高等代数 · 课程学习笔记

第 P27 集 · 九：向量组的秩 Rank

Rank of a Vector System (Maximal Linearly Independent Subsystem)
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P27 / 151 集 核心概念：极大无关组 · 线性表出传递性 · Steinitz 交换引理 · 秩 Rank · 逆否命题推理
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◎学习目标

  1. 掌握线性表出关系的传递性，并由此推出“向量组与其任一极大无关组等价”；
  2. 证明向量组任一两个极大无关组等价（用等价关系的对称性 + 传递性）；
  3. 理解并证明本集最核心的引理（Steinitz 交换）：若向量组 \(A\) 可由 \(r\) 个向量 \(B\) 线性表出，且 \(B\) 线性无关，则 \(r\) 大于等于 \(A\) 的无关子集规模——反之，若 \(B\) 由 \(r\) 个线性无关的 \(A\) 表出且 \(r\) 少于 \(A\) 的个数，则 \(B\) 必线性相关；
  4. 由引理推出逆否命题（推论 1）：若一组无关向量可由另一组向量线性表出，则前者个数不超过后者个数；
  5. 得到本集最重要结论：同一向量组任一两个极大无关组所含向量个数相等（不依赖于极大无关组的选择），从而把这个“由向量组本身唯一决定的数”命名为向量组的秩 Rank；
  6. 掌握秩的约定：只含零向量的向量组秩规定为 0。

1线性表出的传递性 & 极大无关组与向量组等价 ⏱ 00:01

本集开头紧接上一集（第 P26 集“向量组等价与性质”），把“线性表出”的传递性证明完：若向量组 \(B\) 可由 \(C\) 线性表出、\(C\) 可由 \(A\) 线性表出，则 \(B\) 可由 \(A\) 线性表出。由传递性立刻得到线性表出关系（从而等价关系）也具有传递性。⏱ 00:33

命题 1 · 向量组与其极大无关组等价 设 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 为向量组，\(\{\alpha_1',\dots,\alpha_r'\}\) 是它的任一极大线性无关组。则二者等价（可互相线性表出）。
证明（用传递性把两个极大无关组“接”起来）

极大无关组的定义有两条：① 它本身线性无关；② 它是“极大”的（不能再往里加原向量组中的任何向量）。由第②条及“极大无关组包含原向量组的所有生成能力”，原向量组 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 中每个向量都可由极大无关组线性表出；反过来极大无关组是原向量组的子组，当然可被原向量组线性表出。⏱ 00:47

于是“向量组 ↔ 任一极大无关组”互相线性表出，即等价。⏱ 01:07

推论 · 任一两个极大无关组等价 设 \(\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\)、\(\{\gamma_1,\dots,\gamma_m\}\) 是同一向量组的两个极大无关组。由命题 1：第一个 ↔ 向量组 ↔ 第二个；再由等价关系的对称性与传递性，得到两个极大无关组彼此等价（可互相线性表出）。⏱ 01:20

本集先在一个具体例子上“数个数”：把平面上的向量组 \(A,B,C,D\) 逐步加入 \(E\) 变 5 个向量，观察“极大无关组里的向量个数”是否一致，从而引出“一般是否也相等”的核心问题。⏱ 03:03

2核心问题：极大无关组所含向量个数是否相等 ⏱ 03:24

既然“任一两个极大无关组等价（可互相线性表出）”，且它们都线性无关，那么接下来要回答的关键问题是：它们的向量个数是否一定相等？这正是本集要攻克的目标。⏱ 03:47

老师的思路 “怎么数个数？这就提出了问题——不能靠‘加法凑成线性表出’来数。得从线性表出关系本身找到两组向量个数之间的联系。”因此下面先建立一个引理（一个“很重要但本身不是研究对象”的中间结论）。⏱ 04:09

3关键引理：Steinitz 交换（比较向量个数） ⏱ 06:55

引理 · 比较向量组的个数 设向量组 \(B=\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\) 可由线性无关的向量组 \(A=\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 线性表出。若 \(r > s\)，则 \(B\) 必线性相关。
证明（设未知数 → 化为齐次线性方程组 → 必有非零解）

第一步 · 写出表出关系。每个 \(\beta_i\) 都可由 \(A\) 线性表出，系数记为 \(a_{ji}\)（\(\beta_i\) 的下标 \(i\) 放第二，\(\alpha_j\) 的下标 \(j\) 放第一）：

\[ \beta_i = a_{1i}\alpha_1 + a_{2i}\alpha_2 + \cdots + a_{si}\alpha_s,\quad i=1,2,\dots,r. \]
⏱ 07:55

第二步 · 设未知数。要找一组不全为 0 的数 \(k_1,\dots,k_r\) 使 \(k_1\beta_1+\cdots+k_r\beta_r=0\)。设

\[ k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_r\beta_r=0. \]
⏱ 10:06

第三步 · 等量代入并整理。把 \(\beta_i\) 的表达式代进去，按 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 合并同类项（利用向量加法的交换律、结合律与数量乘法分配律）：

\[ \alpha_1\Big(\sum_{i=1}^{r}a_{1i}k_i\Big)+\alpha_2\Big(\sum_{i=1}^{r}a_{2i}k_i\Big)+\cdots+\alpha_s\Big(\sum_{i=1}^{r}a_{si}k_i\Big)=0. \]
⏱ 11:48

第四步 · 利用 \(A\) 线性无关。因为 \(A\) 线性无关，要使上式为 0，必须每个 \(\alpha_j\) 的系数为 0，即

\[ \sum_{i=1}^{r}a_{ji}k_i=0,\quad j=1,2,\dots,s. \]
这是一个关于未知数 \(k_1,\dots,k_r\) 的齐次线性方程组：有 \(s\) 个方程、\(r\) 个未知量。已知 \(r>s\)（未知量个数多于方程个数），由第一章“齐次线性方程组”的结论——未知量个数大于方程个数时必有非零解——故存在一组不全为 0 的 \(k_1,\dots,k_r\) 满足上述方程组。⏱ 13:14

第五步 · 回代。把这组 \(k_i\) 代回第二步的式子，由第四步各系数为 0 得 \(k_1\beta_1+\cdots+k_r\beta_r=0\)，且 \(k_i\) 不全为 0。由线性相关定义，\(B\) 线性相关。证毕。⏱ 15:41

引理的作用丘老师特别强调：“这个结论（引理）本身不是一个主要研究对象，但它能证明好多好的题目，所以叫它‘引理’。”学数学要多用简单例子观察，才能想到要证明它。⏱ 08:08

4推论 1（逆否命题）：无关则个数不超过 ⏱ 16:46

推论 1 · 线性表出关系下向量个数的联系 设向量组 \(B=\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\) 可由向量组 \(A=\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 线性表出。若 \(B\) 线性无关，则
\[ r \le s. \]
证明（引理的逆否命题）

引理说“\(B\) 由 \(r\) 个 向量表出且 \(r>s\) 时，若表出的一组（\(A\) 的 \(s\) 个向量）线性无关，则 \(B\) 必相关”。⏱ 17:09

取它的逆否命题：若 \(B\) 线性无关（即不相关），则 \(r>s\) 不成立，于是 \(r\le s\)。⏱ 17:17

老师原话“这是第一次从线性表出的范畴里，把两个向量组的个数之间也联系起来——了不起。这个推理（推理）可是要记住的。”⏱ 18:27

5极大无关组个数唯一 → 定义“秩” Rank ⏱ 19:18

现在把前面的推理“一鼓作气”回答核心问题。设 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 与 \(\{\gamma_1,\dots,\gamma_m\}\) 是等价且都线性无关的两个向量组（例如：同一向量组的一两个极大无关组）。⏱ 19:48

推论 3 · 极大无关组所含向量个数唯一 一个向量组 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 的任一两个极大线性无关组所含向量的个数相等，这个数由该向量组本身唯一决定，不依赖于取哪一个极大无关组。
证明（两次套用推论 1，夹出 \(s=m\)）

极大无关组必线性无关（定义①），且由第 1 节推论，两个极大无关组等价（互相线性表出）。⏱ 20:15

方向 1：\(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\)（无关，\(s\) 个）可由 \(\{\gamma_1,\dots,\gamma_m\}\) 表出。由推论 1，第一个向量组个数 \(s\) ≤ 第二个个数 \(m\)，即 \(s\le m\)。⏱ 21:04

方向 2：反过来 \(\{\gamma_1,\dots,\gamma_m\}\)（无关，\(m\) 个）可由 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 表出。同样由推论 1，\(m\le s\)。⏱ 22:32

两个方向合起来：\(s\le m\) 且 \(m\le s\)，故 \(m=s\)。证毕。⏱ 22:48

关键结论“由它本身决定的东西，数学上特别重要，要给它起一个名字。” 这个“由向量组唯一决定的极大无关组所含向量个数”就是秩。⏱ 24:51
定义 · 向量组的秩（Rank） 向量组 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 的任一极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作
\[ \operatorname{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_s). \]
秩的英文是 rank，故直接用英文记号 \(\operatorname{rank}\)，花括号内的向量可省略括号写。⏱ 26:33
秩的基本性质（本集直接推得）
  • 秩不超过向量个数：\(\operatorname{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\le s\)（秩是某个子组的规模，至多等于整个向量组的向量数）。
  • 秩相等 ↔ 等价：等价的两个向量组秩相等（下一集 P28 专门论证“等价向量组秩相等”）。
  • 线性表出与秩的关系：若向量组 \(B\) 可由向量组 \(A\) 线性表出，则 \(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)（取 \(A\) 的极大无关组即可表出 \(B\)，再由推论 1）。
⏱ 27:21

6只含零向量的向量组：秩规定为 0 ⏱ 26:30

若一个向量组只含零向量（全为零向量，没有别的向量），则它没有极大无关组——因为含零向量的任何子组都线性相关，不存在线性无关的部分组。此时“按定义取极大无关组的个数”无从规定。⏱ 26:30

约定 · 零向量组的秩 对只含零向量的向量组，特别规定其秩为
\[ \operatorname{rank}=0. \]
其余含有非零向量的向量组，其秩必为正整数（自然数 \(1,2,3,\dots\)）。⏱ 27:01
老师的强调“这一节课是比较‘裸’着讲的……回去好好把里面的（引理、推论、定义）复习。” 老师还提醒：第三章内容他几乎都会讲到，但讲解顺序会调整，课后的自读章节（如教材 88–90 页的推论 3、推论 7：向量组线性无关则其伸展组必无关，向量组线性相关则其缩短组必相关）需按指定自行阅读。⏱ 27:43

★重点回顾

1
线性表出的传递性：\(C\) 表出 \(B\)、\(A\) 表出 \(C\) ⇒ \(A\) 表出 \(B\)；从而等价关系有传递性，向量组与其任一极大无关组等价。
2
引理（Steinitz 交换）：\(B\) 可由线性无关的 \(A\)（\(s\) 个）表出且 \(B\) 有 \(r\) 个，若 \(r>s\) 则 \(B\) 相关。证明核心：设未知数 → 等量代入 → 化为 \(s\) 方程 \(r\) 未知量的齐次方程组（\(r>s\) 必有非零解）。
3
推论 1（逆否）：若 \(B\) 由 \(A\) 表出且 \(B\) 无关，则 \(\text{个数}(B)\le\text{个数}(A)\)。这是“线性表出关系下向量个数比较”的第一个结论。
4
个数唯一：同一向量组任一两个极大无关组所含向量个数相等（用推论 1 双向夹出 \(s=m\)）。
5
秩的定义：\(\operatorname{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=\) 极大无关组的向量个数；只含零向量的向量组秩规定为 0，其余为自然数。秩不超过向量个数、秩相等是等价向量组的不变量。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 引理（Steinitz）的方向要记牢：“\(B\) 由 \(A\) 表出 + \(A\) 无关 + \(B\) 个数 \(r> A\) 个数 \(s\)” ⇒ \(B\) 相关。不要记反成“\(r>s\) ⇒ 无关”。表出方向是 \(B\) 由 \(A\) 表出（被表出的一组 \(B\) 的规模更大），不是 \(A\) 由 \(B\)。
  2. 齐次方程组“必非零解”的条件：只有未知量个数 \(r\) 大于方程个数 \(s\)（即 \(r>s\)）才保证存在非零解；\(r\le s\) 时不一定。这是第一章结论的复用，务必写清“\(r>s\)”。
  3. 系数下标约定：\(\beta_i=\sum_j a_{ji}\alpha_j\) 中，\(\beta\) 的下标 \(i\) 放第二位、\(\alpha\) 的下标 \(j\) 放第一位，不要写反；代入后按 \(\alpha_j\) 合并，系数是 \(\sum_i a_{ji}k_i\)。
  4. “线性无关”要用它推出“系数全 0”：第 4 步正是利用 \(A\) 无关，把“\(\sum_j(\sum_i a_{ji}k_i)\alpha_j=0\)”化为“每个 \(\sum_i a_{ji}k_i=0\)”（齐次方程组），从而得到非零 \(k\)。跳过这一步会失去严谨。
  5. 只含零向量的秩是“约定”不是定义：它没有极大无关组，不能按“取极大无关组个数”定义，必须特别规定为 0。含有非零向量的向量组秩必为正整数。
  6. “个数唯一”依赖等价性：推论 3 成立的前提是两个向量组等价（互相表出）且都线性无关；缺等价条件时个数未必相等。

✎自测与作业

  1. 设 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}\) 线性无关，\(\beta_1,\dots,\beta_4\) 均可由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性表出。用本集引理证明：\(\{\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4\}\) 必线性相关。
  2. 证明推论 1：若线性无关的向量组 \(B\)（\(r\) 个）可由向量组 \(A\)（\(s\) 个）线性表出，则 \(r\le s\)。（提示：这是引理的逆否命题。）
  3. 求向量组 \(\{\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\}\) 的一个极大线性无关组，并求其秩 \(\operatorname{rank}\)。（提示：判断 \(\alpha_3\) 是否可由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 表出，确定极大无关组与秩。）
  4. 设 \(\{\gamma_1,\gamma_2\}\) 是向量组 \(A\) 的一个极大无关组，\(\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}\) 是它的另一个极大无关组。用“推论 1 双向夹出个数”的思路说明：这与推论 3（个数唯一）矛盾，从而纠正——说明该设定不可能同时成立（\(A\) 只能有两种极大无关组规模之一）。
  5. 说明为何“只含零向量的向量组”没有极大无关组，并解释为什么把它的秩约定为 0 是合理且必要的（结合“极大无关组必须是线性无关子组”这一点）。
  6. （选做）设向量组 \(B\) 可由 \(A\) 线性表出。证明：\(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)。（提示：取 \(A\) 的极大无关组 \(A'\)，则 \(B\) 也可由 \(A'\) 表出；\(B\) 的极大无关组 \(B'\) 线性无关，由推论 1 得 \(\text{个数}(B')\le\text{个数}(A')\)。）
下一集预告 第 P28 集 · 十：等价向量组秩相等、线性空间子集线性相关性——专门论证“等价向量组秩相等”，并转向线性空间子集的线性相关 / 线性无关（有限子集与无限子集的定义），为“线性空间的基”做铺垫。