高等代数 · 课程学习笔记

第 P41 集 · 二十三：子空间维数公式

Dimension Formula for Subspaces
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P41 / 151 集 核心概念：子空间交 · 子空间并集非子空间 · 子空间的和 · 维数公式 · 基的扩充
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◎学习目标

  1. 理解子空间交满足结合律：\(\bigcap_{i=1}^{s} V_i\) 是唯一的子空间；
  2. 知道子空间的并集一般不是子空间，从而引出子空间的"和"的定义；
  3. 掌握子空间的和 \(V_1 + V_2\) 的定义与性质（交换律、结合律）；
  4. 记住命题 1：两个由向量组生成的子空间之和 = 由合并向量组生成的子空间；
  5. 理解并会证明子空间维数公式：\(\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)；
  6. 会用维数公式判断子空间关系（交为零子空间 ⟺ 和的维数 = 维数之和）。

1子空间交的结合律 ⏱ 01:00

集合有交，子空间的交仍是子空间。由于集合交满足结合律，子空间的交运算自然满足结合律。

记号 · 多个子空间的交 设 \(V_1, V_2, \dots, V_s\) 是 \(V\) 的子空间，定义
\[ \bigcap_{i=1}^{s} V_i = V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_s. \]
由于结合律，这个交与计算的括号顺序无关，结果是唯一的子空间。⏱ 01:05
老师强调 "每两个子空间交都是一个子空间，三个子空间交的还是子空间，所以若干个子空间交也是唯一的子空间。"⏱ 01:40

2并集为什么不是子空间 ⏱ 01:46

集合有并，但子空间的并集一般不是子空间。

反例 · 两个平面的并集 设 \(V_1, V_2\) 是三维几何空间中过原点的两个不同平面。取 \(\alpha_1 \in V_1\)、\(\alpha_2 \in V_2\)。若 \(V_1 \cup V_2\) 是子空间，则 \(\alpha_1 + \alpha_2\) 应在并集中。但按平行四边形法则，\(\alpha_1 + \alpha_2\) 一般既不在 \(V_1\) 也不在 \(V_2\) 中，矛盾。⏱ 02:20
老师总结 "并集不是子空间的硬算。并完一下它不是子空间了，跑出去了。"⏱ 02:47

3子空间的和 \(V_1 + V_2\) ⏱ 03:12

既然并集不行，我们需要找包含 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中所有向量的最小子空间。由子空间对加法封闭的性质，必须包含所有形如 \(\alpha_1 + \alpha_2\) 的向量（\(\alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\)）。

定义 · 子空间的和 设 \(V_1, V_2\) 是 \(V\) 的子空间，定义
\[ V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 \mid \alpha_1 \in V_1,\ \alpha_2 \in V_2\}. \]
记作 \(V_1 + V_2\)，读作"\(V_1\) 加 \(V_2\) 的和"。⏱ 04:10
验证 \(V_1 + V_2\) 是子空间

非空：零向量 \(\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}\)，其中第一个 \(\mathbf{0} \in V_1\)，第二个 \(\mathbf{0} \in V_2\)，故 \(\mathbf{0} \in V_1 + V_2\)。⏱ 05:00

对加法封闭：取两个元素 \(\alpha_1 + \alpha_2\) 和 \(\beta_1 + \beta_2\)（\(\alpha_1,\beta_1 \in V_1\)，\(\alpha_2,\beta_2 \in V_2\)），则

\[ (\alpha_1 + \alpha_2) + (\beta_1 + \beta_2) = (\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2), \]

其中 \(\alpha_1 + \beta_1 \in V_1\)，\(\alpha_2 + \beta_2 \in V_2\)，故结果仍属于 \(V_1 + V_2\)。⏱ 05:30

对数乘封闭：对 \(k \in \mathbb{F}\)，

\[ k(\alpha_1 + \alpha_2) = k\alpha_1 + k\alpha_2, \]

其中 \(k\alpha_1 \in V_1\)，\(k\alpha_2 \in V_2\)，故结果仍属于 \(V_1 + V_2\)。⏱ 06:37

三条均满足，\(V_1 + V_2\) 是 \(V\) 的子空间。它是包含 \(V_1 \cup V_2\) 的最小子空间。

4子空间和的交换律与结合律 ⏱ 07:15

性质 · 交换律
\[ V_1 + V_2 = V_2 + V_1. \]
由向量加法的交换律直接得到。⏱ 07:15
性质 · 结合律
\[ (V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3). \]
由向量加法的结合律直接得到。每两个子空间之和仍是子空间，因此 \(s\) 个子空间的和是唯一确定的。⏱ 08:26
记号 · 多个子空间的和 有限多个子空间的和用 \(\Sigma\) 表示：
\[ \sum_{i=1}^{s} V_i = V_1 + V_2 + \cdots + V_s. \]
注意区分：\(\sum\)（Sigma）表示子空间的和；\(\bigoplus\)（圆圈的加号）表示子空间的直和。⏱ 08:40

5生成子空间的和（命题 1）⏱ 09:30

设 \(V_1\) 由向量组 \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\) 生成，\(V_2\) 由向量组 \(\beta_1, \dots, \beta_r\) 生成。

命题 1 · 生成子空间的和
\[ [\alpha_1, \dots, \alpha_s] + [\beta_1, \dots, \beta_r] = [\alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta_1, \dots, \beta_r]. \]
即：两个由向量组生成的子空间之和 = 由合并后的向量组生成的子空间。⏱ 11:25
证明

\(\subseteq\)：\(V_1 + V_2\) 中任一向量为 \(\alpha_1\) 的线性组合 + \(\beta_1\) 的线性组合，即合并向量组的线性组合，故属于合并向量组生成的子空间。

\(\supseteq\)：合并向量组的任一线性组合可拆为 \(\alpha\)-部分的组合 + \(\beta\)-部分的组合，分别属于 \(V_1\) 和 \(V_2\)，故属于 \(V_1 + V_2\)。

双向包含，命题得证。⏱ 12:15

老师点评 "非常容易，但这个命题有非常有用。"⏱ 12:12

6子空间维数公式的猜测 ⏱ 13:20

设 \(V_1, V_2\) 都是有限维子空间。由命题 1 和子空间交的定义，自然产生四个对象：\(V_1\)、\(V_2\)、\(V_1 \cap V_2\)、\(V_1 + V_2\)。它们各有一个维数（自然数），这四个数之间有什么关系？

几何直觉 · 猜测 三维几何空间 \(V\) 中，设 \(V_1, V_2\) 都是二维平面，\(V_1 \cap V_2\) 是一维直线（维数为 1），\(V_1 + V_2 = V\)（维数为 3）。
\[ 2 + 2 - 1 = 3 \]
即 \(\dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = \dim(V_1 + V_2)\)。"这个小学在这里连，加减号连起来。"⏱ 14:40
猜想 · 子空间维数公式 对有限维子空间 \(V_1, V_2\)，有
\[ \dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2. \]

7维数公式的证明 ⏱ 15:35

设 \(\dim(V_1 \cap V_2) = m\)，\(\dim V_1 = n_1\)，\(\dim V_2 = n_2\)。目标：证明 \(\dim(V_1 + V_2) = n_1 + n_2 - m\)。

证明过程（基的扩充方法）

第一步：取交的一个基。从最小的子空间 \(V_1 \cap V_2\) 中取基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\)。⏱ 15:50

第二步：扩充为 \(V_1\) 的基。将 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\) 扩充为 \(V_1\) 的基，添加 \(\beta_1, \dots, \beta_{n_1-m}\)。

\[ \{\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n_1-m}\} \text{ 是 } V_1 \text{ 的一个基。} \]

第三步：扩充为 \(V_2\) 的基。将 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\) 扩充为 \(V_2\) 的基，添加 \(\gamma_1, \dots, \gamma_{n_2-m}\)。

\[ \{\alpha_1, \dots, \alpha_m, \gamma_1, \dots, \gamma_{n_2-m}\} \text{ 是 } V_2 \text{ 的一个基。} \]

第四步：确定 \(V_1 + V_2\) 的基。由命题 1，\(V_1 + V_2\) 由合并向量组生成：

\[ \{\alpha_1, \dots, \alpha_m,\ \beta_1, \dots, \beta_{n_1-m},\ \gamma_1, \dots, \gamma_{n_2-m}\}. \]

其中 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\) 在两组基中重复，去重后实际向量为 \(m + (n_1 - m) + (n_2 - m) = n_1 + n_2 - m\) 个。⏱ 17:50

这组向量线性无关（可从构造验证），且生成 \(V_1 + V_2\)，故

\[ \dim(V_1 + V_2) = n_1 + n_2 - m. \]

移项即得维数公式。证毕。

老师强调 "子空间维数公式，很著名的子空间的维数公式，很重要的结论。重要的不得了。"⏱ 16:40

8推论与几何直觉 ⏱ 18:45

推论 1 · 维数公式的变形
\[ \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2). \]
特别地，若 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)（交为零子空间），则
\[ \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2. \]
这就是直和的维数公式（将在 P44 集详细讨论）。⏱ 19:10
几何例子 三维几何空间中：
  • 两个不共线的平面（均过原点）：\(\dim V_1 = 2, \dim V_2 = 2\)，交为一维直线（\(\dim = 1\)），和为整个三维空间（\(\dim = 3\)）。验证：\(1 + 3 = 2 + 2\)。✓
  • 平面与不在此平面内的直线：\(\dim = 2 + 1 - 0 = 3\)（交为零子空间，直和）。✓
老师方法论 "我教数学思维方式学数学，你到哪个例子看看就明白了。拿一个例子去看，来我猜，可能一般也有猜。如果这个猜证明了，那这个就定了。"⏱ 14:00

★重点回顾

1
子空间交满足结合律：\(\bigcap_{i=1}^{s} V_i\) 是唯一的子空间，与括号顺序无关。
2
并集不是子空间：\(V_1 \cup V_2\) 一般不满足加法封闭，因此需要定义新的运算——子空间的和。
3
子空间的和：\(V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2\}\) 是包含 \(V_1 \cup V_2\) 的最小闭子空间，满足交换律、结合律。
4
命题 1：\([\alpha_1,\dots,\alpha_s] + [\beta_1,\dots,\beta_r] = [\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_r]\)，生成子空间的和 = 合并向量组生成的子空间。
5
子空间维数公式：\(\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。证明核心：从交中取基，分别扩充到两个子空间，合并去重后计数。
6
直和维数：若 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)，则 \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)，即直和的维数 = 维数之和。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 子空间并集 ≠ 子空间：不要将 \(V_1 \cup V_2\) 当作子空间使用。必须用"和" \(V_1 + V_2\) 代替。
  2. 维数公式中"交"和"和"不能搞反：\(\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)，是"交 + 和 = 各自维数之和"，而不是"交 = 和"。
  3. 基扩充时不要漏掉"去重"：两组基共享了 \(m\) 个交中的基向量，合并后实际独立向量个数为 \(n_1 + n_2 - m\)，不是 \(n_1 + n_2\)。
  4. 维数公式要求有限维：若 \(V_1\) 或 \(V_2\) 是无限维，维数为 \(\infty\)，公式失去数值意义（但"交为零子空间 ⟹ 直和"仍然成立）。

✎自我检测

  1. 设 \(V\) 是三维空间，\(V_1\) 是过原点的平面，\(V_2\) 是过原点且不在 \(V_1\) 内的直线。求 \(\dim(V_1 + V_2)\) 和 \(\dim(V_1 \cap V_2)\)。
  2. 设 \(V_1, V_2\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的子空间，且 \(\dim V_1 + \dim V_2 > n\)。证明 \(V_1 \cap V_2 \neq \{\mathbf{0}\}\)。（提示：用维数公式反证。）
  3. 设 \(V_1\) 由 \(\alpha_1, \alpha_2\) 生成，\(V_2\) 由 \(\beta_1, \beta_2\) 生成。证明 \(V_1 + V_2\) 由 \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\) 生成。
  4. 设 \(\dim V_1 = 5\)，\(\dim V_2 = 4\)，\(\dim(V_1 \cap V_2) = 2\)。求 \(\dim(V_1 + V_2)\)。
  5. 证明：若 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\) 且 \(\dim V_1 + \dim V_2 = \dim V\)，则 \(V_1 + V_2 = V\)。（即 \(V\) 是 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的直和。）
  6. （思考）在 \(\mathbb{R}^3\) 中，取 \(V_1\) 为 \(xy\)-平面，\(V_2\) 为 \(yz\)-平面。验证维数公式，并说明 \(V_1 + V_2\) 和 \(V_1 \cap V_2\) 分别是什么。
下一集预告 第 P42 集将继续讨论子空间的相关运算与性质，为 P43 的"直和四个命题"做铺垫。