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◎学习目标
- 巩固秩的概念（承上集）：秩 = 极大无关组所含向量个数；
- 学会用秩判定向量组线性无关：向量组线性无关 ⇔ 秩等于向量个数，秩小于向量个数 ⇒ 线性相关；
- 证明：若向量组 \(B\) 可由向量组 \(A\) 线性表出，则 \(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)（取极大无关组 + 线性表出传递性 + 推论 1）；
- 证明本集核心定理：等价的两个向量组秩相等（秩是等价类的不变量）；
- 转向抽象线性空间 \(V\) 的子集：给出有限子集 / 无限子集的“线性相关、线性无关”定义（无限子集：存在有限子集线性相关 ⇒ 整个子集相关）；
- 理解为何本阶段不能用“无穷个向量相加”来定义相关性——极限 / 度量概念尚未引入。
1回顾：极大无关组个数相等 → 秩 ⏱ 00:01
本集开头回顾上一集（第 P27 集“向量组的秩”）的结论：向量组任一两个极大线性无关组所含向量个数相等，这个“由向量组本身唯一决定”的数被命名为向量组的秩。⏱ 00:13
2用秩判定线性无关：一个自然数决定相关 / 无关 ⏱ 01:21
以前判定向量组线性无关，只能按定义：从 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\) 推出 \(k_1=\cdots=k_s=0\)。本集给出一个用秩来判定的新方法：⏱ 01:40
证明（极大无关组 = 本身）
（⇒）若 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 线性无关，则把整个向量组取出作为它自己：它本身是线性无关的部分组，且“极大”（没有多余的无关向量可再加，因为它自身已无关），所以它本身就是自己的一个极大无关组。按秩定义，秩 = 极大无关组所含向量个数 = \(s\)。⏱ 03:23
（⇐）若秩等于 \(s\)，则它的一个极大无关组含 \(s\) 个向量；而向量组总共就 \(s\) 个，故该极大无关组就是整个向量组本身，即整个向量组线性无关。⏱ 03:49
进一步说明：秩是自然数（0 或正整数）。只含零向量的向量组秩为 0；含非零向量的向量组秩为正整数。⏱ 04:30
3可表出 ⇒ 秩不等（极大无关组 + 传递性） ⏱ 05:41
证明（取极大无关组，用线性表出传递性 + 推论 1）
设 \(B\) 的一个极大无关组为 \(B'\)，\(A\) 的一个极大无关组为 \(A'\)。由上集命题 1（向量组与其极大无关组等价）：⏱ 07:45
- \(B'\) 可由 \(B\) 表出（极大无关组是 \(B\) 的子组，反向 \(B\) 由 \(B'\) 表出——等价）；
- 已知 \(B\) 可由 \(A\) 表出；
- \(A\) 可由 \(A'\) 表出（\(A'\) 是 \(A\) 的极大无关组，互相表出）。
由线性表出的传递性：\(B'\) 可由 \(A'\) 表出。又 \(B'\) 线性无关（它是极大无关组）。设 \(B'\) 含 \(r\) 个向量、\(A'\) 含 \(m\) 个向量，由上集推论 1（无关组由另一组表出则个数不超过）：⏱ 08:58
4等价向量组秩相等 ⏱ 09:49
证明（两次套用命题 4，双向夹出相等）
等价 = 互相线性表出：⏱ 11:41
- “\(B\) 可由 \(A\) 表出” ⇒ 由命题 4：\(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)；
- “\(A\) 可由 \(B\) 表出” ⇒ 由命题 4：\(\operatorname{rank}(A)\le\operatorname{rank}(B)\)。
合起来 \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)\)。证毕。
5转向抽象线性空间 \(V\)：子集的线性相关 / 无关 ⏱ 12:40
本节后半从“向量组”转到抽象线性空间 \(V\)（数域 \(K\) 上）的结构研究。老师强调：整个第三章都在任意的抽象线性空间 \(V\)上讨论，向量用 \(\alpha,\beta,\gamma\) 表示（而非具体坐标列）。⏱ 13:11
有限子集的线性相关 / 无关
为什么可以“任取一个次序”定义？（与次序无关性）
若把 \(S\) 的元素按某次序写成向量组 \((\alpha_1,\dots,\alpha_s)\) 线性相关，即存在一组不全为 0 的数 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。⏱ 18:39
现在把 \(S\) 按另一个次序写成向量组（例如 \(\alpha_2,\alpha_1,\dots\)）。由于向量加法有交换律，打乱项的书写次序不改变加和的值，故仍“存在一组不全为 0 的系数使线性组合为 0”（只是系数对应到新的位置）。因此只要有一个次序写出的向量组线性相关，其他所有次序写出的向量组也线性相关。⏱ 18:51
所以“有限子集的线性相关”与所选次序无关，定义是良定义的。有限子集线性相关 / 无关，本质上就是“把它写成向量组”的线性相关 / 无关。⏱ 17:52
6无限子集的线性相关：加“有限性”条件 ⏱ 18:14
对 \(V\) 的一个无限子集 \(S\)，线性相关该如何定义？老师先讲为什么不能用“无穷个向量相加”来定义：⏱ 18:25
既然“极限”这个处理无限问题的强力工具本阶段没有，怎么办？老师给出办法：把“无限性”还原为“有限性”条件。⏱ 20:11
- \(S\) 线性相关 ⇔ 存在 \(S\) 的某个有限子集是线性相关的；
- \(S\) 线性无关 ⇔ \(S\) 的任意（一切）有限子集都是线性无关的。
定义的自然性：与有限情形类比
回顾有限情形：向量组若有一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关（部分相关 ⇒ 整体相关）；反过来，向量组若线性无关，则它的任何部分组也线性无关。⏱ 21:14
把这个性质搬到无限情形：若无限子集 \(S\) 的某个有限子集线性相关，则“整个 \(S\)”也应认为线性相关——这正是“存在一个有限子集线性相关”的定义。其否定（\(S\) 线性无关）即“\(S\) 的任意有限子集都线性无关”。⏱ 22:31
★重点回顾
⚠易错点提醒
- “秩 = 向量个数 ⇒ 无关”的反向要记牢：秩等于向量个数才无关；秩小于向量个数（如 \(s\) 个向量的向量组秩为 \(s-1\)）就线性相关，不能判无关。
- “可表出 ⇒ 秩不等”的方向：\(B\) 由 \(A\) 表出 ⇒ \(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)。被表出的一组（\(B\)）秩更小，表出它的那一组（\(A\)）秩更大，别写反。
- 等价 ⇒ 秩相等，需“互相”表出：只由“\(B\) 由 \(A\) 表出”只能得 \(\le\)；要“秩相等”必须两个方向都成立（等价 = 双向表出）。
- 有限子集相关性“与次序无关”是证明出来的：因为向量加法有交换律，打乱书写次序不改变“存在非零系数使组合为 0”这一事实；不要以为“次序不同结论可能不同”。
- 无限子集不能用“无穷个向量相加”定义：线性空间本阶段没有度量，无穷个向量相加 / 极限无定义；正确定义是“存在有限子集线性相关”。若误写“无穷线性组合为 0 则相关”在本课程是不合法的（要等拓扑 / 度量空间那一章）。
- “抽象线性空间 \(V\) 的向量 vs \(K^n\) 的向量：老师反复强调本章在抽象 \(V\) 中讨论，向量记作 \(\alpha,\beta,\gamma\)；若把 \(V\) 取为具体空间（如函数空间、\(K^n\)），同样的结论自动适用。不要混淆抽象与具体。
✎自测与作业
- 设 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 是 \(s\) 个向量的向量组，已知其秩为 \(s-1\)。判断该向量组线性相关还是无关，并说明理由。
- 证明：若向量组 \(B\) 可由向量组 \(A\) 线性表出，则 \(\operatorname{rank}(B)\le\operatorname{rank}(A)\)。（提示：取 \(A\)、\(B\) 的极大无关组，用线性表出传递性 + 上集推论 1。）
- 利用上题证明：等价的两个向量组秩相等（即 \(A\)、\(B\) 互相表出 ⇒ \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)\)）。
- 设 \(S\) 是 \(V\) 的一个有限子集。说明：把 \(S\) 按不同次序写成向量组，其线性相关 / 无关的判定结果相同。用“加法交换律”写清理由。
- 设 \(T\) 是 \(V\) 的一个无限子集。若已知 \(T\) 中存在一个含 3 个向量的有限子集线性相关，判断 \(T\) 是线性相关还是无关，并给出定义依据。
- （思考）为什么本阶段（只有加法 + 数乘、没有度量）不能用“无穷个向量相加等于 0 向量”来定义无限子集的线性相关？需引入什么新概念后才能谈“无穷个向量相加 / 极限”？