第 P38 集 · 二十：非齐次线性方程组解的结构

必要性（⇒）：若方程组有解 \(x^* = (x_1^*, \ldots, x_n^*)^T\)，则 \(\beta = \sum_{j=1}^{n} x_j^*\alpha_j\)，即 \(\beta\) 属于系数列向量组生成的子空间 \(\mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)。因此：

两子空间相等，维数相同，故 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A)\)。⏱ 03:30

充分性（⇐）：若 \(\mathrm{rank}(\bar{A}) = \mathrm{rank}(A) = r\)，由于 \(\mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \subseteq \mathrm{span}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta)\) 且两者维数相等，故两子空间相等。从而 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) 线性表出，即方程组有解。⏱ 05:10

因为 \(\eta_1, \eta_2\) 都是 \(Ax = \beta\) 的解，所以：

两式相减：

故 \(\eta_1 - \eta_2\) 满足齐次方程 \(Ax = \mathbf{0}\)，即属于导出组的解空间 \(W\)。⏱ 09:40

推论：反过来，若 \(\eta^*\) 是 \(Ax = \beta\) 的一个特解，\(\xi\) 是导出组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的任一解，则 \(\eta^* + \xi\) 也是 \(Ax = \beta\) 的解：

这表明非齐次方程组的任何解都可以写成"特解 + 导出组解"的形式。⏱ 11:20

充分性：设 \(x = \eta^* + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\xi_i\)。则：

故 \(x\) 是 \(Ax = \beta\) 的解。⏱ 15:45

必要性：设 \(\eta\) 是 \(Ax = \beta\) 的任意一个解。由引理，\(\eta - \eta^*\) 是导出组 \(Ax = \mathbf{0}\) 的解。而 \(\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}\) 是导出组的基础解系，故：

即 \(\eta = \eta^* + k_1\xi_1 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}\)，其中 \(k_1, \ldots, k_{n-r}\) 是某组常数。这说明 \(Ax = \beta\) 的任一解都可写成通解公式的形式。⏱ 17:20

性质一：\(S\) 不是子空间（除非 \(\beta = \mathbf{0}\)）。因为 \(0 \notin S\)（否则 \(\eta^* \in W\)，推出 \(A\eta^* = \mathbf{0} \neq \beta\)）。

性质二：\(S\) 中任意两点之差属于 \(W\)。设 \(\eta_1, \eta_2 \in S\)，则 \(\eta_1 = \eta^* + w_1\)，\(\eta_2 = \eta^* + w_2\)，故 \(\eta_1 - \eta_2 = w_1 - w_2 \in W\)。

性质三：\(S\) 中任一点都可以表示为 \(\eta^* + w\)（\(w \in W\)），即 \(S = \eta^* + W\)。⏱ 23:10

第一步：增广矩阵化为阶梯形

第二步：判定有解

\(\mathrm{rank}(A) = 2\)，\(\mathrm{rank}(\bar{A}) = 2\)，秩相等，故方程组有解。自由未知量为 \(x_2, x_4\)，约束量为 \(x_1, x_3\)。自由未知量个数 \(= 4 - 2 = 2\)。⏱ 28:15

第三步：求特解

令自由未知量 \(x_2 = 0, x_4 = 0\)，回代得 \(x_3 = 3\)，\(x_1 = 5 - 2\cdot 0 - 3\cdot 3 = -4\)。取特解：

第四步：求导出组的基础解系

导出组为齐次方程组，一般解为：

令 \((x_2, x_4) = (1, 0)\) 得 \(\xi_1 = (-2, 1, 0, 0)^T\)；令 \((x_2, x_4) = (0, 1)\) 得 \(\xi_2 = (6, 0, -2, 1)^T\)。⏱ 30:40

第五步：写出通解

解集 \(S = \eta^* + W\) 是过点 \(\eta^*\)、平行于解空间 \(W = \mathrm{span}(\xi_1, \xi_2)\) 的二维仿射平面。⏱ 32:10