高等代数 · 第 P34 集 · 十六：阶梯型矩阵的行秩=列秩、初等行变换的秩

☰本集目录

◎学习目标

掌握行阶梯型（ echelon form ）矩阵的结构特征：主元位置、非零行个数 \(r\)；
会证明：对行阶梯型矩阵 \(J\)，其列秩 = 行秩 = 非零行个数 \(r\)；
理解延伸组（extension）的概念及其保持线性无关性的性质；
证明初等行变换不改变矩阵的行秩；
掌握"列向量组线性相关 \(\iff\) 对应齐次方程组有非零解"这一基本结论的应用。

1行阶梯型矩阵的列秩 = 行秩 ⏱ 00:00

设 \(J\) 为 \(s\times n\) 行阶梯型矩阵，非零行个数为 \(r\)，主元分别在第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列（\(j_1

J=\begin{pmatrix} * & \cdots & * & * & \cdots & * & \cdots & * \\ 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & * & \cdots & * \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & * & \cdots & * \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\left.\vphantom{\begin{matrix}*\\*\end{matrix}}\right\rbrace\ r\text{ 个非零行}

定理 1 · 行阶梯型矩阵的列秩 = 行秩 = r 设 \(J\) 为 \(s\times n\) 行阶梯型矩阵，非零行个数为 \(r\)，则

\operatorname{colrank}(J)=\operatorname{rowrank}(J)=r.

证明：列秩 = r（构造 \(r\) 个线性无关列向量）

考虑 \(J\) 的第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列（即主元所在列），截去下面 \(s-r\) 个零分量后得到 \(r\) 维向量 \(\tilde{\alpha}_{j_1},\tilde{\alpha}_{j_2},\dots,\tilde{\alpha}_{j_r}\)。⏱ 01:02

这 \(r\) 个向量的前 \(r\) 个分量构成的矩阵是上三角矩阵，对角线元素均非零（即各主元），故其行列式非零，该向量组线性无关。

由延伸组定理（教材第 89 页）：\(r\) 个 \(r\) 维线性无关向量，在后补 \(s-r\) 个零后所得的 \(s\) 维向量组依然线性无关。⏱ 02:31

因此 \(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\dots,\alpha_{j_r}\) 线性无关，\(\operatorname{colrank}(J)\geq r\)。

另一方面，所有列向量的第 \(r+1\) 至 \(s\) 分量全为零，故列空间含于

U=\{(x_1,\dots,x_r,0,\dots,0)^{\mathrm{T}}\in K^s\},\quad \dim U=r.

所以 \(\operator中{colrank}(J)\leq r\)。综上 \(\operatorname{colrank}(J)=r\)。

证明：行秩 = r

取前 \(r\) 行中每行保留从第 \(j_k\) 列到第 \(j_r\) 列的分量（共 \(j_r-j_k+1\) 个分量，非零），构成 \(r\) 个向量。它们的"延伸"正好是行向量 \(\gamma_1,\dots,\gamma_r\)。⏱ 03:41

这 \(r\) 个截断向量组成的矩阵也是上三角形，对角线为主元（非零），故线性无关。由延伸组定理，\(\gamma_1,\dots,\gamma_r\) 线性无关。

第 \(r+1\) 至 \(s\) 行全为零行，故行秩就是 \(r\)。

2主元所在列构成列向量组的极大线性无关组 ⏱ 05:02

定理 2 · 主元列是列向量组的极大线性无关组对行阶梯型矩阵 \(J\)，其主元所在的 \(r\) 列构成 \(J\) 的列向量组的一个极大线性无关组。

证明要点：

已证这 \(r\) 列线性无关；
列秩为 \(r\)，而任何含 \(r\) 个线性无关向量的组必为极大线性无关组（上一期习题课结论）；⏱ 05:19
因此 \(\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\dots,\alpha_{j_r}\) 就是 \(J\) 的列向量组的一个极大线性无关组。

重要结论（本节核心）对行阶梯型矩阵，主元所在列 = 列向量组的一个极大线性无关组，这是一个非常实用的判定准则。⏱ 06:25

3初等行变换不改变行秩 ⏱ 06:46

三种初等行变换分别讨论：

定理 3 · 初等行变换不改变行秩对任意矩阵 \(A\)，三种初等行变换后得到的矩阵 \(B\)，有 \(\operatorname{rowrank}(B)=\operatorname{rowrank}(A)\)。

第一类：某行的 \(k\) 倍加到另一行

设 \(B\) 由 \(A\) 的第 \(i\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(l\) 行得到。则 \(B\) 的行向量组为 \(\gamma_1,\dots,\gamma_i,\dots,\gamma_l+k\gamma_i,\dots,\gamma_s\)。⏱ 07:10

每个 \(B\) 的行向量都可由 \(A\) 的行向量线性表出（\(\gamma_l+k\gamma_i\) 显然）；反之，\(\gamma_l=(\gamma_l+k\gamma_i)-k\gamma_i\) 也可由 \(B\) 的行向量表出。故两行向量组等价，秩相等。

第二类：互换两行

互换两行只改变行的顺序，不改变行向量组本身，故行秩不变。⏱ 08:46

第三类：某行乘以非零常数 \(l\)

设第 \(i\) 行乘 \(l\neq 0\)。则 \(B\) 的第 \(i\) 行为 \(l\gamma_i\)，其余行不变。⏱ 09:15

\(l\gamma_i\) 可由 \(\gamma_i\) 表出；反之 \(\gamma_i=\frac{1}{l}(l\gamma_i)\) 也可由 \(B\) 的行向量表出。两组等价，行秩相等。

丘老师点评"这三种类型的初等行变换都不改变行秩，这是很直观的。"⏱ 09:52

★重点回顾

1

行阶梯型矩阵的列秩 = 行秩 = 非零行个数 \(r\)：关键是用主元列构成上三角子矩阵，行列式非零，从而线性无关。

2

延伸组定理：\(r\) 个 \(r\) 维线性无关向量后补零后仍是线性无关的。这是证明列秩 ≥ r 的关键工具。

3

主元所在列 = 极大线性无关组：对行阶梯型矩阵，主元所在 \(r\) 列是列向量组的一个极大线性无关组。

4

初等行变换不改变行秩：三类变换均保持行向量组等价，从而秩不变。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆"列秩"与"列数"：列秩 ≤ 列数，当且仅当列向量组满秩时才相等。
忽视延伸组定理的条件：延伸组定理要求每个向量添加的零分量位置相同、个数相同，不可随意添加。
误以为"初等行变换不改变列秩"是显然的：这需要独立证明（下一集 P35），不能直接从行秩不变的结论推出。

✎自测与作业

验证：对 \(J=\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)，其列秩 = 行秩 = 2，并找出一个极大线性无关组。
利用延伸组定理证明：若 \((1,2,3),\ (4,5,6)\) 线性无关，则 \((1,2,3,0,0),\ (4,5,6,0,0)\) 也线性无关。
设 \(A\) 经初等行变换化为 \(B\)，证明 \(A\) 与 \(B\) 的行向量组等价，从而行秩相等。
（思考）为何"初等行变换不改变列秩"比"不改变行秩"更难证明？思考下节课的证明思路。

下集预告第 P35 集 · 十七：将证明初等行变换不改变列秩，进而得到任意矩阵的行秩=列秩，正式定义矩阵的秩\(\operatorname{rank}(A)\)。