第 P39 集 · 二十一：齐次线性方程组解空间维数

将上述 \(n-r\) 个解向量在自由位置上的部分记为向量组 \(\beta_1,\dots,\beta_{n-r}\)，它们显然线性无关。再将每个 \(\beta_i\) 添上前面 \(r\) 个固定位置的数值（由自由变量唯一确定），得到原方程组的解向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r}\)。⏱ 08:30

由于"线性无关向量组的延伸组仍线性无关"，故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r}\) 也线性无关。这是本集证明中的关键一步。

第一步：先构造 \(n-r\) 个线性无关的解向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r}\)（见本节 s1 的构造方法）。⏱ 00:11

第二步：再证任意解 \(\eta\) 均可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r}\) 线性表出。设 \(\eta=(c_1,\dots,c_n)^T\) 是任一解，则由一般解公式，自由位置 \(x_{r+k}=c_{r+k}\)，而固定位置的值由自由位置唯一确定。⏱ 03:30

第三步：将固定位置用一般解公式替换，提取公因子 \(c_{r+1},\dots,c_n\)，可得：

结论：\(\dim W = n-r\)，基就是这 \(n-r\) 个解向量，称为基础解系。

设 \(\gamma_1=(a_1,\dots,a_n)^T\)，\(\gamma_2=(b_1,\dots,b_n)^T\) 都是 \(Ax=\beta\) 的解，则 \(A\gamma_1=\beta\)，\(A\gamma_2=\beta\)。⏱ 20:20

于是 \(A(\gamma_1-\gamma_2)=A\gamma_1-A\gamma_2=\beta-\beta=0\)，即 \(\gamma_1-\gamma_2\in W\)。证毕。

设 \(\gamma\in U\)，\(\alpha\in W\)，则 \(A\gamma=\beta\)，\(A\alpha=0\)。⏱ 22:30

于是 \(A(\gamma+\alpha)=A\gamma+A\alpha=\beta+0=\beta\)，即 \(\gamma+\alpha\in U\)。证毕。

第一步（\(\gamma_0+W\subseteq U\)）：对任意 \(\alpha\in W\)，由性质二知 \(\gamma_0+\alpha\in U\)，故 \(\gamma_0+W\subseteq U\)。⏱ 15:42

第二步（\(U\subseteq\gamma_0+W\)）：对任意 \(\gamma\in U\)，考虑 \(\gamma-\gamma_0\)。由性质一知 \(\gamma-\gamma_0\in W\)，记 \(\alpha=\gamma-\gamma_0\)，则 \(\gamma=\gamma_0+\alpha\in\gamma_0+W\)。故 \(U\subseteq\gamma_0+W\)。⏱ 16:42

结论：两集合互相包含，故相等。证毕。