高等代数 · 课程学习笔记

第 P43 集 · 二十五：子空间直和的 4 个命题、补空间

Four Equivalent Conditions for Direct Sum of Subspaces; Complementary Subspaces
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P43 / 151 集 核心概念：直和四个等价命题 · 基的并集 · 补空间 · 有限维补空间存在性
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◎学习目标

  1. 理解两个子空间 \(V_1, V_2\) 是直和的四个等价条件（命题 1–4）；
  2. 掌握证明 命题 2 ⟹ 命题 4：若零向量表法唯一，则两个基的并集是和的基；
  3. 掌握证明 命题 4 ⟹ 命题 2：若两个基的并集是和的基，则零向量表法唯一；
  4. 理解直和的维数刻画：\(V_1 + V_2\) 是直和 \(\Longleftrightarrow\) \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)；
  5. 掌握补空间的定义：\(V = V_1 \oplus V_2\) 时，\(V_2\) 是 \(V_1\) 的补空间；
  6. 证明有限维空间中每个子空间都存在补空间，且补空间不唯一。

1四个命题的引出 ⏱ 00:00

前一集已讨论两个子空间 \(V_1, V_2\) 是直和的几个特征。本集系统性地给出四个命题，并证明它们彼此等价。

四个命题 · 总述 设 \(V_1, V_2\) 是线性空间 \(V\) 的子空间（可有限维，也可无限维），则下列四个命题等价：
  1. 命题 1：\(V_1 + V_2\) 是直和，即 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)；
  2. 命题 2：\(V_1 + V_2\) 中零向量的表法唯一，即若 \(\mathbf{0} = \alpha_1 + \alpha_2\)（\(\alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\)），则 \(\alpha_1 = \alpha_2 = \mathbf{0}\)；
  3. 命题 3：\(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)（交为零子空间）；
  4. 命题 4：\(V_1\) 的一个基 \(S_1\) 与 \(V_2\) 的一个基 \(S_2\) 的并集 \(S_1 \cup S_2\) 是 \(V_1 + V_2\) 的一个基。⏱ 01:40
注意：命题 4 对无限维空间也成立（基是极大线性无关组），这是它威力所在。⏱ 16:35
老师提醒 "这个领像量在核里面，领像量表法唯一很有意思的。刚才我们已经稍微领略了一下它的风采了。"⏱ 00:01

2命题 1 ⟺ 命题 2 ⏱ 01:55

命题 1 ⟹ 命题 2 若 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)，设 \(\mathbf{0} = \alpha_1 + \alpha_2\)（\(\alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\)）。 则 \(\alpha_1 = -\alpha_2 \in V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)，故 \(\alpha_1 = \alpha_2 = \mathbf{0}\)。零向量表法唯一。
命题 2 ⟹ 命题 1（命题 3） 若零向量表法唯一，设 \(\alpha \in V_1 \cap V_2\)。则 \(\mathbf{0} = \alpha + (-\alpha)\)，其中 \(\alpha \in V_1\)，\(-\alpha \in V_2\)。由表法唯一，\(\alpha = \mathbf{0}\)。故 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)。
老师说明 "一跟二等价。一推二显然，二推一也显然。"⏱ 17:10

3命题 2 ⟹ 命题 4 ⏱ 02:15

这是本集证明难度最大的一步。假设零向量表法唯一，要证明：\(V_1\) 的基 \(S_1\) 与 \(V_2\) 的基 \(S_2\) 的并集是 \(V_1 + V_2\) 的基。

证明（分两步：线性无关 + 生成）

第一步：证明 \(S_1 \cup S_2\) 线性无关。⏱ 02:30

取 \(S_1 \cup S_2\) 的任一个有限子集，设其中来自 \(S_1\) 的向量为 \(\gamma_1, \dots, \gamma_t\)，来自 \(S_2\) 的向量为 \(\delta_1, \dots, \delta_r\)。设

\[ k_1\gamma_1 + \cdots + k_t\gamma_t + l_1\delta_1 + \cdots + l_r\delta_r = \mathbf{0}. \]

左端第一项在 \(V_1\) 中，第二项在 \(V_2\) 中。由零向量表法唯一（命题 2），

\[ k_1\gamma_1 + \cdots + k_t\gamma_t = \mathbf{0}, \quad l_1\delta_1 + \cdots + l_r\delta_r = \mathbf{0}. \]

\(S_1\) 线性无关 \(\Rightarrow\) \(k_1 = \cdots = k_t = 0\)；\(S_2\) 线性无关 \(\Rightarrow\) \(l_1 = \cdots = l_r = 0\)。⏱ 06:29

故 \(S_1 \cup S_2\) 的每个有限子集都线性无关，由定义，\(S_1 \cup S_2\) 线性无关。

第二步：证明 \(S_1 \cup S_2\) 生成 \(V_1 + V_2\)。⏱ 08:00

设 \(\alpha \in V_1 + V_2\)，则 \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)，其中 \(\alpha_1 \in V_1\)，\(\alpha_2 \in V_2\)。

\(\alpha_1\) 可由 \(S_1\) 中有限多个向量线性表出；\(\alpha_2\) 可由 \(S_2\) 中有限多个向量线性表出。因此 \(\alpha\) 可由 \(S_1 \cup S_2\) 中有限多个向量线性表出。

结合两步，\(S_1 \cup S_2\) 是 \(V_1 + V_2\) 的基。证毕。⏱ 10:14

关键技巧 利用"零向量表法唯一"把线性组合拆成两部分，再分别用基的线性无关性推出系数全零。这是本集最重要的证明技巧。

4命题 4 ⟹ 命题 2 ⏱ 10:45

反过来：若 \(S_1\) 是 \(V_1\) 的基，\(S_2\) 是 \(V_2\) 的基，且 \(S_1 \cup S_2\) 是 \(V_1 + V_2\) 的基，证明零向量表法唯一。

证明

设 \(\mathbf{0} = \alpha_1 + \alpha_2\)（\(\alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\)）。

\(\alpha_1\) 可由 \(S_1\) 中有限多个向量 \(\gamma_1, \dots, \gamma_m\) 线性表出：

\[ \alpha_1 = a_1\gamma_1 + \cdots + a_m\gamma_m. \]

\(\alpha_2\) 可由 \(S_2\) 中有限多个向量 \(\delta_1, \dots, \delta_t\) 线性表出：

\[ \alpha_2 = b_1\delta_1 + \cdots + b_t\delta_t. \]

代入 \(\mathbf{0} = \alpha_1 + \alpha_2\)，得

\[ a_1\gamma_1 + \cdots + a_m\gamma_m + b_1\delta_1 + \cdots + b_t\delta_t = \mathbf{0}. \]

\(\gamma_1, \dots, \gamma_m, \delta_1, \dots, \delta_t\) 都属于 \(S_1 \cup S_2\)，而 \(S_1 \cup S_2\) 是基（线性无关），故所有系数 \(a_1 = \cdots = a_m = b_1 = \cdots = b_t = 0\)。⏱ 14:30

于是 \(\alpha_1 = \mathbf{0}\) 且 \(\alpha_2 = \mathbf{0}\)。零向量表法唯一。证毕。

老师点评 "4 推 2 正法了。这个 4 跟 2 也推下来了。每两个都可以互相推出来。"⏱ 16:45

5命题 1 与 3 的等价 ⏱ 17:00

命题 1 本身就说 \(V_1 + V_2\) 是直和，而直和的定义等价于 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)，即命题 3。所以 1 ⟺ 3 是显然的。

等价关系总结 由前面的推导：
  • 1 ⟺ 2（交为零子空间 ⟺ 零向量表法唯一）
  • 2 ⟹ 4（零向量表法唯一 ⟹ 基的并集是和的基）
  • 4 ⟹ 2（基的并集是和的基 ⟹ 零向量表法唯一）
  • 1 ⟺ 3（直和 ⟺ 交为零子空间）
因此四个命题两两等价。⏱ 17:40

6定理 3 · 四个命题等价 ⏱ 18:00

定理 3 · 子空间直和的等价条件 设 \(V_1, V_2\) 是线性空间 \(V\) 的子空间，则下列四个命题等价：
\[ V_1 + V_2 \text{ 是直和} \;\Longleftrightarrow\; \text{零向量表法唯一} \;\Longleftrightarrow\; V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\} \;\Longleftrightarrow\; \text{基的并集是和的基}. \]
特别说明：命题 4（基的并集）对无限维空间也成立，不限于有限维。
老师强调 "尤其是第四个，它无限维也对。不仅有限维，你看看它的威力是多大。"⏱ 16:40
学习建议 老师建议在笔记本上把命题 2 ⟹ 4 和 4 ⟹ 2 的证明完整地再写一遍，"空一大页纸，递几本，把这个都写一下，对你特别有好处。"

7直和的维数刻画 ⏱ 18:40

当 \(V_1, V_2\) 都是有限维时，可以用维数语言来刻画直和。

推论 · 有限维直和的维数条件 设 \(V_1, V_2\) 是有限维子空间，则
\[ V_1 + V_2 \text{ 是直和} \;\Longleftrightarrow\; \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2. \]
证明：由 P41 的维数公式 \(\dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。
  • \(\Longrightarrow\)：若直和，则 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)，\(\dim = 0\)，故 \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。
  • \(\Longleftarrow\)：若 \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)，由维数公式得 \(\dim(V_1 \cap V_2) = 0\)，故交为零子空间，即直和。
⏱ 20:00
直观理解 "和的维数等于维数的和"——只有当两个子空间"不重叠"（交只有零向量）时，和的维数才恰好是维数相加，没有"浪费"在交上。

8补空间的定义与存在性 ⏱ 21:00

定义 · 补空间 设 \(V_1, V_2\) 是 \(V\) 的子空间。若
\[ V = V_1 \oplus V_2 \]
则称 \(V_2\) 是 \(V_1\) 的一个补空间（complementary subspace），\(V_1\) 也是 \(V_2\) 的一个补空间。⏱ 21:20
补空间的两个条件 \(V = V_1 \oplus V_2\) 等价于同时满足：
  1. \(V = V_1 + V_2\)（和的空间等于整个空间）；
  2. \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)（交为零子空间，即直和）。
证明补空间时，第一步证明 \(V = V_1 + V_2\) 通常较难（要分解向量），第二步证明交为零子空间通常较易。 ⏱ 22:20
定理 · 有限维空间中每个子空间都有补空间

设 \(V\) 是 \(n\) 维有限维线性空间，\(U\) 是 \(V\) 的子空间。

构造：取 \(U\) 的一个基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\)（其中 \(m = \dim U\)），扩充为 \(V\) 的基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\)。

令 \(W = [\beta_1, \dots, \beta_{n-m}]\)（由扩充部分生成的子空间）。

验证 \(V = U + W\)：\(V\) 的基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\) 中，前 \(m\) 个生成 \(U\)，后 \(n-m\) 个生成 \(W\)，合起来生成 \(V\)。

验证 \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\)：\(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\) 是 \(V\) 的基（线性无关），\(U\) 的基与 \(W\) 的基合起来是 \(U + W\) 的基（由定理 3 命题 4），故 \(U + W\) 是直和。⏱ 23:50

因此 \(V = U \oplus W\)，\(W\) 是 \(U\) 的一个补空间。

重要结论 有限维线性空间的任何一个子空间都存在补空间。

9补空间不唯一 ⏱ 24:30

几何例子 · 补空间不唯一 三维几何空间中，设 \(U\) 是过原点的平面。其补空间是一条过原点且不在 \(U\) 内的直线。但这样的直线有无穷多条——平面外任一条过原点的直线都是补空间。
\[ \text{过原点的平面 } U \subset \mathbb{R}^3 \text{ 的补空间} = \text{过原点且不在 } U \text{ 内的任意直线}. \]
补空间不唯一，"多的不得了"。⏱ 24:50
⚠ 注意 补空间虽然存在，但一般不唯一。不要误认为"补空间就是那个特定的子空间"。

★重点回顾

1
直和的四个等价命题：① \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)；② 零向量表法唯一；③ 交为零子空间；④ 基的并集是和的基。四者两两等价。
2
命题 4 的威力：不仅适用于有限维，对无限维也成立。这是直和判定最"基"层面的工具。
3
有限维直和的维数刻画：\(V_1 + V_2\) 是直和 \(\Longleftrightarrow\) \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。这是最常用的判定方法。
4
补空间定义：\(V = V_1 \oplus V_2\) 时称 \(V_2\) 是 \(V_1\) 的补空间。需验证两个条件：(1) \(V = V_1 + V_2\)；(2) \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)。
5
有限维补空间存在性：有限维空间中每个子空间都有补空间。构造方法：将子空间的基扩充为整个空间的基，后半部分生成补空间。
6
补空间不唯一：几何空间中，一个平面的补空间是平面外任意一条过原点的直线，有无穷多个。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 补空间必须验证两个条件：仅证明 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\) 不够，还必须证明 \(V = V_1 + V_2\)（和的空间是整个空间）。"交为零"只是直和的一部分。
  2. 补空间不唯一：不能假设"那个补空间"，要说"一个补空间"。同一子空间可能有多个不同的补空间。
  3. 命题 4 适用于无限维：不要误认为"基的并集是和的基"只在有限维成立。无限维的基是极大线性无关组，命题 4 依然成立。
  4. 维数刻画仅适用于有限维：\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\) 作为直和的判定条件，只在有限维情形有意义。无限维时维数为 \(\infty\)，不能做算术。

✎自我检测

  1. 设 \(V_1, V_2\) 是 \(V\) 的子空间，\(S_1\) 是 \(V_1\) 的基，\(S_2\) 是 \(V_2\) 的基。若 \(S_1 \cup S_2\) 线性无关，证明 \(V_1 \cap V_2 = \{\mathbf{0}\}\)。
  2. 设 \(V\) 是 4 维空间，\(V_1\) 是 2 维子空间，\(V_2\) 是 2 维子空间，且 \(\dim(V_1 + V_2) = 3\)。判断 \(V_1 + V_2\) 是否为直和，并说明理由。
  3. 设 \(V\) 是三维几何空间，\(U\) 是过原点的平面。写出 \(U\) 的一个补空间的构造方法（具体取基并扩充）。
  4. 证明：若 \(V = V_1 \oplus V_2\)，且 \(\dim V_1 = 2\)，\(\dim V = 5\)，则 \(\dim V_2 = 3\)。
  5. （思考）设 \(V_1, V_2, V_3\) 是三个子空间，且 \(V_1 \cap V_2 = V_2 \cap V_3 = V_1 \cap V_3 = \{\mathbf{0}\}\)。能否推出 \(V_1 \cap (V_2 + V_3) = \{\mathbf{0}\}\)？（考虑反例）
下一集预告 第 P44 集将讨论有限个子空间的直和与维数：将两个子空间的直和定义推广到 \(m\) 个子空间，并证明直和的维数公式 \(\dim(V_1 \oplus \cdots \oplus V_m) = \dim V_1 + \cdots + \dim V_m\)。