高等代数 · 课程学习笔记

第 P45 集 · 二十七：映射、定义域、值域、陪域、满射、单射、双射、同构

Mapping, Injective, Surjective, Bijective, Isomorphism
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P45 / 151 集 核心概念：映射 · 满射 · 单射 · 双射 · 同构映射
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◎学习目标

  1. 掌握映射的定义：集合A到集合B的对应法则，使得A中每个元素在B中有唯一确定的元素与之对应；
  2. 理解定义域、陪域、值域（象）的区别与联系，熟记记号 \(F(A)\) 与 \(\operatorname{Im} F\)；
  3. 掌握满射的定义与证明方法：任取陪域元素 \(b\)，找到定义域元素 \(a\) 使 \(F(a)=b\)；
  4. 掌握单射的两种等价表述，并会用"从 \(F(a_1)=F(a_2)\) 推出 \(a_1=a_2\)"的方法证明单射；
  5. 理解双射（一一对应）是同时满足单射与满射的特殊映射；
  6. 掌握同构映射的定义：双射 + 保持加法运算 + 保持数量乘法运算；
  7. 理解"两个线性空间同构"的含义：本质上有相同的线性结构，可通过同构映射相互转化。

1映射的基本概念 ⏱ 00:00

本集首先系统复习了映射的相关概念，为后面引入线性空间的同构做准备。给定两个集合 \(A\) 和 \(B\)：

定义 · 映射 设 \(A\) 和 \(B\) 是两个集合，如果存在一个对应法则 \(F\)，使得对 \(A\) 中的每一个元素 \(a\)，在 \(B\) 中都有⏱ 00:20唯一确定的元素 \(b\) 与之对应，则称 \(F\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的一个映射，记作 \(F: A \to B\)。

映射必须同时具备以下要素：

老师提示 "定义域里每个元素都有象，且象唯一，这是映射的核心要求。"丘老师强调，高中学习的函数是一种特殊类型的映射——陪域为数域的线性空间时的映射。⏱ 02:00
\[ F(A) = \{F(a) : a \in A\} \subseteq B = \operatorname{Im} F \]

值域是陪域的子集，可能等于陪域（满射情形），也可能是真子集。⏱ 01:20

2满射及其证明方法 ⏱ 02:30

定义 · 满射 设 \(F: A \to B\) 是一个映射。如果值域等于陪域，即
\[ F(A) = B \quad (\text{或 } \operatorname{Im} F = B) \]
则称 \(F\) 为满射。⏱ 02:30丘老师形象地说："做满了，同学们把椅子做满了。"
证明满射的标准方法

任取陪域的元素：任取 \(b \in B\)；

寻找定义域的原象：证明存在 \(a \in A\)，使得 \(F(a) = b\)。⏱ 03:00

由于 \(F(A) \subseteq B\) 恒成立，只需再证 \(B \subseteq F(A)\)，两者结合即得 \(F(A)=B\)。

例题思路 例如 \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(F(x)=x^3\)，证明其为满射：对任意 \(b \in \mathbb{R}\)，取 \(a=\sqrt[3]{b}\)，则 \(F(a)=b\)，证毕。⏱ 03:30

3单射及其等价表述 ⏱ 04:00

定义 · 单射 设 \(F: A \to B\) 是一个映射。如果 \(A\) 中不同的元素在 \(F\) 下的象也不同，即
\[ a_1 \neq a_2 \implies F(a_1) \neq F(a_2) \]
则称 \(F\) 为单射（或单叶映射）。⏱ 04:30
单射的逆否命题等价表述

单射的定义等价于其逆否命题：

\[ F(a_1) = F(a_2) \implies a_1 = a_2 \]

这是证明单射的标准方法：假设两个元素的象相等，推出这两个元素本身相等。⏱ 05:00丘老师特别强调这种证明方式的等价性，并要求学生用逆否命题的形式来组织证明。

小结：单射证明策略 要证明 \(F\) 是单射：
① 任取 \(a_1, a_2 \in A\)；
② 假设 \(F(a_1) = F(a_2)\)；
③ 由此推出 \(a_1 = a_2\)。⏱ 05:30

4双射与一一对应 ⏱ 06:00

定义 · 双射 如果映射 \(F: A \to B\) 既是单射又是满射，则称 \(F\) 为双射，也称一一对应。⏱ 06:15

丘老师特别提到映射相等的概念：

定义 · 映射相等 映射 \(F\) 与 \(G\) 相等（\(F=G\)）当且仅当满足三个条件：
  1. 定义域相同（都是 \(A\)）；
  2. 陪域相同（都是 \(B\)）；
  3. 对应法则相同（对一切 \(a \in A\)，\(F(a) = G(a)\)）。
易错提醒 高中时默认陪域都是实数集 \(\mathbb{R}\)，所以讲"两个函数相等"只需验证定义域和对应法则相同。但严格来说，映射相等必须加上陪域相同这一条件。⏱ 07:00

5同构映射的定义 ⏱ 07:30

本集的核心内容是引入线性空间的同构概念。丘老师先提出研究问题：

研究动机 研究线性空间结构的第三条途径：把数域 \(K\) 上的所有线性空间按"本质上有相同结构"进行分类，每类中选一个最简单的代表空间来研究。⏱ 00:15

具体地，设 \(V\) 和 \(V'\) 都是数域 \(K\) 上的线性空间：

定义 · 同构映射 设 \(\sigma: V \to V'\) 是一个映射。如果满足以下三个条件，则称 \(\sigma\) 为从 \(V\) 到 \(V'\) 的同构映射：
  1. 双射：\(\sigma\) 是单射且是满射；
  2. 保持加法：对任意 \(\alpha, \beta \in V\)，
    \[ \sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) \]
  3. 保持数量乘法：对任意 \(\alpha \in V\) 和 \(k \in K\)，
    \[ \sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha) \]

当存在从 \(V\) 到 \(V'\) 的同构映射时，称 \(V\) 与 \(V'\) 同构，记作 \(V \cong V'\)。⏱ 08:00

同构的直观含义

两个线性空间同构，意味着它们的线性结构完全相同：

  • 元素之间有一一对应关系（双射）；
  • 加法和数乘运算在对应当下"完全一致"（保持运算）。

丘老师比喻：这两个空间"本质上就是相同的结构"，从一个空间得到的结论可以直接平移到另一个空间。⏱ 08:30

重要结论 同构映射最重要的性质：⏱ 09:00
  • 把零向量映为零向量：\(\sigma(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_{V'}\)；
  • 保持线性组合：\(\sigma\left(\sum k_i\alpha_i\right) = \sum k_i\sigma(\alpha_i)\)；
  • 保持线性相关性：\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关 \(\iff\) \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性相关；
  • 保持线性无关性：\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关 \(\iff\) \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性无关；
  • 把基映为基：\(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 在 \(\sigma\) 下的象是 \(V'\) 的基。

★重点回顾

1
映射三要素：定义域 \(A\)、陪域 \(B\)、对应法则 \(F\)。值域（象）\(\operatorname{Im}F = F(A) \subseteq B\)。
2
满射：\(\operatorname{Im}F = B\)。证明方法：任取 \(b \in B\)，找 \(a \in A\) 使 \(F(a)=b\)。
3
单射：不同元素的象不同。证明方法：由 \(F(a_1)=F(a_2)\) 推出 \(a_1=a_2\)（逆否命题形式）。
4
双射：同时是单射和满射，即一一对应。
5
同构映射：双射 + 保持加法 + 保持数乘。它是线性空间之间的"结构 preserving"的一一对应。
6
同构映射的核心性质：把线性组合变成系数相同的线性组合，保持线性相关/无关性，把基变成基。

⚠易错提醒

常见错误
  1. 混淆值域与陪域：值域 \(\operatorname{Im}F\) 是陪域 \(B\) 的子集，只有满射时才等于陪域。不要默认值域就是陪域。
  2. 单射证明方向搞反：单射是"不同元素象不同"，证明时用逆否命题"象相同则元素相同"。不要写成"元素相同则象相同"（这是映射的定义，恒成立）。
  3. 忽略映射相等的第三个条件：两个映射相等需要定义域、陪域、对应法则三者都相同，缺一不可。
  4. 同构映射的条件不完整：同构映射必须是双射且保持两种运算，缺一不可。仅双射不够，仅保持运算也不够。
  5. 把"同构"当成"相等"：同构是结构相同，但空间本身作为集合可能不同（如多项式空间与坐标空间）。

✎自我检测

  1. 判断映射 \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(F(x)=x^2\) 是否为单射？是否为满射？说明理由。
  2. 证明映射 \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(F(x)=2x+1\) 是双射。（提示：分别证明单射和满射）
  3. 设 \(V\) 和 \(V'\) 都是数域 \(K\) 上的线性空间，\(\sigma: V \to V'\) 是同构映射。证明 \(\sigma(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_{V'}\)。
  4. 证明：若 \(\sigma: V \to V'\) 是同构映射，\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 是 \(V\) 中的向量组，则 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关当且仅当 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性无关。
  5. （思考题）设 \(V\) 为数域 \(K\) 上所有 \(n\) 次以下多项式构成的线性空间，证明 \(V\) 与 \(K^n\) 同构。
  6. （思考题）两个同构的线性空间，它们的维数是否一定相等？请给出理由。
下一集预告 第 P46 集将研究同构映射的性质，包括有限维线性空间同构的充要条件，以及同构映射如何将基映为基。