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◎学习目标
- 回顾线性空间的定义（加法封闭 + 数乘封闭 + 八条法则），理解基的定义（线性无关 + 生成性）；
- 掌握极大线性无关集（maximal linearly independent subset）的定义：子集 \(\mathcal{S}\) 线性无关，且对任意 \(\beta \notin \mathcal{S}\)（若存在），\(\mathcal{S} \cup \{\beta\}\) 线性相关；
- 理解基与极大线性无关集的等价性（非零空间中）：\(\mathcal{S}\) 是基 \(\iff\) \(\mathcal{S}\) 是极大线性无关集；
- 掌握向量组生成子空间的维数公式：\(\dim \langle \alpha_1,\dots,\alpha_s \rangle = \text{rank}(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\)；
- 理解丘老师对"空集是只含零向量空间基"的更正（见 s4），理解"极大无关集"定义下空集确为基。
1线性空间结构的回顾与基的定义 ⏱ 00:01
本集以回顾线性空间的基本定义开场。以数域 \(K\) 上的线性空间 \(V\)：一个非空集合，有加法运算和数乘运算，加法满足四条法则（交换律、结合律、零元存在、逆元存在），数乘满足四条法则（\((kl)v=k(lv)\)、\((k+l)v=kv+lv\)、\(k(u+v)=ku+kv\)、\(1v=v\)）。
- \(\mathcal{S}\) 线性无关（即 \(V\) 的任意有限子集都线性无关）；
- \(V\) 中每一个向量可由 \(\mathcal{S}\) 中有限多个向量线性表出。
维数唯一性（上集 P30 已证）：有限维空间任意两个基含相同向量个数，记 \(\dim_K V = n\)。对 \(n\) 维空间，向量 \(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标（系数列向量）唯一。
2极大线性无关集（定义与性质） ⏱ 05:52
本集引入一个新概念。回顾：向量组（有限多个向量按一定顺序排列）有极大线性无关组的概念。现在推广到一般的（可能无限的）线性空间子集。
- \(\mathcal{S}\) 线性无关；
- 对任意 \(\beta \in V \setminus \mathcal{S}\)（若存在），\(\mathcal{S} \cup \{\beta\}\) 线性相关。
若 \(\mathcal{S}\) 是基，则 \(\mathcal{S}\) 是极大线性无关集
条件 (i)：基要求线性无关，显然满足。⏱ 08:11
条件 (ii)：设 \(\beta \notin \mathcal{S}\)（若存在）。由基的定义，\(\beta\) 可由 \(\mathcal{S}\) 中有限多个向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 线性表出：\(\beta = k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m\)。则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta\) 线性相关（有一个向量可被其余线性表出）。而 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 是 \(\mathcal{S}\) 的有限子集，故 \(\mathcal{S} \cup \{\beta\}\) 的某个有限子集线性相关，因此 \(\mathcal{S} \cup \{\beta\}\) 线性相关。⏱ 08:42
两个条件都满足，\(\mathcal{S}\) 是极大线性无关集。证毕。
3基与极大线性无关集的等价性 ⏱ 09:49
上节已证：基 → 极大无关集。反过来呢？
证明思路（极大无关集 → 基）
\(\Leftarrow\) 方向：设 \(\mathcal{S}\) 是极大线性无关集，需证它是基，即证 \(V\) 中每个向量 \(\beta\) 可由 \(\mathcal{S}\) 中有限多个向量线性表出。⏱ 10:08
若 \(\beta \in \mathcal{S}\)，显然（系数 1 即可）。若 \(\beta \notin \mathcal{S}\)，由"极大"条件，\(\mathcal{S} \cup \{\beta\}\) 线性相关，即存在 \(\mathcal{S}\) 中有限多个向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 和系数 \(k_1,\dots,k_m,k\)（不全为 0）使
若 \(k=0\)，则 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m = \boldsymbol{0}\)，但 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 是 \(\mathcal{S}\) 的子集（线性无关），矛盾。故 \(k \neq 0\)，\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 线性表出。⏱ 10:57
生成性得证。加上线性无关（条件 (i)），\(\mathcal{S}\) 是基。证毕。
4更正：空集与只含零向量空间的基 ⏱ 11:51
若 \(V = \{\boldsymbol{0}\}\)（只含零向量），空集 \(\varnothing\) 是 \(V\) 的子集。按原定义验证基的两条：
逐条验证
条件 (i) 线性无关：空集是线性无关的（这是规定，因为不存在非零的线性组合等于零向量——实际上没有"有限子集"可供讨论，约定空集线性无关）。⏱ 12:16
条件 (ii) 生成性：对 \(\boldsymbol{0} \in V\)，\(\boldsymbol{0}\) 能否由空集 \(\varnothing\) 中有限多个向量线性表出？不能！"零向量不能由空集线性表出"（没有任何向量可作系数组合）。⏱ 12:26
因此，按原定义，空集不是只含零向量空间的基（生成性不满足），只能"规定"空集是它的基（约定）。⏱ 15:09
- 空集线性无关（规定）；
- 对唯一向量 \(\boldsymbol{0} \notin \varnothing\)，\(\varnothing \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\}\) 线性相关（零向量是线性相关的）。
5向量组生成子空间的维数 = 向量组秩 ⏱ 18:10
本集的核心定理：向量组生成的子空间的维数，等于该向量组的秩（极大线性无关组所含向量个数）。
证明思路（极大无关组 = 生成子空间的基）
设 \(\alpha_1',\dots,\alpha_r\) 是 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的一个极大线性无关组（\(r = \operatorname{rank}\)）。⏱ 19:04
第一步：\(\langle \alpha_1,\dots,\alpha_s \rangle\) 中每个向量可表为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的线性组合（生成性定义），而 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 又可表为极大无关组 \(\alpha_1',\dots,\alpha_r\) 的线性组合（极大无关组的定义）。由线性表出的传递性，\(\langle \alpha_1,\dots,\alpha_s \rangle\) 中每个向量可由 \(\alpha_1',\dots,\alpha_r\) 线性表出。⏱ 20:02
第二步：\(\alpha_1',\dots,\alpha_r\) 本身线性无关（极大无关组的定义）。
由基的定义（两条），\(\alpha_1',\dots,\alpha_r\) 是 \(\langle \alpha_1,\dots,\alpha_s \rangle\) 的一个基。⏱ 20:15
第三步：基含 \(r\) 个向量，由维数定义，
★重点回顾
⚠易错点提醒
- "极大线性无关集"vs"极大线性无关组"：前者适用于一般（可能无限的）子集，后者特指有限向量组。混淆会导致在无限维空间讨论时出错。
- 零向量不能被空集"线性表出"：这是本集更正的核心。空集没有向量，无法构造系数组合。"自动满足"是上一课的错误表述。
- 极大无关集 = 基 的前提是 \(V\) 含非零向量。若 \(V = \{\boldsymbol{0}\}\)（零空间），空集是唯一子集，按极大无关集定义它确是基，但按原定义不是（需"规定"）。
- 向量组秩 vs 子空间维数：秩是对向量组说的（极大无关组的向量个数），维数是对空间说的（基的向量个数）。数值相等但概念不同——不要写成"维数 = 秩"而不说明是哪边的秩/维数。
- 线性表出的传递性（证明中关键一步）：若 \(W_1\) 可由 \(W_2\) 表出，\(W_2\) 可由 \(W_3\) 表出，则 \(W_1\) 可由 \(W_3\) 表出。这个传递性在证明"极大无关组 = 生成子空间的基"时反复使用，不要跳过。
✎自测与作业
- 设 \(V = \mathbb{R}^3\)，向量组 \(\alpha_1 = (1,0,0)\)、\(\alpha_2 = (0,1,0)\)、\(\alpha_3 = (1,1,0)\)、\(\alpha_4 = (0,0,1)\)。求该向量组的极大线性无关组，并由此求 \(\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 \rangle\) 的维数。
- 验证：在 \(\mathbb{R}^3\) 中，向量组 \((1,0,0)\)、\((0,1,0)\) 的极大线性无关组（秩）为 2，其生成的子空间（\(xy\)-平面）的维数也是 2（与本集定理一致）。
- 按"极大线性无关集"的定义，验证空集 \(\varnothing\) 是零空间 \(V = \{\boldsymbol{0}\}\) 的一个极大线性无关集（即基），并说明按原基定义为何不能直接推出（需"规定"）。
- 设 \(W\) 是 \(\mathbb{R}^4\) 中由向量 \((1,1,0,0)\)、\((1,0,1,0)\)、\((0,1,1,0)\) 生成的子空间。求 \(W\) 的维数（提示：验证三个向量线性无关，秩 = 3，维数 = 3）。
- （证明题）设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 中的向量组，\(\langle \alpha_1,\dots,\alpha_s \rangle\) 的维数为 \(r\)。证明：\(V\) 中必存在 \(n-r\) 个向量，使与 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的极大无关组合起来构成 \(V\) 的一个基（利用上一集 P31 的基扩张定理）。
- （选做）解释"矩阵的秩"与"矩阵列向量组的秩"的关系：若 \(A\) 是 \(n \times s\) 矩阵，\(\operatorname{rank}(A)\) = \(\operatorname{rank}\)（\(A\) 的列向量组）= \(\dim \langle \text{col}_1(A),\dots,\text{col}_s(A) \rangle\)。这是下几节课的核心结论。