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◎学习目标
- 理解线性映射：在线性空间之间“保持加法与数乘”的映射，以及它与矩阵的密切关系（矩阵可用来研究和表示线性映射）；
- 认识双线性函数，理解为何要在仅有加法与数乘的线性空间上引入度量；
- 掌握内积（内积空间 / 欧几里得空间 / 酉空间）的基本概念：用内积可以度量向量长度、夹角与距离；并知道正交变换、对称变换、酉变换、Hermite 变换等与度量相关的线性变换；
- 沿“一元高次方程求根”这条路线，认识多项式、多项式环、环与域等抽象概念，了解它们的来历；
- 了解 Galois 理论：用群（和域）刻画一元高次方程能否用根式求解，体会代数学研究对象的“革命性变革”；
- 结合课程安排，掌握本课程的教材使用方式与数学思维方式（观察、抽象、探索、证明）。
0承接第 1 集：从投影谈起 ⏱ 00:00
第 1 集结尾把线性空间比作一个“舞台”。本集接着说：有了舞台，才谈得上“投影”——把空间中一点投影到某条直线（如树荫中的某点）或到地面上，就是一种映射。
本集主线
从“线性空间（舞台）”出发，依次研究舞台上的演员（线性映射、双线性函数）、舞台的度量（内积、度量空间）、几何变换（旋转、投影、相似、压缩），再切到另一条路线（一元高次方程、多项式环、群与 Galois 理论），最后交代教材与学习方法。
1线性映射与矩阵 ⏱ 00:37
我们不研究一般映射，而是研究那种既保持加法、又保持数乘的映射。
定义 · 线性映射（线性变换）
设 \(V, W\) 是同一数域上的线性空间。若映射 \(T: V \to W\) 满足（保持加法与数乘）
\[ T(\alpha \alpha_1 + \beta \alpha_2) = \alpha\, T(\alpha_1) + \beta\, T(\alpha_2), \qquad \alpha_1,\alpha_2 \in V,\ \alpha,\beta \in \text{数域}. \]
则称 \(T\) 为线性映射；当 \(W = V\)（空间到自身的线性映射）时，称为线性变换。
线性映射与矩阵的相互关系
- 研究一个线性映射时，除了“映射”这个角度，还可以利用矩阵来研究它——二者有密切关系；
- 反过来，矩阵的理论也可以用来研究线性映射；
- 因此可以说：线性映射“某种意义上得要研究矩阵”。（第 1 集强调矩阵是线性方程组解法的起跑线，本集把矩阵提升到与线性映射互通的高度。）
2双线性函数与引入度量 ⏱ 01:32
线性空间本身只有加法与数乘两种运算，与几何空间相比还“差一些”：几何空间中向量有长度、两个向量之间有夹角与距离，而普通线性空间这些都没有（没有度量）。
想法 · 用双线性函数引入度量
为了在只有加法与数乘的线性空间上“引入度量”（长度、夹角、距离），需要研究线性空间上的双线性函数。所谓双线性，指作为二元函数对每一自变量都是线性的：
\[ f(\alpha + \beta, \gamma) = f(\alpha,\gamma) + f(\beta,\gamma), \qquad f(\alpha\, u,\gamma) = \alpha\, f(u,\gamma). \]
有了双线性函数，就可以构造具有度量的线性空间（度量空间）。
与几何的对照
平面向量、空间向量都配有内积，内积可同时算长度、夹角与距离。把这类“带度量”的结构抽象出来，就得到度量线性空间（以及下面的内积空间等）。
3内积（内积空间）与正交变换 ⏱ 02:21
高中阶段就学过平面向量的内积：它既与长度有关，又与角度、距离有关。
定义 · 内积（内积）
两个向量 \(A, B\) 的内积定义为
\[ \langle A, B \rangle = |A|\, |B|\, \cos \theta, \]
其中 \(|A|, |B|\) 是长度，\(\theta\) 是两向量的夹角；它是一个把两个向量对应到一个实数的二元函数，并且是双线性函数：
\[ \langle A + B, C \rangle = \langle A, C \rangle + \langle B, C \rangle, \qquad \langle \lambda A, C \rangle = \lambda\, \langle A, C \rangle. \]
定义 · 度量线性空间（内积空间 / 酉空间）
在引入度量的线性空间中，按底数域区分：
- 实数域上带度量的线性空间称为实内积空间（欧几里得空间，\(\mathbb{R}^n\) 即其一例）；
- 复数域上带度量的线性空间称为酉空间（复内积空间）。
与度量相关的线性变换
有了度量，自然要研究与度量有关的线性变换：
- 在实内积空间中：与度量相关的线性变换主要有正交变换与对称变换；
- 在酉空间（复内积空间）中：有酉变换与Hermite（埃尔米特）变换；
- 这些变换都与线性映射（线性变换）相关。
4一元高次方程、配方与多项式环 ⏱ 05:00
除了“线性方程组”这条主线，代数还有另一条发展路线：把一元方程的次数升高（一元二次、三次、四次……直至 \(n\) 次）。
一般 \(n\) 次一元方程
\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, \qquad a_n \neq 0. \]
研究它的根（求根公式）。一元二次方程用“配方”求出根式；配方本质上是把左边的多项式进行因式分解。
术语：变量 / 字母
在方程中，未知量可称为“位置量”；在多项式中，这个单独的字母更习惯叫变量（或“一个字母 / 一个符号”）。多项式是关于这个变量的一元式。
从求根到多项式环
要求根就必须做因式分解，因式分解就要研究一元多项式环的结构：
- 所有一元多项式（系数取自某数域）组成一个集合，配上加法与乘法运算，称为一元多项式环；
- 整数集合 \(\mathbb{Z}\) 也是一个环；
- 由“一元多项式环”与“整数集合”这些例子，自然抽象出一般环（及域）的概念。
5Galois 理论：群与域，代数的革命性变革 ⏱ 06:40
历史上：一元二次方程的求根公式在公元前 1700 年古代巴比伦已知；直到公元 1500 年前后，Ferrari 等人给出三次、四次方程的求根公式。五次（五次及以上）方程能否用根式求解？
经典结论
经过 Ruffini、Abel 的努力，最终由 Galois 给出简洁证明：一般的高次（四次以上）方程不能用根式求解；并且 Galois 证明了某个具体的高次方程能否用根式求解的充分必要条件——它的群是可解群。
研究对象发生革命性变革
Galois 在研究“一元高次方程有没有求根公式”时，引出了域与群两个概念，并建立了“域与群”之间的对应关系。这使代数学的研究对象发生了革命性的变革：
- 传统（经典）代数学：以一元高次方程求根为中心；
- 现代（抽象）代数学：以研究域、群等代数系统的结构，以及它们之间保持运算的映射（同态 / 同射）为中心。
对本课程的意义
高等代数虽不深入展开抽象代数的全部结构内容，但会涉及什么是域、什么是群等概念（视时间而定）。研究对象第二部分是“一元（乃至 \(N\) 元）多项式环的结构与通用性质”，其中涉及到环、域等概念。
6教材使用与数学思维方式 ⏱ 10:50
教材
本课程使用邱维声教授自著的《高等代数》（副标题“大学高等代数课程创新教材”，清华大学出版社，分上、下两册，2010 年出版）。每一点分三部分：内容精华、典型例题、习题。
- 内容精华：大课讲授（打了“星号”的内容本可省略）；
- 典型例题：鼓励“先思考再阅读”——自己先想怎么做，再对照书上详细解答；
- 习题：作为课外作业，由助教组织讨论完成；每次大课留作业。
数学思维方式（四步）
- 观察客观现象（生活中、自然界、社会中，以及已学过的数学知识），从中提出问题；
- 抓住主要特征（主要矛盾），忽略次要矛盾，抽象出概念、建立数学模型（如 \(N\) 维向量空间、线性空间本身就是模型）；
- 探索结构：运用直觉（几何直观）、类比、归纳、联想、推理等方法，对结构形成“猜想”；
- 证明（验证）：猜想需经逻辑推理证明才成为定理——定义要搞清楚，公理、已证定理要会用；证明揭示事物内在规律。
学高等代数的关键
高等代数概念多、逻辑推理多。不要死记定义：弄清“我们到底在研究什么”（例如线性空间从何引出、水到渠成），概念就不再难。逻辑推理虽枯燥，但尽量讲得深一些，避免只给“坐没”（结论）而不给来源。
★重点回顾
1
“舞台”思想：线性空间是舞台，线性映射（变换）是舞台上的“演员”，双线性函数是另一类“演员”；几何的旋转、投影、相似、压缩等都是线性映射。
2
线性映射保持加法与数乘（\(T(\alpha\alpha_1+\beta\alpha_2)=\alpha T(\alpha_1)+\beta T(\alpha_2)\)）；空间到自身者称线性变换；它与矩阵相互研究、密切关联。
3
线性空间只有加法与数乘，缺少度量（长度、夹角、距离）；为引入度量需研究双线性函数（对每一自变量线性）。
4
内积 \(\langle A,B\rangle = |A|\,|B|\cos\theta\) 是双线性二元函数；实数域上带度量者称实内积（欧几里得）空间，复数域上带度量者称酉空间。
5
与度量相关的线性变换：实内积空间中正交变换、对称变换；酉空间中酉变换、Hermite（埃尔米特）变换。
6
另一路线：一元高次方程求根 → 配方即因式分解 → 研究一元多项式环；整数集也是环；抽象出环与域。
7
Galois 理论：一般高次（四次以上）方程不能用根式求解；某方程可根式解的充要条件是其群为可解群；由此代数研究对象由“方程求根”转向“域、群等代数系统的结构及其保持运算的映射（同态）”。
8
教材三分法（内容精华 / 典型例题 / 习题）；数学思维四步：观察 → 抽象建模型 → 探索猜想 → 逻辑证明。
⚠易错点提醒
常见错误
- 把线性映射当一般映射：课程只研究“保持加法与数乘”的映射；一般映射不在讨论范围。
- 混淆“线性空间”与“带度量的线性空间”：线性空间只有加法与数乘；要谈长度、夹角、距离必须再引入度量（内积）。
- 把内积当成一般函数：内积是双线性的二元函数（对每个自变量线性），且给出实数。
- 误以为五次以上方程一定无解：准确说法是“一般的高次（四次以上）方程不能用根式求解”；具体方程可解与否取决于其群是否可解。
- 把“变量”与“位置量”用混：多项式中那个单独的字母习惯称“变量 / 字母”，方程中待求的称“未知量 / 位置量”。
- 以为只有“线性方程组”一条线：高等代数同时研究“线性方程组（矩阵、线性空间）”与“多项式、环、域、群”两条线，本集是第二条线的入门。
✎自测题
- 验证映射 \(T\) 在何种条件下是线性映射；举一个“旋转”作为线性变换的例子，说明它保持加法与数乘。
- 说明为什么要在只有加法与数乘的线性空间上引入度量，并写出内积的双线性性质。
- 区分“实内积空间（欧几里得空间）”与“酉空间（复内积空间）”，各举一例（如 \(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{C}^n\)）。
- 列举两类与度量相关的线性变换（正交 / 对称；酉 / Hermite），并说明它们分别属于哪类空间。
- 解释“一元二次方程的配方”与“因式分解”的关系，并说明为何因式分解自然引出“一元多项式环”。
- 简述 Galois 理论如何改变代数学的研究对象：从“一元高次方程求根”到“域、群等代数系统的结构及其保持运算的映射（同态）”。
- 用“观察、抽象建模型、探索猜想、逻辑证明”四步，描述一个你熟悉的概念（如向量加法）是如何被抽象并确立的。
下一集预告
第 3 集：线性方程组的解法（一）：阶梯型方程组、矩阵——正式进入解法部分，讲解矩阵消元法与阶梯形（阶梯型）方程组、矩阵。