高等代数 · 课程学习笔记

第 P19 集 · 线性空间（一）：\(n\) 维向量的运算、集合与映射、线性空间的定义（8 条法则）

Linear Spaces (I): \(n\)-dimensional Vectors, Sets & Mappings, Definition of a Vector Space (8 Axioms)
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P19 / 151 集 核心概念：n 维向量 F^n · 加法 / 数乘 · 笛卡尔积 · 映射（单射/满射/双射）· 线性空间 8 公理
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◎学习目标

  1. 理解从“行列式判 \(n\) 元 \(n\) 方程”走向“方程个数与未知数个数不等”时，需要引入线性空间（向量空间）这一抽象模型，作为后续线性方程组、线性变换理论的基石；
  2. 掌握 \(n\) 维向量 \(F^n\) 的两种运算：分量加法与标量数乘，理解其满足 8 条法则并构成数域 \(F\) 上的线性空间；
  3. 回顾集合与映射语言：定义域、陪域、值域，以及单射、满射、双射的判定与含义；
  4. 理解代数运算（代数运算 / 运算法则）：定义在集合笛卡尔积上、值仍落在该集合内的运算；
  5. 精确背诵并理解线性空间（向量空间）的 8 条公理（4 条加法 + 4 条数乘），以及 \(F^n\) 是数域 \(F\) 上 \(n\) 维向量空间这一基本结论。

0回顾：为什么需要线性空间 ⏱ 00:01

承上启下 前两章我们用行列式解决了“\(n\) 元 \(n\) 个方程”的有唯一解判据（系数行列式 \(\neq 0\)）。但实际常常出现方程个数 \(s\) 与未知数个数 \(n\) 不等（\(s<n\) 或 \(s>n\)）的情形，此时行列式不再直接起作用（长方形矩阵没有行列式，只有子式）。⏱ 01:37

因此老师指出：要彻底解决“\(s\) 个方程 \(n\) 个未知数”的有解性，需要一套比行列式更一般的理论——线性空间。它不仅能解决线性方程组的理论问题，还在微积分（函数空间）、几何（向量）等方面有重大应用。本节开始，课程从“行列式”主线进入“线性空间”新主线。⏱ 02:26

老师提示（章节体系） “第三章（线性空间）是我上册的第三章 + 下册的第八章合起来建立的一个新讲授体系。今天讲的是上册的第三节——线性空间（一）。”⏱ 14:14

1\(n\) 维向量 \(F^n\) 的加法与数乘 ⏱ 04:11

从一个 \(n\) 元线性方程组出发：第 \(i\) 个方程的 \(n\) 个系数 \(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}\) 组成一个有序数组（有序 \(n\) 数组），称为一个\(n\) 维向量，记作 \(\boldsymbol{\alpha}=(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})\)，其中每个 \(a_{ij}\) 称为分量。⏱ 04:39

集合 \(F^n\) 与向量相等 设 \(F\) 是某个数域。把 \(F\) 的所有有序 \(n\) 数组 \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) 组成的集合记为 \(F^n\)。两个向量 \(\boldsymbol{\alpha}=(a_1,\dots,a_n)\)、\(\boldsymbol{\beta}=(b_1,\dots,b_n)\) 相等 \(\Leftrightarrow\) 对应分量全部相等：\(a_j=b_j\)（\(j=1,\dots,n\)）。⏱ 04:53
加法（分量相加） \[ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} =(a_1+b_1,\; a_2+b_2,\; \dots,\; a_n+b_n). \] 两个 \(n\) 维向量相加，即对应分量相加。⏱ 07:30
数乘（标量乘法） 对 \(k\in F\)、\(\boldsymbol{\alpha}\in F^n\)，规定 \[ k\,\boldsymbol{\alpha}=(k a_1,\; k a_2,\; \dots,\; k a_n). \] 一个数 \(k\) 乘一个 \(n\) 维向量，即\(k\) 乘每个分量。这里的加法、数乘正是由矩阵初等行变换（“某行的倍数加到另一行”“某非零数乘某一行”）自然引出的。⏱ 07:02
运算性质（由数运算法则推出）

因为分量是数，数的加法满足交换律、结合律，故 \(F^n\) 的加法也满足交换律与结合律。⏱ 08:29

  • 零向量 \(\mathbf{0}=(0,0,\dots,0)\)：与任意向量相加仍得该向量本身（加法的单位元）；⏱ 09:04
  • 负向量（反向量） \(-\boldsymbol{\alpha}=(-a_1,-a_2,\dots,-a_n)\)：每个分量取相反数，使 \(\boldsymbol{\alpha}+(-\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0}\)。⏱ 09:37

数乘也满足 4 条法则：\(1\cdot\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}\)；\((kl)\boldsymbol{\alpha}=k(l\boldsymbol{\alpha})\)；\((k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}\)；\(k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}\)。⏱ 10:02

基本结论 \(F^n\) 对加法、数乘满足 8 条法则，故 \(F^n\) 是数域 \(F\) 上的一个线性空间，通常称为数域 \(F\) 上的 \(n\) 维向量空间。⏱ 33:21

2集合与映射（定义域 / 陪域 / 值域） ⏱ 15:44

老师用“进教室找座位”的生活例子，把映射的概念讲得非常具体，并引入“定义域”“陪域”“值域”三套术语。

定义 · 映射（函数） 设 \(A\)、\(B\) 是两个非空集合。若存在一种对应法则 \(F\)，使得对 \(A\) 中每一个元素 \(a\)，在 \(B\) 中都有唯一确定的元素 \(b\) 与之对应，则称 \(F\) 是集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的映射（或函数），记作 \(F:A\to B\)，对应元素记作 \(b=F(a)\)。
  • 定义域（domain）：源集合 \(A\)（输入所在集合）；
  • 陪域（codomain）：目标集合 \(B\)，即所有可能像所在的“更大”集合；
  • 值域 / 像集（range / image）：\(F(A)=\{F(a)\mid a\in A\}\subseteq B\)，即 \(A\) 中元素的所有像组成的集合。⏱ 16:51
关于“陪域”命名的老师趣谈 “我查了我们国内的高中教材，都没有给这个集合起名字。一个小孩子生下来不起名字，这个不合适吧……那我就参考 codomain 把它翻译成‘陪域’，这个很形象——你给映射嘛，都没给两个集合，一个定义（域），一个陪它的（域），陪它的‘陪域’。”⏱ 18:29 – 19:33
用“同学坐椅子”刻画映射三要素

集合 \(A\)＝同学们，集合 \(B\)＝教室里所有椅子，法则 \(F\)＝“每个同学坐到唯一一把椅子”。⏱ 16:25

  • 值域 \(F(A)\)：被坐到的那些椅子（可能没坐满）；若每把椅子都坐满同学，则 \(F(A)=B\)，即值域等于陪域；
  • 单射 / 满射 / 双射分别对应：不同同学坐不同椅 / 坐满 / 又坐满又不同（一一对应），详见下一节。

3单射 · 满射 · 双射 ⏱ 20:54

三个关键概念（以 \(F:A\to B\) 记）
概念定义“坐椅子”解释
单射（injective）\(F(a_1)=F(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\)（不同元素像不同）不同同学坐不同椅子
满射（surjective）\(F(A)=B\)（值域＝陪域，每个 \(b\in B\) 都有原像）每把椅子都坐满了
双射（bijective）既是单射又是满射（一一对应）坐满且不同同学坐不同椅子
若 \(F(A)=B\)，则 \(F\) 为满射；若 \(A\) 中不同元素在 \(F\) 下像不同，则 \(F\) 为单射；若 \(F\) 既是单射又是满射（一一对应），则 \(F\) 为双射。⏱ 20:54 – 21:57

4代数运算与笛卡尔积 ⏱ 22:10

笛卡尔积（Cartesian product） 对集合 \(S\)、\(M\)，由 \(S\) 中元素 \(a\) 与 \(M\) 中元素 \(b\) 组成的有序对 \((a,b)\) 的集合记为 \(S\times M\)，称 \(S\) 与 \(M\) 的笛卡尔积（借用笛卡尔直角坐标“横坐标、纵坐标”的有序对思想而来）。⏱ 22:38
代数运算（algebraic operation / 运算法则） 集合 \(S\) 上的一个代数运算，是指从 \(S\times S\) 到 \(S\) 的一个映射：把每个有序对 \((a,b)\in S\times S\) 对应到 \(S\) 中唯一确定的一个元素（如加法把 \((2,3)\) 对应到 \(5\)，乘法把 \((2,3)\) 对应到 \(6\)）。⏱ 24:03
判定要点运算结果必须仍然落回该集合 \(S\) 自身。例如“除法”不是整数集合的代数运算：\(2\div3=\tfrac23\notin\mathbb Z\)，结果“跑出去”了。⏱ 25:07

这个“值仍落回 \(S\)”的要求，是后面线性空间定义中“加法：\(V\times V\to V\)、数乘：\(F\times V\to V\)”的直接来源。⏱ 25:35

5线性空间（向量空间）的 8 条公理 ⏱ 26:20

定义 · 数域 \(F\) 上的线性空间（向量空间） 设 \(V\) 是一个非空集合，\(F\) 是一个数域。若 \(V\) 上定义了两种运算——加法（\(V\times V\to V\)）与数乘（\(F\times V\to V\)）——且满足下列 8 条公理（4 条加法 + 4 条数乘），则 \(V\) 称为数域 \(F\) 上的线性空间（vector space），\(V\) 的元素称为向量。
#公理内容
1加法交换律\(\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V:\ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}\)
2加法结合律\(\forall \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\in V:\ (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})\)
3零元（加法单位元）\(\exists\,\boldsymbol{0}\in V\)，使 \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V:\ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{\alpha}\)（记作 \(V\) 的零元 / 零向量）
4负元（加法逆元）\(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V,\ \exists\boldsymbol{\beta}\in V:\ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}\)，\(\boldsymbol{\beta}\) 称 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的负元（记作 \(-\boldsymbol{\alpha}\)）
5数乘单位元\(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V:\ 1\cdot\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}\)（1 为 \(F\) 中单位元）
6数乘结合律\(\forall k,l\in F,\ \forall\boldsymbol{\alpha}\in V:\ (kl)\boldsymbol{\alpha}=k(l\boldsymbol{\alpha})\)
7数乘对数的分配律\(\forall k,l\in F,\ \forall\boldsymbol{\alpha}\in V:\ (k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}\)
8数乘对向量的分配律\(\forall k\in F,\ \forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V:\ k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}\)
公理的“和谐”理解（老师类比）

老师用“加法”与“数乘”两种运算要“和谐相处、和睦，不能打架”来记忆第 7、8 条：加法与数乘的先后顺序互不影响，先做数乘再做加法、或先做加法再做数乘，结果一致——这两条正是“数乘与加法之间的桥梁”。⏱ 31:21 – 32:20

定义写完后老师强调：“定义很长，但只要从我们刚才那个例子（\(F^n\)）来看，它满足这 8 条法则，所以 \(F^n\) 就是数域 \(F\) 上的一个线性空间。”⏱ 32:48

记法约定 线性空间（vector space）有时也称作向量空间：借用几何术语，把 \(V\) 的元素称为“向量”。看文献时“向量空间＝线性空间”。⏱ 33:49

6几个例子：\(F^n\)、几何向量、函数空间 ⏱ 34:26

例 1 · \(F^n\)（本集核心） \(F^n\)（\(F\) 为某数域，\(n\) 为正整数）对分量加法、数乘满足 8 条公理，是数域 \(F\) 上的 \(n\) 维向量空间。⏱ 34:26
例 2 · 几何向量 平面上 / 空间中，以定点 \(O\) 为起点的所有向量组成的集合，对向量加法（平行四边形法则）与数乘，满足 8 条公理，是实数域 \(\mathbb R\) 上的线性空间（对应“平面的平直 / 空间的平直”）。⏱ 10:46
例 3 · 函数空间（实值函数） 给定非空集合 \(X\)，所有从 \(X\) 到 \(\mathbb R\) 的映射（即 \(X\) 上的实值函数）组成一个集合。定义：函数加法 \((F+G)(x)=F(x)+G(x)\)，数乘 \((kF)(x)=kF(x)\)。该集合对加法、数乘满足 8 条公理，是实数域 \(\mathbb R\) 上的线性空间（函数空间）。这是微积分所处理的函数空间的抽象化。
  • 零元＝零函数 \(0\)（把每个 \(x\) 映到实数 0）；⏱ 13:50
  • 负元＝负函数 \(-F\)（把每个 \(x\) 映到 \(-F(x)\)）；
  • 加法、数乘 4 条法则由实数运算直接验证。
函数空间的现代记号 对 \(X\to\mathbb R\) 的映射集合，通常记作 \({}^{X}\!\mathbb R\) 或 \(\mathbb R^{X}\)：右上角写“定义域 \(X\)”，底（左下）写“陪域 \(\mathbb R\)”——映射有两个集合（定义域、陪域），右上角是定义域，底数是陪域。⏱ 15:51 – 16:21
抽象模型的价值 “我们搞数学的，把这些例子抓住主要特征（两种运算 + 8 条法则），抽象出一个模型——线性空间。这个模型研究清楚了，就可以适用于任何一个符合这个模型的、既有代数又有几何的具体对象。”⏱ 12:10 – 13:15

★重点回顾

1
\(n\) 维向量 \(F^n\)：\(n\) 个有序数组；分量加法、标量数乘；记 \(F^n\)。它是数域 \(F\) 上的 \(n\) 维向量空间。
2
集合 / 映射三术语：定义域 \(A\)（源）、陪域 \(B\)（codomain，目标全集）、值域 / 像集 \(F(A)\)（像的集合，\(\subseteq B\)）。单射（不同元素像不同）、满射（\(F(A)=B\)）、双射（一一对应）。
3
笛卡尔积 \(S\times M\)：有序对集合；代数运算＝“从 \(S\times S\) 到 \(S\) 的映射”，运算结果必须落回 \(S\) 自身（故除法不是 \(\mathbb Z\) 的代数运算）。
4
线性空间 8 公理：加法 4 条（交换、结合、零元、负元）＋ 数乘 4 条（\(1\cdot\alpha=\alpha\)、\((kl)\alpha=k(l\alpha)\)、\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)、\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)）。
5
模型思想：抽象出“两种运算 + 8 法则”这一主要特征，得到一个可套用到 \(F^n\)、几何向量、函数空间等一切实例的通用模型——线性空间。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆陪域 \(B\) 与值域 \(F(A)\)：陪域是“像可能落入的全集”，值域是“实际被取到的像的集合”，恒有 \(F(A)\subseteq B\)。只有满射时 \(F(A)=B\)。“值域等于陪域”是满射的等价条件，不要当成恒等。
  2. 单射 / 满射 / 双射判反：单射＝“不同元素像不同”（反证：\(F(a_1)=F(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\)）；满射＝“每个陪域元素都有原像”；双射＝二者兼得。把“满射”误记成“元素不同像不同”是高频错。
  3. 把“任意映射”当成“代数运算”：代数运算必须“值仍落回同一集合 \(S\)”（即 \(S\times S\to S\)）。例如整数集合上的“减法”仍是整数，故可作运算；但“除法”结果可出 \(\mathbb Z\)，故不是 \(\mathbb Z\) 的代数运算。写公理前先确认运算封闭。
  4. 线性空间必须“非空集合 + 数域 \(F\)”：\(V\) 非空；数乘中的数取自某个固定数域 \(F\)。同一集合配不同数域可得到不同线性空间结构（如 \(\mathbb R^2\) 可作为 \(\mathbb R\) 上空间，也可作为 \(\mathbb C\) 上空间）。
  5. “零元”与“负元”要存在且（唯一性待下一集证）：定义第 3、4 条只要求“存在”零元 \(\boldsymbol{0}\) 与每个 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的负元 \(-\boldsymbol{\alpha}\)；其唯一性要在下一集（P20 性质 1、2）证明，不要在本集就断言唯一。
  6. \(F^n\) 中“向量”与“元素”术语：在抽象线性空间里 \(V\) 的元素统称“向量”；在 \(F^n\) 的具体情形里，每个有序数组也称作“\(n\) 维向量”。不要把“坐标向量”与“抽象向量”的记号混用。

✎自测与作业

  1. 设 \(A=\{1,2,3,4,5\}\)、\(B=\{0,1,2\}\)，映射 \(F:A\to B\)，\(F(n)=n\bmod 3\)（余数）。判断 \(F\) 是否为单射、满射、双射，并求出值域 \(F(A)\)。
  2. 验证 \(F^2\)（\(F\) 为实数域 \(\mathbb R\)）对加法 \((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)、数乘 \(k(x,y)=(kx,ky)\) 满足 8 条公理，从而 \(\mathbb R^2\) 是 \(\mathbb R\) 上的线性空间；写出其零元 \(\mathbf{0}\) 与向量 \((a,b)\) 的负元。
  3. 说明为什么“整数集合 \(\mathbb Z\) 上的除法”不是 \(\mathbb Z\) 的代数运算，而“减法”是；并用笛卡尔积 \(\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z\) 的映射语言表述加法与乘法。
  4. 设 \(X=\{a,b\}\)。写出 \(X\) 到 \(\mathbb R\) 的全部 4 个实值函数（即 \(\mathbb R^X\) 中形如 \(f:\{a,b\}\to\mathbb R\) 的映射），并验证其中“零函数”是该函数空间（实值函数集合）的加法单位元。
  5. （判断）集合 \(V=\mathbb R^2\)，定义运算 \(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}\)（即加法恒等）、\(k\boldsymbol{\alpha}=k\cdot\boldsymbol{\alpha}\)（普通数乘）。判断 \(V\) 对这两运算是否构成 \(\mathbb R\) 上的线性空间，指出 8 条公理中哪条被破坏（提示：考察加法交换律与零元）。
  6. （选做）设 \(M\) 为“从 \(\mathbb N\) 到 \(\mathbb R\) 的函数”集合，对函数定义加法 \((F+G)(n)=F(n)+G(n)\)、数乘 \((kF)(n)=kF(n)\)。证明 \(M\) 是 \(\mathbb R\) 上的线性空间，并说明它与“实数列”集合 \(\mathbb R^{\mathbb N}\) 的关系。
下一集预告 第 P20 集 · 二：线性空间的性质 1、2。其中性质 1：线性空间的零元唯一，每个向量的负元唯一（记作 \(-\boldsymbol{\alpha}\)）；性质 2：\((k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}\)、\(k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}\) 等标量运算律的进一步刻画，以及零元、负元的唯一性证明。