高等代数 · 课程学习笔记

第 P37 集 · 十九：齐次线性方程组解空间、基础解系

Solution Space and Fundamental System of Solutions of Homogeneous Linear Equations
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P37 / 151 集 核心概念：解空间 · 基础解系 · 维数公式 · 自由未知量
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◎学习目标

  1. 理解齐次线性方程组解集构成 \(K^n\) 的子空间（解空间）；
  2. 掌握基础解系的定义：解空间的一组基；
  3. 会证明解空间对加法和数乘封闭；
  4. 掌握基础解系中向量个数的公式：\(n - r\)，其中 \(r = \mathrm{rank}(A)\)；
  5. 学会通过自由未知量赋值法构造基础解系；
  6. 能用基础解系写出齐次方程组的通解公式。

1解空间的定义与子空间判定 ⏱ 00:02

考虑数域 \(K\) 上的 \(n\) 元齐次线性方程组：

\[ A x = \mathbf{0}, \quad A \in K^{m \times n},\ x \in K^n \]

所有解的集合记作 \(W\)，即：

\[ W = \{ x \in K^n \mid Ax = \mathbf{0} \} \]
定义 · 解空间 齐次线性方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的全体解构成的集合 \(W\)，称为该方程组的解空间。解空间是 \(K^n\) 的一个子空间。⏱ 02:15
证明：解空间 \(W\) 是 \(K^n\) 的子空间

非空性：零向量 \(\mathbf{0} \in K^n\) 满足 \(A\mathbf{0} = \mathbf{0}\)，故 \(\mathbf{0} \in W\)，\(W \neq \emptyset\)。⏱ 03:30

加法封闭性：设 \(\alpha, \beta \in W\)，即 \(A\alpha = \mathbf{0}\)，\(A\beta = \mathbf{0}\)。则：

\[ A(\alpha + \beta) = A\alpha + A\beta = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} \]

故 \(\alpha + \beta \in W\)，加法封闭。⏱ 05:20

数乘封闭性：设 \(\alpha \in W\)，\(k \in K\)。则：

\[ A(k\alpha) = k(A\alpha) = k \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \]

故 \(k\alpha \in W\)，数乘封闭。综上，\(W\) 是 \(K^n\) 的子空间。⏱ 06:45

几何意义解空间 \(W\) 是过原点的"平面"（子空间），非齐次方程组的解集是不过原点的"仿射平面"（平移后的子空间）。

2基础解系的概念 ⏱ 08:30

既然解空间 \(W\) 是 \(K^n\) 的子空间，我们就可以用子空间理论来研究它。关键是找到 \(W\) 的一组基。

定义 · 基础解系 设 \(W\) 是齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解空间。\(W\) 中的一组向量 \(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s\) 称为基础解系，如果满足：
  1. \(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s\) 线性无关；
  2. \(W\) 中任一解向量均可由 \(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s\) 线性表出。
基础解系就是解空间 \(W\) 的一组基。⏱ 10:15
基础解系的性质 基础解系不唯一（基不唯一），但任意两个基础解系所含向量个数相同，都等于解空间的维数 \(\dim W\)。⏱ 11:40

3解空间维数公式 ⏱ 13:00

定理 · 解空间维数公式 设 \(A\) 是数域 \(K\) 上 \(m \times n\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = r\)。则齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解空间 \(W\) 满足：
\[ \dim W = n - r \]
即基础解系含有 \(n - r\) 个线性无关的解向量。⏱ 14:30
证明思路：阶梯形矩阵的自由未知量

对系数矩阵 \(A\) 作初等行变换化为阶梯形矩阵 \(U\)。由于初等行变换不改变矩阵的秩，\(U\) 的非零行数也是 \(r\)，即有 \(r\) 个主元（约束量），\(n - r\) 个自由未知量。⏱ 15:45

解空间维数 ≥ n-r：通过自由未知量赋值法可构造出 \(n-r\) 个线性无关的解向量（见下节构造方法），故 \(\dim W \geq n - r\)。

解空间维数 ≤ n-r：任一解由 \(n-r\) 个自由未知量唯一确定（约束量由自由未知量线性表出），故解空间与 \(K^{n-r}\) 同构，\(\dim W \leq n - r\)。

综上，\(\dim W = n - r\)。⏱ 18:20

核心结论齐次方程组有非零解 \(\iff \mathrm{rank}(A) < n\) \(\iff \dim W = n - r \geq 1\)。这是解的存在性与解空间维数的桥梁。

4基础解系的构造方法 ⏱ 20:00

设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = r < n\)。构造基础解系的标准步骤如下：

构造算法
  1. 化阶梯形：对 \(A\) 作初等行变换化为行最简阶梯形，确定 \(r\) 个约束量和 \(n-r\) 个自由未知量。
  2. 写出一般解：将约束量用自由未知量表示，得到一般解参数形式。
  3. 依次赋值：令第 \(i\) 个自由未知量取 1，其余自由未知量取 0（\(i = 1, 2, \ldots, n-r\)），回代求出约束量的值，得到 \(n-r\) 个解向量 \(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}\)。
  4. 验证无关：这 \(n-r\) 个解向量在自由未知量位置构成的子向量是标准基向量，故线性无关，构成基础解系。
⏱ 22:15
为什么这样构造的向量一定线性无关？

设自由未知量为 \(x_{r+1}, x_{r+2}, \ldots, x_n\)，对应的解向量为：

\[ \xi_1 = (-b_{1,r+1}, \ldots, -b_{1,n},\ 1,\ 0, \ldots, 0)^T \] \[ \xi_2 = (-b_{2,r+1}, \ldots, -b_{2,n},\ 0,\ 1, \ldots, 0)^T \] \[ \qquad\vdots \] \[ \xi_{n-r} = (-b_{n-r,r+1}, \ldots, -b_{n-r,n},\ 0,\ 0, \ldots, 1)^T \]

后 \(n-r\) 个分量（自由未知量对应位置）构成单位矩阵 \(I_{n-r}\)，故 \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}\) 线性无关。⏱ 24:30

又因为任一解都可以写成自由未知量的线性组合，进而可以写成 \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}\) 的线性组合，所以它们张成整个解空间。证毕。

5具体计算示例 ⏱ 28:00

例：求齐次方程组

\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 0 \\ 3x_1 + 6x_2 + 7x_3 + 8x_4 = 0 \end{cases} \]

的基础解系和通解。

完整计算过程

第一步：系数矩阵化为阶梯形

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

第二步：确定约束量与自由未知量

\(\mathrm{rank}(A) = r = 2\)，约束量为 \(x_1, x_3\)，自由未知量为 \(x_2, x_4\)。自由未知量个数 \(n - r = 4 - 2 = 2\)。⏱ 30:20

第三步：写出一般解

\[ x_3 = -2x_4, \quad x_1 = -2x_2 - 3x_3 = -2x_2 + 6x_4 \]

一般解为：

\[ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

第四步：取基础解系

\[ \xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

第五步：写出通解

\[ x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 = k_1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k_1, k_2 \in K \]

解空间 \(W = \mathrm{span}(\xi_1, \xi_2)\)，\(\dim W = 2 = 4 - 2\)。⏱ 33:10

★重点回顾

1
解空间：齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解集构成 \(K^n\) 的子空间，记作 \(W = \ker(A)\)。
2
基础解系：解空间 \(W\) 的一组基，含 \(n - r\) 个线性无关向量（\(r = \mathrm{rank}(A)\)）。
3
维数公式：\(\dim W = n - \mathrm{rank}(A)\)。这是线性代数中最核心的公式之一。
4
构造方法：化阶梯形 → 确定自由未知量 → 依次赋 \((1,0,\ldots,0),\ldots\) → 回代得基础解系。
5
有非零解的充要条件：\(\mathrm{rank}(A) < n\)（即系数矩阵的秩小于未知量个数）。
6
通解公式：\(x = k_1\xi_1 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}\)，其中 \(\xi_i\) 是基础解系，\(k_i\) 是任意常数。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆约束量与自由未知量：约束量（主元变量）对应阶梯形矩阵的主元列；自由未知量对应非主元列。选错会导致一般解表达式错误。
  2. 基础解系向量个数算错：基础解系含 \(n - r\) 个向量，其中 \(r = \mathrm{rank}(A)\) 是系数矩阵的秩，不是增广矩阵的秩，也不是方程个数 \(m\)。
  3. 忘记验证线性无关：虽然按上述方法构造的向量天然线性无关，但在其他情形下随意取几个解向量，必须验证它们线性无关才能称其为"基础解系"。
  4. 把特解当基础解系：特解是非齐次方程组的单个解；基础解系是齐次方程组解空间的基，二者概念完全不同。
  5. 系数矩阵秩为零的情形：若 \(A = O\)（零矩阵），则 \(\mathrm{rank}(A) = 0\)，解空间为全空间 \(K^n\)，基础解系就是标准基 \(e_1, \ldots, e_n\)，维数为 \(n\)。

✎自测与作业

  1. 验证解空间 \(W = \{x \in K^n \mid Ax = \mathbf{0}\}\) 对加法和数乘封闭，从而是 \(K^n\) 的子空间（参照本笔记 s1 折叠证明）。
  2. 求下列齐次方程组的基础解系和解空间维数：
    \(\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0 \\ 3x_1 + 3x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases}\)
  3. 设 \(A\) 是 \(5 \times 7\) 矩阵，\(\mathrm{rank}(A) = 3\)。求齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 解空间的维数，并说明基础解系含几个向量。
  4. （证明题）设 \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}\) 是齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的 \(n-r\) 个线性无关解，证明它们构成解空间的一组基（即构成基础解系）。
  5. 设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵。证明：\(A\) 不可逆 \(\iff\) 齐次方程组 \(Ax = \mathbf{0}\) 有非零解 \(\iff\) \(\mathrm{rank}(A) < n\)。
  6. （思考）解空间 \(W\) 与矩阵 \(A\) 的零空间 \(\ker(A)\) 是同一个概念吗？它们在什么意义上等价？
下一集预告 第 P38 集 · 二十：进一步研究非齐次线性方程组的解的结构，探讨通解公式、特解与导出组的关系，以及解集作为仿射子空间的几何结构。