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◎学习目标
- 理解并掌握定理一（唯一解充要条件）：在 \(K\) 上的 \(n\) 元 \(n\) 个方程的线性方程组（方程个数等于未知量个数），有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式 \(D\neq 0\)；
- 掌握用增广矩阵 \(\rightarrow\) 初等行变换 \(\rightarrow\) 阶梯型矩阵的判断流程：无解（出现“\(0=\) 非零数”）与无穷多解时都有 \(D=0\)，唯一解时 \(D\neq 0\)；
- 推出并记住齐次方程组（右端全为 0）的判定：有非零解 \(\Leftrightarrow\) 系数行列式 \(D=0\)；只有零解 \(\Leftrightarrow D\neq 0\)；
- 认识Cramer 法则：把系数矩阵第 \(j\) 列换成常数项向量得到 \(D_j\)；当 \(D\neq 0\) 时唯一解为 \(x_j=D_j/D\)。丘老师说明本集只讲“第一部分”（\(D\neq 0\Rightarrow\) 有解），第二部分的公式留到第四章矩阵运算后再给出；
- 理解2 阶行列式的几何意义：由两个二维向量 \(\mathbf{A}=(a_1,a_2),\mathbf{B}=(b_1,b_2)\) 张成的平行四边形的定向面积（有正有负），其绝对值即面积。
1定理一：\(n\) 元 \(n\) 个方程有唯一解 \(\Leftrightarrow D\neq 0\) ⏱ 00:01
本集开头紧接上一集（第 P15 集“行列式展开”）的知识体系：我们已经有了 \(n\) 阶行列式的定义、性质、按一行一列展开。⏱ 00:03 现在可以回答一个之前“猜想过但没证明”的问题：
证明思路：用“增广矩阵 → 阶梯型”分三种情形讨论，再回到系数矩阵
出发点：判断线性方程组有多少解，目前靠的是把增广矩阵 \(\widetilde A\) 经初等行变化化成阶梯型矩阵 \(G\)。⏱ 00:11 由于增广矩阵只是系数矩阵 \(A\) 多了最后一列，同样的初等行变化会把 \(A\) 也化成阶梯型 \(\bar G\)（去末列即得）。⏱ 00:51
情形 A · 无解：阶梯型必出现“\(0=\) 非零数”这样的方程，于是 \(\bar G\) 中有一行前面全 0、末位非零。这说明 \(\bar G\) 划去最后一列的系数阶梯型（即 \(A\) 的阶梯型）有一个全 0 行；含 0 行的行列式必为 0（定义里每一项都取该行某元素，乘积为 0）。⏱ 02:18 故无解 \(\Rightarrow D=0\)。
情形 B · 有无穷多解：非零行数目 \(R<n\)（若 \(R=n\) 就唯一解）。\(n\) 个方程对应 \(n\) 行，非零行不到 \(n\) 行，故系数阶梯型必有全 0 行，同理 \(D=0\)。⏱ 03:21 故无穷多解 \(\Rightarrow D=0\)。
情形 C · 唯一解：\(R=n\)，每一行都是非零行。因有解不会出现“\(0=\)非零数”，故 \(\bar G\) 没有那种“前面全 0 只剩末位”的非零行，从而 \(A\) 的阶梯型也有 \(n\) 个非零行、每个非零行有一个主元，共 \(n\) 个主元。阶梯型主元列指标随行指标递增，于是 \(n\) 个主元落在主对角线位置 \(c_{11},c_{22},\dots,c_{nn}\)，构成一个上三角形。上三角形行列式 = 主对角元之积 \(c_{11}c_{22}\cdots c_{nn}\)，而每个主元 \(c_{ii}\neq 0\)，故乘积 \(\neq 0\)。⏱ 04:55 即唯一解 \(\Rightarrow D\neq 0\)。
回到系数矩阵 \(A\)：\(A\) 经初等行变化化成阶梯型，行列式只会“相等 / 反号 / 乘一个非零数 \(L\)”（对应行列式性质 7、4、2）。⏱ 07:53 所以“阶梯型行列式 \(\neq 0\)”与“\(D=\det A\neq 0\)”等价；反过来，若 \(D\neq 0\)，则既不可能无解（那 \(D=0\)），也不可能无穷多解（那 \(D=0\)），必为唯一解。⏱ 07:02
2齐次方程组：有非零解 \(\Leftrightarrow D=0\) ⏱ 08:40
由定理一立刻得到一个重要推论（针对齐次方程组，即右端常数全为 0 的方程组）：
3Cramer 法则（克莱姆法则）⏱ 09:52
丘老师把定理一拆开对应到Cramer 法则的两部分：
- 第一句（充分性部分）：若 \(D\neq 0\)，则方程组有唯一解。这正是定理一的充分性方向，也是“高代里大家常说的克莱姆法则的第一部分”。⏱ 09:52
- 第二句（必要性 + 公式部分）：\(D=0\) 时（有非零解 / 无穷多解）对应情形，以及把唯一解写成 \(x_j=D_j/D\) 的公式。丘老师说明：公式可用“行列式按一行一列展开定理”推出，但今年要建立“矩阵运算”的新讲课体系，故把公式留到第四章讲了矩阵的运算之后再轻松给出。⏱ 10:48
Cramer 法则的核心思路（本集要记的“第一句” + 公式形式）
怎么得到 \(D_j\)：设方程组为 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)，\(\mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n)^{T}\)。把系数矩阵 \(A\) 的第 \(j\) 列换成常数项向量 \(\mathbf{b}\)，记所得新矩阵为 \(A^{(j)}\)，其行列式记为 \(D_j=\det A^{(j)}\)。系数行列式 \(D=\det A\)。
法则（留待第四章的完整版本）：若 \(D\neq 0\)，则方程组有唯一解，且
本集范围：本集（第一章第五节）只建立“\(D\neq 0\Rightarrow\) 有唯一解”这第一句；公式 \(x_j=D_j/D\) 的推导放在第四章矩阵运算之后。下面配一道完整计算的例题把“\(D, D_1, D_2\)”的形式练熟。
42 阶行列式的几何意义 ⏱ 11:15
丘老师接着回答：“行列式是不是只有解方程这一个用处？”答案是否——数学上重要的概念一经提出，用途远超出发点。在几何学里，一个二阶行列式有非常直观的几何意义。⏱ 11:33
定向怎么定？（顺时针 / 逆时针）
两个向量 \(\mathbf{A},\mathbf{B}\) 只要不共线就张成一个平行四边形（共线时面积为 0，行列式也为 0）。⏱ 11:56
定向约定：从 \(\mathbf{A}\) 到 \(\mathbf{B}\) 的旋转方向若为逆时针，规定平行四边形定向面积为正；若为顺时针，规定为负。所以 \(\begin{vmatrix} a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\) 的符号即给出这种定向，其绝对值 \(\lvert a_1b_2-a_2b_1\rvert\) 就是面积（三角形面积是其一半）。⏱ 12:15
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 齐次“非零解”记反：有非零解 \(\Leftrightarrow D=0\)（等于 0），不是“不等于 0”。只有零解才对应 \(D\neq 0\)。丘老师专门强调“这个大家一定要记得很准确”。
- 漏掉前提“\(n\) 元 \(n\) 个方程”：唯一解充要条件与非零解推论都建立在方程个数 = 未知量个数上。方程个数 ≠ 未知量个数时 \(D\) 不是方阵、无从谈起。
- 混淆“系数矩阵 \(A\)”与“增广矩阵 \(\widetilde A\)”的行列式：定理说的是系数矩阵 \(A\)（\(n\times n\)）的行列式；增广矩阵是 \(n\times(n+1)\) 矩形，没有（方阵意义的）行列式。判定“无解”靠阶梯型中“\(0=\) 非零数”。
- 初等行变换对行列式的影响：一行加另一行非零倍数——行列式不变；互换两行——反号；某行乘非零数 \(k\)——乘 \(k\)。所以“\(D\neq 0\)”与“阶梯型行列式 \(\neq 0\)”等价（只差一个非零因子 \(L\)）。
- “上三角主元非零”不能漏：唯一解时 \(n\) 个主元 \(c_{11},\dots,c_{nn}\) 全非零，上三角行列式 = 其对角元之积，故 \(\neq 0\)。若把“主对角元非零”当默认而不验证，上三角结论不成立。
- Cramer 的 \(D_j\) 只换“第 \(j\) 列”：求 \(x_j\) 时是 \(A\) 的第 \(j\) 列被常数项向量整体替换，其余列不动；\(D\) 是原系数行列式，分母始终是 \(D\)。写 \(x_j=D_j/D\) 时分子下标与未知量下标一致。
- 2 阶行列式符号是“有向”面积：不要当成普通面积（非负）。\(a_1b_2-a_2b_1\) 可为负，绝对值才是几何面积；三角形面积 = 平行四边形的一半。
✎自测与作业
- （Cramer 完整计算）用克莱姆法则解三元方程组 \(\begin{cases} x+2y-z=5 \\ 2x-y+3z=-1 \\ x+y+2z=4 \end{cases}\)：先算系数行列式 \(D\)，再依次把第 1、2、3 列换成常数项 \((5,-1,4)^{T}\) 得 \(D_1,D_2,D_3\)，求 \(x=D_1/D,\;y=D_2/D,\;z=D_3/D\)。
\[ D=\begin{vmatrix}1&2&-1\\2&-1&3\\1&1&2\end{vmatrix}=1(-2-3)-2(4-3)+(-1)(2+1)=-5-2-3=-10\neq 0. \] \[ D_1=\begin{vmatrix}5&2&-1\\-1&-1&3\\4&1&2\end{vmatrix}=5(-2-3)-2(-2-12)+(-1)(-1+4)=-25+28-3=0 \;\Rightarrow\; x=0. \] \[ D_2=\begin{vmatrix}1&5&-1\\2&-1&3\\1&4&2\end{vmatrix}=1(-2-12)-5(4-3)+(-1)(8+1)=-14-5-9=-28 \;\Rightarrow\; y=\frac{D_2}{D}=\frac{-28}{-10}=2.8=\frac{14}{5}. \] \[ D_3=\begin{vmatrix}1&2&5\\2&-1&-1\\1&1&4\end{vmatrix}=1(-4+1)-2(8+1)+5(2+1)=-3-18+15=-6 \;\Rightarrow\; z=\frac{D_3}{D}=0.6. \] \[ (x,y,z)=\left(0,\,\tfrac{14}{5},\,\tfrac{3}{5}\right). \]
- （齐次推论）齐次方程组 \(\begin{cases} ax+by=0\\cx+dy=0\end{cases}\) 有非零解的充要条件是系数行列式 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc=0\)，即两系数行（或列）成比例。请据此说明：若 \(ad-bc\neq 0\)，方程组只有零解 \((0,0)\)。
- （定理一检验）判断方程组 \(\begin{cases} x+y+z=1\\2x+3y+4z=2\\4x+7y+9z=5 \end{cases}\) 是否必有唯一解：计算系数行列式 \(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\4&7&9\end{vmatrix}\)（提示：第三行 = 第一行 \(\times\)1 + 第二行 \(\times\)1，故三行线性相关，\(D=0\)），据此说明该方程组不是唯一解（可能是无解或无穷多解），并指出需进一步看增广矩阵阶梯型。
- （初等行变换影响）设 \(A\) 为 \(3\times3\) 方阵。若把 \(A\) 经一次“第 2 行加第 1 行的 3 倍”与一次“第 3 行乘 \(-2\)”得到 \(A'\)，请用行列式性质写出 \(\det A'\) 与 \(\det A\) 的关系（第一次不变、第二次 \(\times(-2)\)，故 \(\det A'=-2\det A\)），并说明由此 \(\det A\neq 0\Leftrightarrow\det A'\neq 0\)。
- （2 阶几何意义）设 \(\mathbf{A}=(1,0),\mathbf{B}=(1,1)\)，计算 \(\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}\)，判断其几何意义（平行四边形面积 1、定向为正），并说明若把 \(\mathbf{B}\) 换成 \((1,-1)\)，行列式变号（定向翻转为负），但面积绝对值仍为 1。
- （选做 · 衔接）按丘老师所说，本集“第一句”是 \(D\neq 0\Rightarrow\) 有唯一解；请用自己的话复述“为什么公式 \(x_j=D_j/D\) 要留到第四章矩阵运算之后才自然给出”（提示：把 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 写成矩阵方程，用 \(A\) 的逆 / 伴随矩阵可一行得出 \(x_j\)，而伴随矩阵依赖矩阵运算。）