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◎学习目标
- 理解映射的合成（乘法）：若 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射、\(g\) 是 \(B\) 到 \(C\) 的映射，则先做 \(f\) 再做 \(g\) 的合成映射 \(gf\) 是 \(A\) 到 \(C\) 的映射；
- 掌握映射合成的结合律 \((hg)f = h(gf)\)，并了解它不满足交换律；
- 理解恒等变换 \(E_A\) 的定义及其在合成运算中充当单位元的角色：\(E_B f = f = f E_A\)；
- 掌握可逆映射的定义：存在 \(g\) 使得 \(gf = E_A\) 且 \(fg = E_B\)，此时 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\)；
- 证明逆映射的唯一性，并掌握 \((f^{-1})^{-1} = f\)、\(f\) 可逆 \(\Rightarrow\) \(f^{-1}\) 也可逆；
- 探索可逆映射与单射、满射、双射之间的联系（本集开启探索，下集完成证明）。
1引言：由线性空间同构引出的映射乘法 ⏱ 00:01
本集从一个实际问题引入。上一章建立了有限维线性空间 \(V\)（维数为 \(n\)）与 \(K^n\) 之间的同构映射 \(\sigma\)：\(\sigma\) 把 \(V\) 中的向量送到它的坐标。⏱ 00:02
例子 · 用同构"翻译"问题
若 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，且 \(\dim U = m\)，则 \(\sigma(U)\) 是 \(K^n\) 的 \(m\) 维子空间。于是研究 \(U\) 的结构可以"翻译"成研究 \(K^n\) 的子空间——这是利用同构来研究问题的常用方法，以后会用到很多。 ⏱ 00:31
回顾 · 线性空间的同构
本质上有相同结构的线性空间叫同构：元素有一一对应，而且保持加法、保持数乘。重要的充要条件：有限维线性空间同构 \(\Leftrightarrow\) 维数相等。这样我们从"同构"的途径研究线性空间的结构。 ⏱ 01:02
老师的问题
"比如说 \(V\) 到 \(V'\) 有一个同构映射 \(\sigma\)，\(V'\) 到 \(V''\) 有一个同构映射 \(\tau\)，那么 \(V\) 到 \(V''\) 有没有同构映射是谁？"——那就是先做 \(\sigma\) 再做 \(\tau\)，相继做两次映射的效果。 ⏱ 02:08
要回答这个问题，一般地就需要先研究"映射的乘法"（合成）：两个同构映射能否合成？合成后还是不是同构？本集先把映射的合成讲清楚。⏱ 02:54
2映射的合成（乘法）的定义 ⏱ 03:21
定义 · 映射的合成（乘法）
设 \(f\) 是集合 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(g\) 是集合 \(B\) 到 \(C\) 的映射。对 \(A\) 中的每一个元素 \(a\)，\(a\) 在 \(f\) 下的像唯一地确定为 \(b = f(a) \in B\)，\(b\) 在 \(g\) 下的像唯一地确定为 \(c = g(b) \in C\)。于是给定了 \(a\)，就确定了 \(c\)，得到把 \(A\) 中每个元素对应到 \(C\) 中唯一确定元素的对应法则。这个法则称为 \(g\) 与 \(f\) 的乘积（合成），记作 ⏱ 04:40
\[ gf(a) \;=\; g\big(f(a)\big). \]
即：先做右边的 \(f\)，再做左边的 \(g\)。
直观理解
"映射的合成实际上就是相继做两次映射：先做 \(f\) 这个映射，接着马上做 \(g\) 这个映射。相继做两次映射的效果，就是一个映射，就是 \(g\) 乘 \(f\)。"⏱ 06:47
⚠ 注意记号次序
\(gf\) 表示先做 \(f\)，后做 \(g\)——书写顺序与执行顺序相反，这与函数复合 \(g \circ f\) 的约定一致。老师特别强调："注意这个次序，我们的规定是这个。"⏱ 07:11
3映射合成的结合律 ⏱ 07:23
若还有 \(h\) 是 \(C\) 到 \(D\) 的映射，可以比较两条途径从 \(A\) 到 \(D\)：
\[ \begin{aligned}
\text{途径一}：\; (hg)f &\quad;\text{途径二}：\; h(gf) \\
\text{即先做 } f \text{ 再做 } g \text{ 然后做 } h &\quad;\text{或先做 } f \text{ 再做 } (g \text{ 合成 } h)
\end{aligned} \]
定理 · 映射的合成满足结合律
设 \(f: A \to B\)，\(g: B \to C\)，\(h: C \to D\)，则
\[ (hg)f \;=\; h(gf). \]
即映射的合成（乘法）满足结合律。⏱ 09:31
图示说明与严格证明思路
图示：对任一 \(a \in A\)，两条途径最终都送到 \(D\) 中同一个元素 \(d\)：先 \(f\) 得 \(b\)，再 \(g\) 得 \(c\)，再 \(h\) 得 \(d\)。无论"先合成 \(gf\) 还是先合成 \(hg\)"，中间过程相同，结果相同。 ⏱ 09:00
严格证明（按定义逐项验证）：对一切 \(a \in A\)，
\[ \big((hg)f\big)(a) = h\big(g(f(a))\big) = \big(h(gf)\big)(a). \]
定义集、值域、对应法则三者均相同，故 \((hg)f = h(gf)\)。老师说明："这个逻辑上的证明就我书上写了，自己看一下，我现在是图上解释一下。"⏱ 09:31
4交换律一般不成立 ⏱ 10:12
结论 · 映射合成交换律一般不成立
"映射的合成满足结合律，但是不满足交换律。"老师提到高中做过的"两次变换"（如先旋转再平移 vs 先平移再旋转）就满足不满足交换律，本集不举例子，以后碰到再说。 ⏱ 10:43
老师强调
"一般来讲，我们就需要这个先研究映射，因为你这个同构映射所谓是映射，映射能不能做成法（合成）……如果映射合成讲完了，它（\(V\) 到 \(V''\) 的同构映射）就会有了。" ⏱ 02:54
结合律的意义：多个映射相继合成时，加括号的方式不影响结果，因此可以写 \(hgf\) 而不必纠结括号——这是本引言问题（同构映射的传递性）能够成立的关键。⏱ 10:50
5变换与恒等变换 ⏱ 10:50
术语 · 变换
如果一个集合到自身的映射，我们通常称为这个集合上的变换（集合变换）。 ⏱ 10:50
定义 · 恒等变换
若 \(f\) 是集合 \(A\) 到 \(A\) 自身的映射，且把 \(A\) 里的每一个元素 \(a\) 映成它自己（\(f(a) = a\)），则称 \(f\) 是集合 \(A\) 上的恒等变换，记作
\[ E_A \quad(\text{或 } 1_A). \]
恒等变换相当于在某个代数结构里起"实数 1"的作用——在合成运算中充当单位元。⏱ 11:21
老师解释记号
"为什么写这个 \(E\)？因为 \(E\) 在实数里面就是一乘任何实数等于那个实数自己，有这个性质。……我比较形象的就记成这个。" ⏱ 12:12
6恒等变换的单位元作用 ⏱ 12:31
命题 · 恒等变换与映射合成
设 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射，则
\[ E_B \, f \;=\; f \;=\; f\, E_A, \]
即 \(f\) 右乘 \(A\) 上的恒等变换仍代表 \(f\) 本身，左乘 \(B\) 上的恒等变换仍代表 \(f\) 本身。 ⏱ 12:49
证明：\(f E_A = f\)
第一步（定义域与值域）：\(f\) 是 \(A\) 到 \(B\)，\(E_A\) 是 \(A\) 到 \(A\)，整个合成是 \(A\) 到 \(B\)，与 \(f\) 的定义域、值域相同。
第二步（对应法则）：对 \(A\) 中任何元素 \(a\)，先做恒等变换 \(a \mapsto a\)，再做 \(f\) 得 \(f(a)\)——对应法则与 \(f\) 完全相同。
定义域相同、值域相同、对应法则相同，所以这两个映射相等：\(f E_A = f\)。⏱ 13:34
类似地，\(E_B f = f\)（左乘 \(B\) 上的恒等变换），老师留作自证："类似的，下面是类似的，就不写了，回去可以自己补。" ⏱ 14:53
核心类比
"恒等变换起到实数 1 的作用：\(f\) 右乘一个 \(E_A\) 代 \(f\) 自身，左乘一个 \(E_B\) 也代 \(f\) 自身——这就（像）恒等变换起到实数 1 的左右，1 乘任何实数等于那个实数自身。" ⏱ 15:11
7可逆映射与逆映射 ⏱ 15:49
定义 · 可逆映射、逆映射
设 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射。如果存在 \(B\) 到 \(A\) 的映射 \(g\)，使得
\[ g f = E_A \quad\text{且}\quad f g = E_B, \]
即 \(gf\) 是 \(A\) 上的恒等变换、\(fg\) 是 \(B\) 上的恒等变换，那么称 \(f\) 是可逆映射，并把 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射，记作
\[ g = f^{-1}. \]
⏱ 17:28
命题 · 逆映射的唯一性
如果 \(f\) 是可逆映射，则 \(f\) 的逆映射只有一个。（作业题：设 \(g_1, g_2\) 都满足"左乘 \(f\) 等于 \(E_A\)、右乘 \(f\) 等于 \(E_B\)"，证明 \(g_1 = g_2\)。）⏱ 17:44
证明思路（逆映射唯一）
设 \(g_1, g_2\) 都是 \(f\) 的逆映射，则 \(g_1 f = E_A\)，\(g_2 f = E_A\)，且 \(f g_1 = E_B\)，\(f g_2 = E_B\)。
\[ g_1 = g_1 E_B = g_1 (f g_2) = (g_1 f) g_2 = E_A g_2 = g_2. \]
其中用到结合律与恒等变换的单位元作用。故逆映射唯一，可放心地记作 \(f^{-1}\)。⏱ 18:05
老师布置的思考
"你就找一个映射 \(G\)：左乘 \(f\) 等于 \(A\) 上的恒等变换，右乘 \(f\) 等于 \(B\) 上的恒等变换，这样的 \(G\) 只有一个。假如有两个，一个 \(G_1\)，还有一个 \(H\) 也有这个性质，你证明 \(G_1\) 等于 \(H\)。动动脑子看看怎么证明，回去证明。" ⏱ 18:10
8逆映射的性质 ⏱ 19:01
性质 1 · 逆映射本身也可逆
若 \(f\) 是可逆映射，则 \(f^{-1}\) 也是可逆映射。⏱ 19:49
性质 2 · 逆的逆是自身
\[ \big(f^{-1}\big)^{-1} = f. \]
"这个结论都要记下来：\(f\) 的逆映射的逆映射就是 \(f\) 自己。" ⏱ 20:36
说明
由定义，\(g = f^{-1}\) 满足 \(g f = E_A\)、\(f g = E_B\)。对这个等式换个角度：把 \(f\) 看作"先做"、\(g\) 看作"后做"，则 \(g\) 右乘 \(f\) 等于 \(E_B\)、左乘 \(f\) 等于 \(E_A\)——正好是 \(g\) 可逆、且 \(g\) 的逆映射是 \(f\) 的定义式。
于是 \(\big(f^{-1}\big)^{-1} = f\)。这一条与实数中"倒数再取倒数回到自身"完全类似。
注意"从乘法的角度定义"
"可逆映射记住了，是从乘法的角度来定义的——映射乘法。"这与后面按映射本身性质（单射、满射、双射）来刻画是两条不同的路，联系将在下一集展开。 ⏱ 20:36
9可逆映射与单射、满射、双射的联系 ⏱ 20:36
回顾此前定义：单射（一一）、满射（像集为全体 \(B\)）、双射（单且满）都是从映射本身的对应法则刻画的；可逆映射是从乘法（合成）角度刻画的。两者之间有什么联系？⏱ 20:54
必要条件的探索（本集已开启）
若 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的可逆映射，则 \(f\) 一定是双射：
- 满射：任取 \(b \in B\)，\(f^{-1}(b)\) 是 \(A\) 中的元素且 \(f\big(f^{-1}(b)\big) = b\)，故 \(b\) 有原像；
- 单射：设 \(f(a_1) = f(a_2)\)，两边同时用 \(f^{-1}\) 作用，得 \(a_1 = f^{-1}\big(f(a_1)\big) = f^{-1}\big(f(a_2)\big) = a_2\)。
老师强调的方法
"学数学一定要按照数学的方式：我先不告诉你结论，我们先探索。"——本集末尾"先探索可逆映射的必要条件"，下一集（P49）将完整证明"可逆 \(\Leftrightarrow\) 双射"。 ⏱ 21:35
★重点回顾
1
映射的合成：\(g: B \to C\)，\(f: A \to B\) 时，\(gf\) 是 \(A\) 到 \(C\) 的映射，\((gf)(a) = g(f(a))\)——先右后左执行。 ⏱ 05:20
2
结合律：\((hg)f = h(gf)\)。因此多个映射的合成与加括号的方式无关。
3
交换律不成立：一般 \(gf \neq fg\)（即使可乘）。
4
恒等变换 \(E_A\)：\(A\) 到自身把每个元素映成自己的映射；单位元作用 \(E_B f = f = f E_A\)。
5
可逆映射：\(f: A \to B\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(g: B \to A\) 使 \(gf = E_A\) 且 \(fg = E_B\)；此时 \(g = f^{-1}\) 唯一。
6
逆映射性质：\(f\) 可逆 \(\Rightarrow\) \(f^{-1}\) 可逆；\(\big(f^{-1}\big)^{-1} = f\)。
7
可逆 \(\Rightarrow\) 双射（必要条件探索）：可逆映射必是单射且满射；充要条件的完整证明见下一集。
8
应用背景：线性空间的同构映射是映射，同构的"传递"（\(V \to V'\)，\(V' \to V''\) 则 \(V \to V''\)）正依赖映射合成的结合律与可逆性。
⚠易错点提醒
常见错误
- 合成记号的方向：\(gf\) 是"先 \(f\) 后 \(g\)，结果作用于 \(gf(a)\)"，而不是"先 \(g\) 后 \(f\) 作用"。书写顺序与执行顺序相反，是初学者最大的坑。
- 可逆的两个条件缺一不可：仅 \(gf = E_A\)（左逆）不足以保证 \(f\) 可逆；仅 \(fg = E_B\)（右逆）也不够。必须左右同时成立。对有限集合到自身的映射，单侧即可（留作思考题），但一般无穷集合必须双侧。
- 不要假设交换律：\((gf)\) 与 \((fg)\) 一般甚至定义域不同（若 \(f: A \to B\)，\(g: B \to C\)，\(gf\) 是 \(A \to C\)，而 \(fg\) 通常不可乘）。老师特别强调"满足结合律但不满足交换律"。
- 恒等变换的下标：\(f E_A = f\)（右乘 \(A\) 上的恒等），\(E_B f = f\)（左乘 \(B\) 上的恒等）——下标要跟匹配端的集合对应，写错下标是常见笔误。
- 可逆 \(\Rightarrow\) 双射只是必要条件方向：本集只探索了必要性（可逆→双射），充分性（双射→可逆）在下一集通过"构造 \(g\)：把 \(b\) 对应到 \(A\) 中唯一的 \(a\) 使得 \(f(a) = b\)"完成，不要混用。
✎自我检测
- 设 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(f(x) = 2x + 1\)；\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)，\(g(x) = x^2\)。写出 \(gf\) 与 \(fg\)，说明二者为何不相等；验证结合律：设 \(h(x) = x - 3\)，计算 \((hg)f\) 与 \(h(gf)\)。
- 证明：若 \(g_1, g_2\) 都满足 \(g_i f = E_A\) 且 \(f g_i = E_B\)，则 \(g_1 = g_2\)（逆映射唯一性）。
- 设 \(f: A \to B\) 可逆，证明 \(\big(f^{-1}\big)^{-1} = f\)，并说明"可逆映射的逆也是可逆映射"。
- 设 \(f: A \to B\) 可逆。证明：\(f\) 是单射（提示：设 \(f(a_1) = f(a_2)\)，两边同时作用 \(f^{-1}\)）。
- 设 \(f: A \to B\) 可逆。证明：\(f\) 是满射（提示：任取 \(b \in B\)，取 \(a = f^{-1}(b)\)，验证 \(f(a) = b\)）。
- （思考，下集将给出构造）设 \(f: A \to B\) 是双射，构造 \(g: B \to A\) 使得 \(gf = E_A\) 且 \(fg = E_B\)，并验证两条恒等式。
- 设 \(V, V'\) 是同维数 \(n\) 的 \(K\) 上线性空间，\(\sigma: V \to V'\) 与 \(\tau: V' \to V''\) 均为同构映射。利用本集结论说明 \(\tau\sigma\) 也是同构映射，并写出其逆映射。
下一集预告
第 P49 集将完成"可逆映射 \(\Leftrightarrow\) 双射"的完整证明（充分方向：构造 \(g\)），并进一步讨论"可逆映射与单射、满射、双射的关系"以及集合的元素分类（划分）的初步引入。