高等代数 · 第 P36 集 · 十八：线性方程组有解的判定、通解结构

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◎学习目标

掌握线性方程组有解的充分必要条件：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩；
理解有解时解的分类：系数矩阵的秩等于未知量个数时唯一解，小于未知量个数时无穷多解；
掌握齐次线性方程组（导出组）解的结构：解空间是 \(K^n\) 的子空间；
学会用一般解公式表达无穷多解：自由未知量取遍所有值，导出组的基础解系张成解空间；
理解非齐次线性方程组的通解结构：一个特解加上导出组的通解；
会用秩的语言简洁地判断解的存在性与个数，避免繁琐的消元计算。

1线性方程组有解的判定定理 ⏱ 00:02

考虑数域 \(K\) 上 \(n\) 元线性方程组：

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \] \[ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \] \[ \qquad\qquad\vdots \] \[ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m

把系数写成列向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in K^m\)，常数项写成 \(\beta \in K^m\)，方程组可简洁地写为：

x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = \beta

定理 · 线性方程组有解的判定定理上述线性方程组有解的充分必要条件是：

\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)

其中 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\) 是系数矩阵，\(\bar{A} = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n, \beta)\) 是增广矩阵。⏱ 11:23

证明：利用子空间包含关系

必要性（⇒）：若方程组有解，则存在 \(x_1, \ldots, x_n\) 使得 \(\sum_{j=1}^{n} x_j\alpha_j = \beta\)。这意味着 \(\beta\) 属于系数列向量组 \(\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}\) 生成的子空间 \(\mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)。因此：

\mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta) = \mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)

两个子空间相等，故它们的维数相等，即 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)\)。⏱ 14:00

充分性（⇐）：若 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)\)，记此共同秩为 \(r\)。由于 \(\mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \subseteq \mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta)\)，且两者的维数相等，故这两个子空间相等。因此 \(\beta \in \mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)，即存在 \(x_1, \ldots, x_n\) 使 \(\sum x_j\alpha_j = \beta\)，方程组有解。⏱ 16:30

2有解时解的分类：唯一解 vs 无穷多解 ⏱ 20:15

当方程组有解（即 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A) = r\)）时，解的情况由秩 \(r\) 与未知量个数 \(n\) 的关系决定：

重要结论 · 解的分类定理设线性方程组系数矩阵 \(A\) 的秩为 \(r\)，则：

\text{有解} \iff \mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A) = r

在有解的前提下：

若 \(r = n\)（秩等于未知量个数），方程组有唯一解；
若 \(r < n\)（秩小于未知量个数），方程组有无穷多解。

证明思路：阶梯形矩阵的非零行数

对增广矩阵 \(\bar{A}\) 作初等行变换化为阶梯形矩阵。设阶梯形矩阵的非零行数为 \(R\)。由初等行变换不改变矩阵的秩，知 \(R = \mathrm{rank}(\bar{A}) = r\)。⏱ 22:00

唯一解情形：\(r = n\)。此时每个未知量都是约束量（主元变量），自由未知量个数为 \(n - r = 0\)，故解唯一确定。

无穷多解情形：\(r < n\)。自由未知量个数为 \(n - r > 0\)，每个自由未知量可取数域 \(K\) 中任意值，从而产生无穷多组解。⏱ 23:45

老师强调"有解的时候，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；此时秩等于未知量个数就唯一解，秩小于未知量个数就无穷多解。"

3通解的结构：特解 + 导出组通解 ⏱ 28:10

当方程组有无穷多解时（\(r = \mathrm{rank}(A) < n\)），我们需要刻画全部解的结构。设对应的齐次线性方程组（称为导出组或伴随方程组）：

x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = \mathbf{0}

定理 · 非齐次方程组通解结构设 \(\eta^*\) 是非齐次方程组的一个特解，\(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}\) 是其导出组的一个基础解系，则非齐次方程组的通解为：

x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}

其中 \(k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}\) 为任意常数（属于数域 \(K\)）。⏱ 30:20

证明：通解公式的充分性与必要性

充分性：验证上述形式的向量确实是原方程组的解。将 \(x = \eta^* + \sum k_i\xi_i\) 代入：

A\left(\eta^* + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\xi_i\right) = A\eta^* + \sum_{i=1}^{n-r} k_i A\xi_i = \beta + \sum_{i=1}^{n-r} k_i \cdot \mathbf{0} = \beta

其中用到了 \(A\eta^* = \beta\)（特解定义）和 \(A\xi_i = \mathbf{0}\)（基础解系定义）。故通解公式确实给出解。⏱ 32:00

必要性：设 \(\eta\) 是原方程组的任意一个解，则 \(A\eta = \beta\)。于是：

A(\eta - \eta^*) = A\eta - A\eta^* = \beta - \beta = \mathbf{0}

故 \(\eta - \eta^*\) 是导出组的解，从而可由基础解系线性表出：\(\eta - \eta^* = \sum k_i\xi_i\)，即 \(\eta = \eta^* + \sum k_i\xi_i\)。⏱ 33:40

核心结论非齐次方程组的解集 = 特解 + 导出组的解空间。解集本身不是一个子空间（不含零向量），而是一个仿射子空间。

4导出组（齐次方程组）解空间的结构 ⏱ 38:15

导出组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的全体解构成 \(K^n\) 的一个子空间，称为解空间，记作 \(W\)。本集着重研究 \(W\) 的结构。

定理 · 解空间的维数设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = r\)，则齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解空间 \(W\) 的维数为：

\dim W = n - r

解空间 \(W\) 的一组基称为基础解系，它含有 \(n - r\) 个线性无关的解向量。⏱ 40:30

基础解系的构造方法

步骤一：对系数矩阵 \(A\) 作初等行变换化为阶梯形，确定 \(r\) 个约束量和 \(n - r\) 个自由未知量。不妨设前 \(r\) 列为主元列，后 \(n - r\) 列为自由列。⏱ 42:00

步骤二：依次令第 \(n-r\) 个自由未知量分别为：

(1,0,\ldots,0),\ (0,1,0,\ldots,0),\ \ldots,\ (0,\ldots,0,1)

其余自由未知量取 0，回代求出对应的约束量的值，得到 \(n-r\) 个解向量 \(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}\)。⏱ 44:10

步骤三：验证 \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}\) 线性无关（它们在自由未知量位置构成的子向量恰好是标准基向量），且导出组的任一解均可由它们线性表出。故它们是解空间的一组基，即基础解系。

基础解系的性质基础解系不唯一，但任意两个基础解系所含向量个数相同（都等于 \(n - r\)），且均线性无关并张成整个解空间。

★重点回顾

1

有解判定：线性方程组 \(Ax = \beta\) 有解 \(\iff \mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)\)，其中 \(\bar{A} = (A | \beta)\) 是增广矩阵。

2

解的分类：有解时，\(\mathrm{rank}(A) = n\) → 唯一解；\(\mathrm{rank}(A) < n\) → 无穷多解。

3

通解结构：非齐次方程组的通解 = 一个特解 \(\eta^*\) + 导出组（齐次方程组）的通解 \(k_1\xi_1 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}\)。

4

导出组解空间：齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解空间 \(W\) 是 \(K^n\) 的子空间，\(\dim W = n - \mathrm{rank}(A)\)。

5

基础解系：解空间的一组基，含 \(n - r\) 个线性无关解向量；通过自由未知量依次取 \((1,0,\ldots,0), (0,1,\ldots,0), \ldots\) 构造。

6

秩的深刻性：矩阵的秩从三个不同角度刻画——行秩、列秩、非零子式最高阶数，三者一致，这是线性代数的核心定理之一。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆"有解"与"唯一解"的条件：有解只需 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)\)；唯一解还需额外满足 \(\mathrm{rank}(A) = n\)。两个条件缺一不可。
忘记特解必须是非齐次方程组本身的解：通解公式中的特解 \(\eta^*\) 必须满足 \(A\eta^* = \beta\)，不能随意取一个向量。
基础解系向量个数错误：基础解系含 \(n - r\) 个向量，其中 \(r = \mathrm{rank}(A)\) 是系数矩阵的秩，不是增广矩阵的秩。当方程组无解时不谈基础解系。
把解空间当成非齐次方程组的解集：解空间 \(W\) 特指齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解集；非齐次方程组的解集不是子空间（不含零向量），而是仿射空间。
自由未知量的选取：自由未知量对应于非主元列，其个数等于 \(n - r\)。选错自由未知量会导致基础解系构造错误。

✎自测与作业

判断下列方程组是否有解，若有解求出通解：
\(\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases}\)
提示：先写出增广矩阵，化为阶梯形，比较 \(\mathrm{rank}(A)\) 与 \(\mathrm{rank}(\bar{A})\)。
设 \(A\) 是 \(3 \times 5\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = 2\)。求齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 解空间的维数，并说明基础解系含几个向量。
已知非齐次方程组 \(Ax = \beta\) 有两个不同的解 \(\eta_1, \eta_2\)，证明 \(\eta_1 - \eta_2\) 是对应导出组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解，并由此说明该非齐次方程组必有无穷多解。
设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = r\)。证明：若 \(r = n\)，则对任意 \(\beta \in K^m\)，方程组 \(Ax = \beta\) 至多有一个解。
（思考）为什么"增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩"这一条件如此优美？试着从几何角度理解：\(\beta\) 落在系数列向量张成的子空间中，等价于方程组相容。
（选做）设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵且 \(\det A \neq 0\)。证明：对任意 \(\beta \in K^n\)，方程组 \(Ax = \beta\) 有唯一解，并写出解的表达式 \(x = A^{-1}\beta\)。

下一集预告第 P37 集 · 十九：继续深入解空间理论，讨论解空间的维数公式、基础解系的计算技巧，以及非齐次方程组解集的仿射结构。