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◎学习目标
- 承接上集，回顾无限子集线性相关 / 无关的定义（相关 ⇔ 存在有限子集相关；本阶段无极限 / 度量，用“有限性”代替“无穷相加”）；
- 理解“基（基底）”概念的引出：类比“平面过定点取两个不共线向量，任意向量可唯一线性表出”，在抽象线性空间 \(V\) 中定义一组线性无关且张成 \(V\)（有限线性表出）的子集；
- 掌握基的定义（条件 1 线性无关；条件 2 任意向量可由 \(S\) 中有限多个向量线性表出）与“有序基”的概念；
- 处理特殊情况：只含零向量的线性空间，其基规定为空集（空集定义为线性无关）；
- 理解基的存在性定理：任一数域上任一（抽象）线性空间都有基（证明需偏序集 + Zorn 引理 / 良序原理，非教学要求）；
- 区分有限维 / 无限维线性空间，并用反证法说明“有限维空间任取两个基所含向量个数相等”（为“维数”概念做准备）。
1承接：无限子集线性相关（有限性条件） ⏱ 00:01
本集开头紧接上一集（第 P28 集“线性空间子集线性相关性”）。回顾：本阶段线性空间只有加法 + 数量乘法两种运算，没有度量 / 极限，故不能用“无穷个向量相加 = 0”来定义无限子集的相关性；数学上处理无限问题的两个工具——极限（本阶段没有）与有限性条件——这里用后者。⏱ 00:12
- \(S\) 线性相关 ⇔ 存在 \(S\) 的某个有限子集是线性相关的；
- \(S\) 线性无关 ⇔ \(S\) 的任意有限子集都线性无关。
2从平面“不共线向量”到基的动机 ⏱ 02:40
老师先用几何直觉引出“基”的概念：过定点 \(O\) 的一个平面，只要取定两个不共线的向量 \(A,B\)，平面上任意一个向量都能被 \(A,B\) 唯一线性表出——两个不共线向量就“抓住”了整个平面的结构。⏱ 02:52
把这个“平面的基”类比推广到数域 \(K\) 上的任意抽象线性空间 \(V\)，就应去引出“\(V\) 的基”的概念。由于 \(V\) 中的“基”对应的向量子集 \(S\) 可能是无限的（例如函数空间等），因此定义中要用上“有限子集 / 有限线性表出”的措辞。⏱ 03:39
3基（基底）的定义 ⏱ 03:48
- （线性无关）\(S\) 是线性无关的（有限子集：作为向量组线性无关；无限子集：任意有限子集线性无关）；
- （张成，有限线性表出）\(V\) 中任意一个向量都可以由 \(S\) 中的有限多个向量线性表出。
为什么条件 2 强调“有限多个”？（不能用“全部 \(S\) 的向量相加”）
若 \(S\) 是无限子集，说“一个向量可由 \(S\) 中（全部）向量线性表出”，就要面对无穷多个向量的线性组合（相加）。⏱ 05:51
但本阶段线性空间 \(V\) 只有加法与数量乘法，没有度量 / 距离，因而无法谈极限（无穷和是“部分和序列的极限”，需要度量概念）。因此条件 2 必须限定为“由 \(S\) 中有限多个向量线性表出”——有限组合才在本阶段有定义（加法有结合律即可处理）。⏱ 06:15
4有序基 · 只含零向量的线性空间基 = 空集 ⏱ 07:59
4.1 有限子集情形 = “向量组”的有序基
集合 \(S\) 作为子集本无序；一旦写成向量组（有序）就固定了顺序，故更严谨地称“有序基”。老师说明：习惯上常省略“有序”二字，直接称“基”；但写向量组时实为有序基。⏱ 09:14
4.2 只含零向量的线性空间：基 = 空集
- 空集 \(\varnothing\) 是 \(V\) 的一个子集；
- 规定：空集 \(\varnothing\) 是线性无关的；
- \(V\) 中唯一的向量是 \(\mathbf{0}\)，可由空集“有限多个向量”（即 0 个，空组合 = 零向量）线性表出。
5基的存在性（任一数域上任一线性空间都有基） ⏱ 13:56
基的两条定义条件较苛刻：条件 1（线性无关）较易找到，但条件 2（张成）未必总能找到。由此自然产生疑问：是否任何数域上的任何线性空间都有基？
证明思路（偏序集 + Zorn 引理 / 良序原理，非教学要求）
证明需借助偏序集的概念：对 \(V\) 的所有线性无关子集建立偏序（按“包含”关系），用著名的 Zorn 引理（或等价地，良序原理 / 选择公理）证明存在极大线性无关子集；该极大子集满足条件 1，再由“极大”性质推出它张成 \(V\)（否则可加向量扩大，矛盾），从而它是 \(V\) 的一个基。⏱ 15:08
6有限维 / 无限维；基的向量个数唯一（反证法） ⏱ 15:39
6.1 有限维与无限维
- 若 \(V\) 的某一个基是有限子集，则称 \(V\) 是有限维（有限 \(V\)）的；
- 若 \(V\) 的某个基是无限子集（即不存在有限基，所有基都是无限的），则称 \(V\) 是无限维（无限 \(V\)）的。
6.2 有限维空间：两个基的向量个数相等（反证法）
设 \(V\) 是有限维的，一个基含 \(n\) 个向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)；取 \(V\) 的另一个基 \(S=\{\beta_1,\dots\}\)。要证：\(S\) 也是有限子集，且所含向量个数也等于 \(n\)。⏱ 17:32
证明（反证法：假设 \(S\) 个数 > \(n\) 导出矛盾）
假设：\(S\) 所含向量个数大于 \(n\)，即 \(S\) 中至少可取出 \(n+1\) 个向量 \(\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\)。⏱ 19:16
利用第一个基的张成性：\(\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\) 是 \(V\) 的基，由基定义（条件 2）任一向量可由它有限表出，故 \(\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\) 都可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出（即向量组 \(B=\{\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\}\) 可由向量组 \(A=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\) 线性表出）。⏱ 19:43
用 Steinitz 引理（P27 集第 3 节）：\(A\) 有 \(n\) 个向量且线性无关（它是基的一部分），\(B\) 有 \(n+1\) 个向量且可由 \(A\) 表出，且 \(n+1>n\)。由引理，\(B\) 必线性相关。⏱ 20:23
矛盾：但 \(B\) 是 \(S\) 的有限子集，而 \(S\) 是 \(V\) 的基 ⇒ 条件 1 要求 \(S\)（及其任一有限子集）线性无关。于是 \(B\) 线性相关与“\(S\) 线性无关”矛盾。故假设“\(S\) 个数 \(>n\)”不成立，即 \(S\) 所含向量个数 ≤ \(n\)。⏱ 21:43
对称地：反过来若 \(n\le\) 另一基的个数（同样论证），得另一基个数 ≤ \(n\)。综合两边，两个基的向量个数相等（都等于 \(n\)）。⏱ 21:55
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 基的条件 2 必须写“有限多个”：若 \(S\) 无限，不能用“\(S\) 中所有向量相加 / 无穷线性组合”张成——本阶段无度量、无极限，无穷相加无定义。写成“有限多个向量线性表出”才是合法定义。
- “有限维”的判定：“有一个基是有限子集”即有限维；不能说“只要存在某个有限无关组”就有限维，必须是有限基（既无关又张成）。
- 反证方向（个数唯一）：假设另一基个数 > \(n\) 导出“\(B\)（\(n+1\) 个）可由 \(A\)（\(n\) 个无关）表出 ⇒ \(B\) 相关 ⇒ 与 \(S\) 无关矛盾”。关键是把 Steinitz 引理 套在“较大的 \(n+1\) 个”上，别套反。
- 空集规定为线性无关：这是特别约定，用于让“只含零向量的空间的基 = 空集”成立。不要误以为空集“无向量故相关”——本课程明确规定空集无关。
- 量词：“一个基”而非“一组基”：基是一个子集 / 一个向量组；“一组基”是错误表述。写“\(V\) 的一个基”。
- 有限基 vs 无限基的张成写法：有限基的张成即“由该向量组线性表出”；无限基的张成必须强调“由其中有限多个向量线性表出”，二者措辞不同。
✎自测与作业
- 验证：\(V=\{\mathbf{0}\}\)（只含零向量的线性空间）满足线性空间公理（加法封闭、数乘封闭），并说明按本集定义，它的一个基是空集 \(\varnothing\)（结合“空集规定为线性无关”与“空组合 = 零向量”）。
- 设 \(S\subseteq V\) 为无限子集。若已知 \(S\) 中存在一个含 2 个向量的有限子集线性相关，判断 \(S\) 是线性相关还是无关，并写出定义依据（承上集）。
- 说明基定义中条件 2 为何必须写成“由 \(S\) 中有限多个向量线性表出”，而不能用“由 \(S\) 中（全部）向量线性表出”。（提示：本阶段线性空间没有度量 / 极限。）
- 用反证法证明：若有限维线性空间 \(V\) 的一个基含 \(n\) 个向量，则 \(V\) 的任一个基所含向量个数也恰为 \(n\)。（完整写出“假设另一基含 \(n+1\) 个向量 → Steinitz 引理 → 矛盾 → 对称再证 → 相等”的过程。）
- （存在性）写出“任一数域上任一线性空间都有基”这一定理的陈述，并简述其证明所用的工具（偏序集 + Zorn 引理 / 良序原理），说明为何本课程中只需记住结论而不必掌握证明细节。
- （选做）区分并举例说明“有限维”与“无限维”线性空间各一个（例如 \(K^n\) 是有限维；由所有实系数多项式构成的空间 \(K[x]\) 是无限维，其基为 \(\{1,x,x^2,\dots\}\)）。