高等代数 · 课程学习笔记

第 P35 集 · 十七：矩阵的秩（行秩=列秩）、初等变换不改变秩

Matrix Rank: Row Rank = Column Rank, Invariance under Elementary Row Operations
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P35 / 151 集 核心概念：矩阵的秩 · 初等行变换不改变列秩 · 行阶梯形求秩 · 极大线性无关组
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◎学习目标

  1. 掌握初等行变换不改变列向量组的线性相关性这一关键性质；
  2. 证明初等行变换不改变矩阵的列秩；
  3. 得出任意矩阵的行秩 = 列秩这一核心结论；
  4. 学会定义并使用矩阵的秩\(\operatorname{rank}(A)\)；
  5. 掌握用行阶梯形矩阵计算秩和求极大线性无关组的实用方法；
  6. 理解"不同行阶梯形的非零行数相同"这一第一章遗留问题的解答。

1初等行变换不改变列向量的线性相关性 ⏱ 00:06

先建立一个基本工具。设矩阵 \(C\) 经初等行变换化为 \(D\)，考虑两个齐次线性方程组：

\[ C\mathbf{x}=\mathbf{0}\quad\text{与}\quad D\mathbf{x}=\mathbf{0}. \]
命题 · 同解性 由第一章知，初等行变换不改变齐次线性方程组的解集，即 \(C\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 与 \(D\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 同解。⏱ 01:51

由此立即推出：

定理 · 初等行变换不改变列向量的线性相关性 设矩阵 \(C\) 经初等行变换化为 \(D\)，则 \(C\) 的列向量组线性相关（无关）当且仅当\(D\) 的列向量组线性相关（无关）。
证明

设 \(C=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)，\(D=(\delta_1,\dots,\delta_n)\)。方程组 \(C\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 有非零解 ⏱ 02:06

\[ x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\mathbf{0} \]
即列向量组线性相关。而此方程组与 \(D\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 同解，故
\[ x_1\delta_1+x_2\delta_2+\cdots+x_n\delta_n=\mathbf{0} \]
也恰有相同的非零解集。因此 \(C\) 的列向量组线性相关 \(\iff\) \(D\) 的列向量组线性相关。无关注同理。⏱ 05:00

2初等行变换不改变列秩 ⏱ 00:03

定理 3 · 初等行变换不改变列秩 设矩阵 \(A\) 经初等行变换化为 \(B\)，则
\[ \operatorname{colrank}(B)=\operatorname{colrank}(A). \]
而且：若 \(B\) 的第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列是 \(B\) 的列向量组的极大线性无关组，则 \(A\) 的第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列也是 \(A\) 的列向量组的极大线性无关组。
证明（利用极大线性无关组的定义与线性相关性保真）

第一步：列秩 ≥。设 \(B\) 中第 \(j_1,\dots,j_r\) 列线性无关（它们是极大线性无关组）。考虑 \(A\) 中对应列 \(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r}\)。将它们组成子矩阵 \(\widetilde{A}\)，对 \(\widetilde{A}\) 施行同样的初等行变换得到 \(\widetilde{B}\)（即 \(B\) 的对应列组成的子矩阵）。⏱ 01:40

由定理（上一节的命题），\(\widetilde{B}\) 的列线性无关 \(\Rightarrow\) \(\widetilde{A}\) 的列线性无关。即 \(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r}\) 线性无关，故 \(\operatorname{colrank}(A)\geq r\)。

第二步：列秩 ≤。设 \(\alpha_l\) 是 \(A\) 的列向量组中异于 \(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r}\) 的任一列。将 \(\alpha_l\) 添入上述组中，组成 \(\widetilde{A}_2\)（含 \(r+1\) 列）。对应的 \(B\) 中列组成的 \(\widetilde{B}_2\) 必线性相关（因为 \(j_1,\dots,j_r\) 已是极大组）。⏱ 03:04

由同解性，\(\widetilde{A}_2\) 的列也线性相关，即 \(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r},\alpha_l\) 线性相关。由定义，\(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r}\) 是 \(A\) 列向量组的极大线性无关组，故 \(\operatorname{colrank}(A)=r=\operatorname{colrank}(B)\)。⏱ 04:58

丘老师点评"这个不容易的……它在行变化的时候列没给变掉，它的线性那个秩没动，这真是直观上很难想象。"⏱ 05:54

3任意矩阵的行秩 = 列秩（主定理） ⏱ 06:36

定理 · 矩阵的行秩 = 列秩（核心定理） 对任意数域 \(K\) 上的 \(s\times n\) 矩阵 \(A\)，有
\[ \operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{colrank}(A). \]
证明（三步串联）

第一步：对 \(A\) 施以初等行变换，化为行阶梯型矩阵 \(G\)（第一章方法）。⏱ 06:44

第二步：由定理 3（初等行变换不改变行秩）：

\[ \operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{rowrank}(G). \]

第三步：由 P34 的定理 1（行阶梯型矩阵行秩=列秩）：

\[ \operatorname{rowrank}(G)=\operatorname{colrank}(G). \]

第四步：由定理 3（初等行变换不改变列秩）：

\[ \operatorname{colrank}(G)=\operatorname{colrank}(A). \]

串联：

\[ \operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{rowrank}(G)=\operatorname{colrank}(G)=\operatorname{colrank}(A). \]
证毕。⏱ 07:50

丘老师原话"任何一个矩阵 \(A\) 的行秩等于列秩，这个证明就很容易了……经历了很长时间才能得出的概念，这也感觉非常宝贵，太珍贵了，叫你挖了个金矿。"⏱ 09:00

4矩阵的秩的定义与计算方法 ⏱ 08:52

定义 · 矩阵的秩 既然对任意矩阵 \(A\) 有 \(\operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{colrank}(A)\)，我们将这个共同的值统一定义为矩阵 \(A\) 的秩（rank），记作
\[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{colrank}(A). \]
推论 · 秩的计算方法 设矩阵 \(A\) 经初等行变换化为行阶梯型矩阵 \(G\)，则
\[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(G)=G\text{ 的非零行的个数}. \]
实用算法
  1. 对矩阵 \(A\) 施以初等行变换，化为行阶梯型 \(G\)；
  2. 数出 \(G\) 的非零行个数 \(r\)；
  3. 则 \(\operatorname{rank}(A)=r\)。

5求列向量组极大线性无关组的方法 ⏱ 10:25

定理 · 求极大线性无关组 设 \(A\) 经初等行变换化为行阶梯型 \(G\)，若 \(G\) 的主元位于第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列，则
\[ A\text{ 的第 }j_1,j_2,\dots,j_r\text{ 列构成 }A\text{ 的列向量组的一个极大线性无关组}. \]
证明

由 P34 定理 2，\(G\) 的主元所在列 \(\delta_{j_1},\dots,\delta_{j_r}\) 是 \(G\) 的列向量组的极大线性无关组。⏱ 10:25

由定理 3（初等行变换保持极大线性无关组的列位置），\(A\) 的对应列 \(\alpha_{j_1},\dots,\alpha_{j_r}\) 也是 \(A\) 的列向量组的极大线性无关组。

示例方法 给定 \(3\times 4\) 矩阵 \(A\)，要求列向量组的一个极大线性无关组：
  1. 对 \(A\) 施行初等行变换化为行阶梯型 \(G\)；
  2. 找出 \(G\) 中主元所在的列（如第 1、3 列）；
  3. 则 \(A\) 的第 1、3 列即为所求极大线性无关组。

6回答第一章留下的问题：⏱ 12:51行阶梯形的非零行数唯一性

第一章曾提出一个问题：给定系数矩阵 \(A\)，经不同初等行变换可能得到不同的行阶梯型 \(G_1,G_2,\dots\)，它们的非零行个数是否相同？

本章结论 对任意行阶梯型 \(G\)（由 \(A\) 经初等行变换得到），其非零行个数 \(r=\operatorname{rank}(G)=\operatorname{rank}(A)\)，而 \(\operatorname{rank}(A)\) 是被 \(A\)唯一确定的数。⏱ 13:10

因此，无论怎样化阶梯形，非零行个数必然相同——这就严格回答了第一章的遗留问题。

这一结论也意味着：对于齐次线性方程组 \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)，是否有无穷多解完全由 \(r=\operatorname{rank}(A)\) 与未知量个数 \(n\) 的大小关系决定（\(r⏱ 13:03

★重点回顾

1
核心定理：\(\operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{colrank}(A)\)，统一定义为 \(\operatorname{rank}(A)\)。
2
秩的不变性：初等行变换不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩。
3
秩的计算：\(\operatorname{rank}(A)=\) 行阶梯形的非零行数。
4
求极大线性无关组：找出行阶梯形的主元所在列，对应原矩阵的列即为所求。
5
第一章遗留问题：不同行阶梯形的非零行数相同，因为都等于 \(\operatorname{rank}(A)\)。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 用行变换求列向量组极大无关组时，误取行阶梯形的列而非原矩阵的列：记住，主元列的位置给出了原矩阵中应该选取哪些列。
  2. 混淆"行秩 = 列秩"与"矩阵对称"：行秩=列秩是对任何矩阵都成立的深刻事实，不是因为矩阵对称。
  3. 认为初等列变换也可以用来求列秩：初等列变换同样不改变列秩（可由转置性质推出），但本节课只用到初等行变换。
  4. 忽视"初等行变换不改变列秩"的证明难度：这是全节最难的部分，理解其核心思路（同解性 → 线性相关性保真 → 极大组位置保真）是关键。

✎自测与作业

  1. 求矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&5&6\\1&2&1&2\end{pmatrix}\) 的秩，并求其列向量组的一个极大线性无关组。（提示：先化为行阶梯形，再回代到原矩阵。）
  2. 验证：对任意 \(3\times 3\) 可逆矩阵 \(A\)，\(\operatorname{rank}(A)=3\)；对零矩阵 \(O\)，\(\operatorname{rank}(O)=0\)。
  3. 证明：若 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵且 \(\operatorname{rank}(A)=n\)，则齐次方程组 \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 只有零解。
  4. 设 \(A\) 经初等行变换化为 \(B\)，证明：\(A\) 的列向量组线性相关 \(\iff\) \(B\) 的列向量组线性相关。（利用同解性直接证明。）
  5. （思考）为什么"初等行变换不改变列秩"在直观上难以理解？尝试用"行操作只混合行方向、不改变列方向结构"的角度给出物理解释。
  6. （选做）证明：\(\operatorname{rank}(A^{\mathrm{T}})=\operatorname{rank}(A)\)。（提示：列空间与行空间通过转置互相对应。）
总结 矩阵的秩是整个线性代数的核心概念之一，后续特征值、向量空间维数公式、线性方程组解的结构等都将反复用到。务必熟练掌握其定义和计算方法。