高等代数 · 课程学习笔记

第 P25 集 · 七：线性表出、极大线性无关组

Linear Representation & Maximal Linearly Independent Subset (Basis of a Vector System)
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P25 / 151 集 核心概念：线性表出 · 表出唯一性充要条件 · 添向量命题 · 极大线性无关组
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◎学习目标

  1. 复习并掌握向量加减、数乘八条运算法则（交换律、结合律、分配律等），它们是后续证明的运算基础；⏱ 00:09
  2. 证明并理解：\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出且表出方式唯一 ⟺ \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关；⏱ 03:09
  3. 掌握添向量命题：若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关且添入 \(\beta\) 后整组线性相关，则 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出；⏱ 11:39
  4. 理解为什么研究子空间结构时希望「表出方式唯一」，以及由此自然引出极大线性无关组的概念；⏱ 19:49
  5. 掌握极大线性无关组的定义（部分组本身无关 + 添任一剩余向量即相关），并从字面理解“极大”的含义。⏱ 20:39

1向量加减、数乘的八条运算法则 ⏱ 00:09

本集开头补充说明：\(\alpha-\beta := \alpha+(-\beta)\)（向量减法定义为加负向量）。⏱ 00:09 据此，线性组合的运算与实数运算完全一致：

八条法则（向量加数乘对应实数加乘法）
  1. 加法交换律：\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
  2. 加法结合律：\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
  3. 存在零向量与负向量：\(\alpha+0=\alpha\)，\(\alpha+(-\alpha)=0\)
  4. 数乘单位：\(1\alpha=\alpha\)
  5. 数乘结合律：\((kl)\alpha=k(l\alpha)\)
  6. 数乘对向量分配：\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)
  7. 数乘对数分配：\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
  8. 0 乘任何向量为零向量、任何向量乘 0 为零向量
丘老师强调：向量运算与实数运算“一模一样”，大胆放心往前走——线性组合的展开、合并、提取公因子等操作都可以像实数那样进行。⏱ 01:29

2表出方式唯一的充分必要条件 ⏱ 03:09

命题 · 表出唯一 ⟺ 向量组线性无关 在「\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出」的前提下，
\[ \text{表出方式唯一} \;\Longleftrightarrow\; \alpha_1,\dots,\alpha_s \text{ 线性无关}. \]
⏱ 03:09
证明（充分方向 + 必要方向）

充分（无关 ⟹ 唯一）：设 \(\beta=a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s=b_1\alpha_1+\cdots+b_s\alpha_s\)。两式相减得 \((a_1-b_1)\alpha_1+\cdots+(a_s-b_s)\alpha_s=0\)。因 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，故 \(a_i-b_i=0\)，\(a_i=b_i\)，表出唯一。⏱ 02:09

必要（唯一 ⟹ 无关），用反证。设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。已知 \(\beta=a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s\)，则⏱ 04:11

\[ \beta=(a_1+k_1)\alpha_1+\cdots+(a_s+k_s)\alpha_s. \]

由于 \(k_i\) 不全为 0，新系数组 \((a_i+k_i)\) 与 \((a_i)\) 至少有一个分量不同，即 \(\beta\) 有两种不同表出方式，与「唯一」矛盾。故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 必须线性无关。⏱ 05:20

《西游记》类比 丘老师用唐僧与妖怪的故事比喻：妖怪千变万化（表出方式不唯一），肉眼难辨真伪；只有「火眼金睛」（线性无关组）才能一眼认出。对学习者，表出唯一意味着不添乱、可识别。

3添向量命题（无关组添向量相关则新向量可被表出） ⏱ 11:39

先考虑特殊情况——原向量组线性无关时，添入一个新向量 \(\beta\) 后若整组变为线性相关，那么 \(\beta\) 一定可被原组表出。

命题 · 无关组添向量相关 ⟹ 新向量可被原组表出 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关。若添入 \(\beta\) 后的组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\) 线性相关，则 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出。⏱ 11:39
证明（关键：\(\beta\) 的系数必非零）

因 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta\) 线性相关，存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s,\ell\) 使⏱ 13:39

\[ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s+\ell\beta=0. \quad (\ast) \]

先证 \(\ell\neq 0\)。反证：若 \(\ell=0\)，则 \((\ast)\) 化为 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，且此时 \(k_1,\dots,k_s\) 不全为零（因原假设 \(k_1,\dots,k_s,\ell\) 不全为 0 而 \(\ell=0\)）。这与 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关矛盾。故 \(\ell\neq 0\)。⏱ 14:39

由 \((\ast)\) 把 \(\ell\beta\) 留在左边，其余移到右边再除以 \(\ell\)，得⏱ 15:39

\[ \beta=-\frac{k_1}{\ell}\alpha_1-\cdots-\frac{k_s}{\ell}\alpha_s. \]

即 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出，证毕。

直觉 “人家本来线性无关，你一添就变相关了，那这个新向量一定是‘特殊人物’——它可以被原组表出。”这是后续证明「极大线性无关组的每个外向量可被它表出」的关键工具。

4子空间与生成组的矛盾：为何要极大无关组 ⏱ 19:49

回顾：给定向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)，它生成一个子空间，该子空间的元素正是 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的所有线性组合——即子空间中每个向量都可由该组线性表出。⏱ 17:11

矛盾 若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关，则由 §2 知子空间中每个向量的表出方式不唯一，造成混乱。我们希望找到一个“表出方式唯一”的生成组——即一个线性无关的部分组，且要求它足够大，仍能生成整个子空间。
不能太小 单个向量总线性无关，但一个向量通常无法生成整个子空间（除非子空间维数为 1）。因此要取“尽可能大的线性无关部分组”，大到「再贴任一个剩余向量进来就变相关」。

5极大线性无关组（定义） ⏱ 20:39

定义 · 极大线性无关组 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 是一个向量组。它的一个部分组 \(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_m}\)（\(m\le s\)）称为该向量组的一个极大线性无关组（maximal linearly independent subset），若同时满足：⏱ 20:39
  1. 该部分组本身线性无关；
  2. 从原向量组中任取一个未被包含的向量添入该部分组，所得新部分组线性相关（若剩余向量存在）。
字面理解「极大」

丘老师特别强调不要死背定义，应从字面理解：「极大」意味着再贴任何剩余向量进来就变相关。部分组可以等于整组（类似全集是自身的子集），若部分组已取尽所有向量则条件 (2) 自动满足（无剩余向量可添）。⏱ 23:20

与几何的类比：在过定点的平面上，两个不共线向量 \(A,B\) 构成该平面向量组的一个极大线性无关组——再贴任何第三个（仍在平面上的）向量即共面相关，而 \(A,B\) 可生成整个平面。

预告 下一集 P26 将讨论同一向量组的任意两个极大线性无关组之间的关系，并引入「向量组等价」与「向量组的秩」等概念。本集只建立定义，不涉及唯一性与秩。

★重点回顾

1
表出唯一性充要条件：在 \(\beta\) 可被 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 表出的前提下，表出方式唯一 ⟺ \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关。
2
添向量命题：无关组添一个向量后变相关 ⟹ 该新向量必可被原无关组线性表出。证明关键是先证新向量系数 \(\ell\neq 0\)。
3
极大线性无关组定义：部分组本身无关 + 再添任一剩余向量即相关。理解“极大”= 贴一个就相关。
4
八条运算法则：向量加数乘运算与实数一致，可放心用实数运算规则展开、合并、提公因子。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 添向量命题的前提是原组「线性无关」。若原组已相关，则「新组也相关」可能由原组内部的原因造成，不能推出新向量可被原组表出。
  2. 证明 \(\ell\neq 0\) 时反证逻辑：假设 \(\ell=0\) 后，需强调此时 \(k_1,\dots,k_s\) 仍不全为零（因为原相关关系是 \(k_1,\dots,k_s,\ell\) 不全为 0，\(\ell\) 为 0 时剩余 \(k\) 必不全为 0），从而与原组无关矛盾。遗漏这一步会卡住。
  3. 极大线性无关组部分组可以等于整组：不要把「部分」理解为「严格小于」。若整组本身线性无关，则整组即自身唯一的极大线性无关组。
  4. 极大线性无关组不唯一：同一向量组可能有多个不同的极大线性无关组（P26 会证明它们等价）。本集定义未涉及唯一性，不要默认「只有一组」。
  5. 八条法则中「0 的系数」：\(0\cdot\alpha=0\)（零向量），不要与「数 0」混淆；写系数时 0 乘向量得零向量，可用于在表出式中「占位」。

✎自测与作业

  1. 设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，\(\beta\) 使得 \(\alpha_1,\alpha_2,\beta\) 线性相关。证明 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表出，并写出表出公式（用 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性相关的某个非平凡关系表示）。
  2. 证明：若 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出，且表出方式唯一，则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关。（完整写出反证法证明，参照 §2 折叠。）
  3. 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关。判断下列各组是否为原组的极大线性无关组，并说明理由：(a) \(\{\alpha_1,\alpha_2\}\)；(b) \(\{\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\}\)。
  4. 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，\(\beta\) 不能被它们表出。证明新组 \(\beta,\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 仍线性无关。（提示：若新组相关，由 §4 的添向量命题（逆用）导出 \(\beta\) 可被原组表出，矛盾。）
  5. （思考）用本集 §4 的「生成子空间 + 表出唯一」思路，解释为什么「极大线性无关组」是研究子空间结构的核心工具。要求用不超过 5 句话概括。
  6. （选做）设向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)（几何上为平面内四个不同方向的非零向量，两两不共线）。写出该组所有极大线性无关组（提示：任意两个不共线向量即为一组），并验证它们都满足定义的两个条件。
下一集预告 第 P26 集 · 八：向量组等价与性质。引入「向量组可由向量组线性表出」的简记、两个向量组互相表出即等价，等价关系具有反射性、对称性、传递性；同一向量组与它的任意极大线性无关组等价；并首次引入向量组的秩（极大线性无关组中向量的个数）。