > 0, \]
则称 \(A\) 为正定矩阵。
注：这等价于二次型 \(x^{T}Ax\) 为正定二次型，其规范型为 \(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2\)。⏱ 00:41
定理 · 正定矩阵的三个等价条件
设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，以下三者等价：
- 合同于单位矩阵：\(A\) 与 \(I_n\) 合同，即存在可逆矩阵 \(P\)，使得 \(A = P^T I_n P = P^T P\)；
- 合同标准型主对角元全大于 0：\(A\) 的任意合同标准型（对角矩阵）的主对角元全大于 0；
- 所有特征值全大于 0：\(A\) 的全部（实）特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) 都满足 \(\lambda_i > 0\)。⏱ 04:48
为什么三个条件等价？（逻辑推导链）
(1) → (2)：正定二次型的规范型是 \(y_1^2 + \cdots + y_n^2\)，其矩阵为 \(I_n\)。规范型与原二次型等价（从而合同），故 \(A\) 合同于 \(I_n\)。再由惯性定理，任何合同标准型的主对角元符号与规范型一致，即全为正。⏱ 02:33
(2) → (3)：实对称矩阵必正交相似于对角矩阵（谱定理），正交矩阵既是相似变换又是合同变换。因此 \(A\) 的合同标准型的主对角元就是其特征值，全大于 0。⏱ 04:55
(3) → (1)：由谱定理，\(A = Q^T \Lambda Q\)，其中 \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)，\(\lambda_i > 0\)。令 \(D = \text{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})\)，则 \(\Lambda = D^2\)，故 \(A = (Q^T D)(DQ) = (DQ)^T(DQ)\)，即 \(A\) 合同于 \(I_n\)。
计算上的注意点
虽然这三个条件理论漂亮，但实际验证时各有困难：⏱ 03:31
- 验证合同于 \(I_n\)：需要找到可逆 \(P\)，计算量大；
- 验证所有特征值 > 0：对高维矩阵求特征多项式的根很困难（高次方程无求根公式）；
- 因此需要更易用的判定方法——这就是下面的顺序主子式定理。
2顺序主子式判定定理（Hurwitz 定理） ⏱ 06:58
本节是本集的核心定理，给出了一个便于实际操作的正定矩阵判定方法。
定义 · 顺序主子式
设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(n\) 阶方阵。定义它的第 \(k\) 阶顺序主子式为：
\[ \Delta_k = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}, \qquad k = 1, 2, \dots, n. \]
即由前 \(k\) 行和前 \(k\) 列交叉位置上的元素构成的 \(k\) 阶子式（左上角 \(k \times k\) 子块）。⏱ 09:27
定理 · 顺序主子式判定定理（Hurwitz 定理）
设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，则 \(A\) 是正定矩阵当且仅当其所有顺序主子式全大于零：
\[ \Delta_1 > 0,\quad \Delta_2 > 0,\quad \cdots,\quad \Delta_n > 0. \]
注：教材参见丘维声《高等教育》上册，第 341–342 页。⏱ 11:39
证明思路：配方法（平方和配方）
对任意 \(n\) 元实二次型 \(f(x) = x^T A x\)，反复使用配方法（completing the square），可以将其化为标准型（平方和形式）。具体过程如下：
第一步：若 \(a_{11} \neq 0\)，将含有 \(x_1\) 的所有项集中，配方成 \(\frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + \cdots)^2\)，再减去多余部分，得到一个只含 \(x_2, \dots, x_n\) 的二次型 \(f_1\)。
第二步：对 \(f_1\) 继续配方，依次消去 \(x_2, x_3, \dots\)，最终得到：
\[ f(x) = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2, \]
其中 \(y_i\) 是 \(x_1, \dots, x_i\) 的线性组合，\(d_i \neq 0\)。⏱ 12:03
关键结论：可以证明 \(d_1 d_2 \cdots d_k = \dfrac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}\)（约定 \(\Delta_0 = 1\)），于是：
- \(A\) 正定 \(\iff\) 所有 \(d_i > 0 \iff\) 所有 \(\Delta_k > 0\)（\(k=1,\dots,n\)）。
完整证明细节请参阅教材第 341–342 页。⏱ 11:47
示例说明
对于 \(n=3\) 的实对称矩阵 \(A\)，正定的充要条件是：
\[ \Delta_1 = a_{11} > 0, \qquad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \qquad \Delta_3 = \det A > 0. \]
只需依次计算三个行列式，全部大于 0 即正定，远比求特征值简便得多。⏱ 13:00
老师提示
由于今天下午有部分同学有课（一点半），证明细节请同学们回去看书。教材已写得很清楚，你们能力都很强，看懂没有问题。⏱ 11:12
3半正定、负定、半负定、不定 ⏱ 13:23
正定只是二次型的一种类型。下面系统介绍其他类型。
| 名称 | 定义条件 | 二次型取值范围 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 正定 | \(\forall\, \alpha \neq 0:\; \alpha^T A \alpha > 0\) | 严格大于 0 | 正定矩阵 |
| 半正定 | \(\forall\, \alpha:\; \alpha^T A \alpha \geq 0\) | 大于等于 0（可取 0） | 允许非零向量使之为 0 |
| 负定 | \(\forall\, \alpha \neq 0:\; \alpha^T A \alpha < 0\) | 严格小于 0 | \(A\) 负定 \(\iff\) \(-A\) 正定 |
| 半负定 | \(\forall\, \alpha:\; \alpha^T A \alpha \leq 0\) | 小于等于 0（可取 0） | 允许非零向量使之为 0 |
| 不定 | 既不正定也不负定 | 有正有负 | 存在 \(\alpha_1, \alpha_2 \neq 0\) 使值异号 |
各类型与合同标准型的关系
设实二次型经非退化线性替换化为标准型 \(d_1 y_1^2 + \cdots + d_n y_n^2\)，则：
- 正定：全部 \(d_i > 0\)（正惯性指数 \(= n\)）；
- 半正定：全部 \(d_i \geq 0\)，且至少一个 \(d_i = 0\)（正惯性指数 \(= r < n\)）；
- 负定：全部 \(d_i < 0\)（负惯性指数 \(= n\)）；
- 半负定：全部 \(d_i \leq 0\)，且至少一个 \(d_i = 0\)；
- 不定：\(d_i\) 中既有正数又有负数（正、负惯性指数均不为 0）。⏱ 15:53
应用背景
正定、负定、不定二次型在多元函数极值的判定中有重要应用（海森矩阵的符号判别法）。这部分内容将在后续数学分析课程中学习。⏱ 14:52
4全课程系统性回顾 ⏱ 16:22
本学期我们将丘维声教授的《高等代数》上下两册整合为 151 集内容，主线清晰。下面按章节梳理整门课的逻辑结构。
点击展开全课程逻辑框架
主线：研究线性空间和线性映射（包括线性变换和线性函数）。⏱ 16:51
为什么研究高维线性空间？
直观上我们从 3 维空间（物理空间）、2 维平面、1 维直线出发，但为什么要研究 5 维、6 维乃至更高维的空间？⏱ 17:22
根本动力之一来自线性方程组的研究：直接从系数判断方程组是否有解，需要研究高维线性空间。这是线性空间概念的直觉来源。
课程结构（9 章）：
| 章节 | 主题 | 核心内容 |
|---|---|---|
| 第 1–3 章 | 行列式与线性方程组 | 行列式定义与性质、克莱姆法则、线性方程组解的理论（基础） |
| 第 3 章 | 线性空间 | \(n\) 维线性空间的定义、子空间、基与维数、坐标 |
| 第 4 章 | 矩阵运算 | 矩阵加法、乘法、逆、分块矩阵；线性变换与矩阵的对应关系 |
| 第 5 章 | 一元多项式环 | 多项式运算、整除性、唯一分解、最大公因式——为后续最小多项式做准备 |
| 第 5–6 章 | 线性映射与线性变换 | 核与像、秩-零化度定理、特征值与特征向量、若尔当标准型 |
| 第 7 章 | 双线性函数 | 双线性函数的定义与矩阵表示、对称/反对称双线性函数 |
| 第 8 章 | 内积空间 | 内积、正交、正交基、Gram-Schmidt 正交化、正交变换 |
| 第 9 章 | 二次型与正定矩阵 | 二次型的标准型、合同分类、正定性判定、实对称矩阵的对角化 |
内在逻辑链：
- 线性方程组是引入高维线性空间的动机（第 1–3 章）；
- 有了线性空间，研究线性映射（第 4–5 章），其在选定基下对应矩阵，线性变换的加法和乘法分别对应矩阵的加法和乘法；
- 研究线性变换的最简形式需要一元多项式理论（第 5 章），特别是极小多项式和不变因子；
- 进一步需要度量概念（内积），为此引入双线性函数（第 7 章）；
- 具有度量结构的线性空间即内积空间（第 8 章），研究与度量相容的线性变换（正交变换、自伴变换、酉变换等）；
- 从对称双线性函数引出二次型（第 9 章），研究其标准型、惯性定理及正定性。
5知识框架总图 ⏱ 22:31
全课程知识结构全景
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 高等代数 · 全课程知识框架 │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ 主线：线性空间 + 线性映射（含线性变换、线性函数） │ │ │ │ 【第1-3章】行列式 & 线性方程组 │ │ 行列式定义（排列观点）→ 性质（行/列变换）→ 克莱姆法则 │ │ 线性方程组：有解判定 → 解的结构（基础解系） │ │ │ │ 【第3章】线性空间 │ │ 抽象定义 → 子空间 → 基与维数 → 坐标 → 维数公式 │ │ │ │ 【第4章】矩阵运算 │ │ 矩阵加法/数乘/乘法 → 逆矩阵 → 分块矩阵 │ │ 线性变换 ↔ 矩阵的对应 → 复合对应乘法 │ │ │ │ 【第5章】一元多项式环 │ │ 多项式运算 → 整除理论 → 唯一分解 → 最大公因式 │ │ （为极小多项式、若尔当标准型做准备） │ │ │ │ 【第5-6章】线性映射与线性变换 │ │ 核与像 → 秩-零化度定理 │ │ 特征值/特征向量 → 可对角化条件 │ │ 极小多项式 → 若尔当标准型 │ │ │ │ 【第7章】双线性函数 │ │ 定义与矩阵表示 → 对称/反对称双线性函数 │ │ 度量矩阵（与矩阵的一一对应） │ │ │ │ 【第8章】内积空间 │ │ 内积 → 长度/夹角 → 正交 → Gram-Schmidt 正交化 │ │ 正交变换 → 自伴变换（实对称矩阵的谱定理） │ │ 酉变换、埃尔米特变换 │ │ │ │ 【第9章】二次型 & 正定矩阵（本章完结） │ │ 二次型 ↔ 对称双线性函数 │ │ 标准型与规范型 → 惯性定理 │ │ 正定矩阵定义 → 等价条件（合同于 I / 特征值>0） │ │ 顺序主子式判定定理（Hurwitz 定理） │ │ 半正定 / 负定 / 半负定 / 不定 分类 │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘
★重点回顾
1
正定矩阵定义：\(A\) 为实对称矩阵，\(\forall\,\alpha \neq 0:\; \alpha^T A \alpha > 0\)。
2
三个等价条件：① \(A\) 合同于 \(I_n\)；② 任意合同标准型主对角元全 \(> 0\)；③ 全部特征值 \(> 0\)。
3
顺序主子式判定定理（Hurwitz 定理）：\(A\) 正定 \(\iff \Delta_1 > 0,\; \Delta_2 > 0,\; \cdots,\; \Delta_n > 0\)。这是最实用的判定方法。
4
二次型分类：正定（严格>0）、半正定（≥0）、负定（<0）、半负定（≤0）、不定（有正有负）。
5
全课程主线：以线性空间和线性映射为主线，行列式和线性方程组为动机起点，多项式理论为工具，双线性函数和内积空间为度量结构，二次型为正定理论的归宿。
⚠易错点提醒
常见错误
- 混淆"顺序主子式"与"主子式"：顺序主子式特指左上角 \(k \times k\) 子块（行标列标均为 \(1,2,\dots,k\)）；而一般主子式可以是任意选定的相同行标和列标。正定性只需检查顺序主子式。
- 正定矩阵必须是实对称的：非对称矩阵不能讨论正定性（正定性定义要求二次型，而二次型对应的矩阵自然对称）。
- \(\Delta_n = \det A > 0\) 单独不够：必须所有顺序主子式 \(\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n\) 全大于 0。仅 \(\det A > 0\) 不能推出正定（例如 \(\text{diag}(-1,-1)\) 的行列式为 1 但不正定）。
- 负定矩阵的判定：\(A\) 负定 \(\iff -A\) 正定 \(\iff\) \(\Delta_1 < 0,\; \Delta_2 > 0,\; \Delta_3 < 0,\; \cdots\)（符号交替）。
- 半正定 ≠ 正定：半正定允许存在非零向量使二次型为 0（即存在零特征值），正定不允许。
✎思考与总结
- 验证顺序主子式判定：对 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，验证所有顺序主子式 \(> 0\)，从而判断 \(A\) 正定，并用特征值方法核实。
- 构造反例：找一个 \(2\) 阶实对称矩阵，其行列式 \(> 0\) 但不是正定矩阵，说明为何仅 \(\det A > 0\) 不足。
- 负定判定：利用负定 \(\iff -A\) 正定，导出负定矩阵的顺序主子式判定条件（符号交替），并用它判断 \(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) 是否负定。
- 不定矩阵：判断 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) 的类型（正定/负定/半定/不定），并求出其特征值验证结论。
- 课程回顾：尝试用自己的话，概述本学期高等代数 151 集课程的主要脉络，说明为什么"线性方程组"会引向"线性空间"，"线性映射"又为何需要"多项式理论"作为工具。
- （选做）拓展阅读：查阅教材第 341–342 页，完成顺序主子式判定定理的完整证明，理解配方法如何导出各阶顺序主子式的关系。
🎓 课程寄语
本集是本学期高等代数课程的第 151 集，也是最后一集。我们系统回顾了从行列式到正定矩阵的完整理论链条，并将整门课的知识框架进行了梳理。希望同学们通过本次回顾，能建立起对高等代数的整体认识，为后续课程（如泛函分析、微分方程、数值分析等）打下坚实基础。⏱ 22:31