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◎学习目标
- 理解 \(K^n\) 中任意向量 \(\alpha\) 可唯一拆分为标准基 \(\boldsymbol{1}_1,\dots,\boldsymbol{1}_n\) 的线性组合，且坐标即自身；
- 掌握命题 1：若 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，则 \(V\) 中任意 \(n\) 个线性无关向量构成 \(V\) 的一个基（只需验证"线性无关"一条）；
- 掌握命题 2（反向）：若 \(V\) 是 \(n\) 维空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 中 \(n\) 个向量，且 \(V\) 中每个向量可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出，则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一个基（无需事先验证线性无关）；
- 理解并掌握基扩张定理（Steinitz 交换 / 基扩张）：\(V\) 中任意线性无关向量组都可扩充为 \(V\) 的一个基；
- 掌握子空间维数定理：若 \(W \subseteq V\) 是子空间，则 \(\dim W \leq \dim V\)；等号成立 iff \(W = V\)。
1\(K^n\) 中任意向量可拆成标准基线性组合 ⏱ 00:01
本集紧接上一集（第 P30 集"维数、向量坐标"）的坐标概念。回顾：\(K^n\) 的标准基为
2N 个线性无关向量是 N 维空间的基 ⏱ 02:14
先通过几何空间例子引入结论，再抽象化。在三维几何空间中，取两个不共面向量 \(\alpha_1,\alpha_2\)，再找一个不在平面上的向量 \(\alpha_3\)，则 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，且空间中任何向量可唯一表示——它们构成基。⏱ 02:47
进一步猜测：对一般 \(n\) 维线性空间 \(V\)，只要找到 \(n\) 个线性无关向量，它们自动是基（基的生成性条件无需验证）。
证明思路（把 \(\beta\) 加入后变成相关）
按基的定义，需证明：对任意 \(\beta \in V\)，\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出。⏱ 03:57
把 \(\beta\) 加入：\(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta\) 共 \(n+1\) 个向量。由上一集（P30）推论，\(n\) 维空间中任意 \(n+1\) 个向量线性相关（命题 E 的推论）。⏱ 04:22
因此 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta\) 线性相关，存在不全为 0 的系数 \(k_1,\dots,k_n,k\) 使
若 \(k = 0\)，则 \(k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = \boldsymbol{0}\) 且 \(k_1,\dots,k_n\) 不全为 0。但 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性无关，矛盾。故 \(k \neq 0\)。
综上，任意 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出，生成性成立。加上"线性无关"已知，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的基。⏱ 05:36
3反向判据：生成性 → 基 ⏱ 06:24
反过来：只验证"生成性"（\(V\) 中每个向量可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出），不事先验证线性无关，也能断言它们是基。
证明思路（用秩"两头夹逼"）
取 \(V\) 的一个基 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)（存在 \(n\) 个向量的基）。⏱ 06:57
由条件，\(V\) 中每个向量（特别地 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)）可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出。因此向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 可被 \(\beta_1,\dots,\beta_n\) 线性表出（因为 \(\beta_i\) 是基的向量，\(\alpha_i\) 可由 \(\beta\) 组表出，反过来由表出的传递性——实际上这里的关键是：\(\beta\) 组是基，\(\alpha\) 组可由 \(\beta\) 组表出；同时 \(\beta\) 组也可由 \(\alpha\) 组表出（由条件），两组互相表出（等价））。⏱ 07:18
等价向量组的秩相等。由秩的定义（极大无关组所含向量个数）：
- \(\beta_1,\dots,\beta_n\) 是基（线性无关），其秩 = 向量个数 = \(n\)；
- \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(n\) 个向量，其秩 \(\leq n\)（不超过向量个数）；
- 两组等价 → 秩相等 → \(\text{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = \text{rank}(\beta_1,\dots,\beta_n) = n\)。
因此 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的秩 = \(n\) = 向量个数，故它们线性无关。⏱ 08:07
生成性（条件）+ 线性无关（已证）= 基的定义两条满足。证毕。
4基扩张定理（Steinitz 交换 / 基扩张） ⏱ 12:23
几何例子：在三维空间中取两个不共面向量 \(\beta_1,\beta_2\)，可以找到一个不在这个平面上的向量 \(\beta_3\)，使 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 构成基。一般化得到：
证明思路（逐步扩充）
情形 1：\(s = n\)。则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 已是 \(n\) 个线性无关向量，由命题 1 直接是基，无需扩充。⏱ 13:36
情形 2：\(s < n\)。此时 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 不可能是基（基必须含 \(n\) 个向量），故 \(V\) 中存在某个向量 \(\beta_1\) 不能由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出。⏱ 13:47
则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1\) 必线性无关（否则 \(\beta_1\) 可由前 \(s\) 个表出，矛盾）。⏱ 14:13
若 \(s+1 < n\)，重复上述过程：找 \(\beta_2\) 不能被 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1\) 表出，加入后仍无关。如此逐步扩充，直到凑够 \(n\) 个线性无关向量。⏱ 14:46
最终得到 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_{n-s}\) 共 \(n\) 个线性无关向量。由命题 1，它们是 \(V\) 的基。证毕。⏱ 14:57
5子空间维数 ≤ 空间维数 ⏱ 19:06
设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。问：\(\dim W\) 与 \(n\) 的关系？
证明思路（子空间基扩充为空间基）
设 \(W\) 的维数为 \(m\)，取 \(W\) 的一个基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\)。由基的定义，\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 线性无关。⏱ 19:38
由于 \(W \subseteq V\)，\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 也是 \(V\) 中的 \(m\) 个线性无关向量。由基扩张定理，它们可扩充为 \(V\) 的一个基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\gamma_{m+1},\dots,\gamma_n\)。⏱ 19:53
因此 \(m \leq n\)（扩充后到 \(n\) 个才够，原组不多于 \(n\) 个）。即 \(\dim W = m \leq n = \dim V\)。⏱ 20:04
- 过 \(O\) 的直线（一维子空间）：\(\dim = 1 < 3\)；
- 过 \(O\) 的平面（二维子空间）：\(\dim = 2 < 3\)；
- \(V\) 本身（三维）：\(\dim = 3\)，即 \(W = V\)。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 命题 1 的前提是"已知 \(\dim V = n\)"" ：必须先确定维数才能用"N 个无关即基"。未确定维数时不能用。
- 命题 2 中"生成性"必须覆盖全部 \(V\)：条件不是"某些向量可被表出"，而是"V 中每个向量"。若只覆盖部分向量，不能断言是基。
- 基扩张不是唯一确定的：\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的扩充方式不唯一（\(\beta_1,\dots,\beta_{n-s}\) 的选取有多种可能），但扩充后的总个数必为 \(n\)。不要误以为扩充结果是唯一的。
- \(\dim W \leq \dim V\) 不等号：子空间维数可以严格小于（如平面在空间中），只有当等号成立时才有 \(W = V\)。不要写成 \(\dim W < \dim V\)（漏掉等号情形）。
- 秩的"两头夹逼"（命题 2 证明）：\(\alpha\) 组秩 \(\leq n\)（向量个数限制）且 \(\alpha\) 组秩 \(\geq n\)（与基 \(\beta\) 组等价），夹出秩 = \(n\)。漏掉任一方向则结论不成立。
✎自测与作业
- 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，验证向量组 \((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((1,1,0)\) 不构成基（提示：秩 = 2 < 3；或用命题 1 的逆否命题——三个向量线性相关）。
- 设 \(V\) 是 4 维空间，\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 是 \(V\) 中 3 个线性无关向量。利用基扩张定理，说明可找到 \(\alpha_4\) 使 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 构成 \(V\) 的一个基，并简述寻找 \(\alpha_4\) 的方法。
- 设 \(W\) 是 \(\mathbb{R}^4\) 的子空间，由 \((1,1,0,0)\)、\((0,0,1,1)\) 生成。求 \(\dim W\)，并说明 \(W\) 的基可取哪些向量。
- 用命题 2（反向判据）证明：\(\mathbb{R}^2\) 中向量组 \((1,0)\)、\((0,1)\) 是基（验证 \(\mathbb{R}^2\) 中任意向量 \((a,b)\) 可由它们线性表出即可，不必事先验证无关）。
- 设 \(W\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的子空间，且 \(\dim W = n\)。证明 \(W = V\)（参考本集 s5 折叠证明，写出完整推理链）。
- （选做）设 \(V = \mathbb{R}^3\)，\(\alpha_1 = (1,0,0)\)，\(\alpha_2 = (0,1,0)\)。试将 \(\{\alpha_1, \alpha_2\}\) 扩充为 \(V\) 的一个基，并写出所有可能的第三种"不共面"向量的形式（提示：第三个向量的第三个分量不能为 0）。