高等代数 · 第 P54 集 · 三十六：商空间、基、直和、补空间

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◎学习目标

✅ 理解陪集（coset）的概念，掌握商空间 \(V/W\) 的定义及其向量空间结构；
✅ 掌握商空间的基构造方法：已知子空间 \(W\) 的基，将其扩充为 \(V\) 的基后，剩余向量的陪集构成商空间的基；
✅ 证明商空间维数公式：\(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\)；
✅ 理解直和分解的概念：\(V = W \oplus U\) 意味着每个向量可唯一表为 \(w + u\)，且 \(W \cap U = \{0\}\)；
✅ 掌握补空间的存在性定理：有限维线性空间的任意子空间都有补空间；
✅ 能够用陪集代表元生成补空间 \(U\)，并验证 \(V = W \oplus U\)。

1商空间的构造与定义 ⏱ 00:02

本集是第三章的总结性课程。此前我们已建立了有限维线性空间的基本理论：基、维数、子空间等。现在我们要研究商空间——这是从子空间出发构造新的线性空间的重要工具。

定义 · 陪集（Coset）与商空间设 \(W\) 是线性空间 \(V\) 的子空间，对任意 \(\alpha \in V\)，定义

\alpha + W = \{\alpha + \omega \mid \omega \in W\}.

称 \(\alpha + W\) 为 \(\alpha\) 关于 \(W\) 的陪集。所有陪集构成的集合记作 \(V/W\)，称为 商空间。

商空间中的加法与数量乘法定义为：

(\alpha + W) + (\beta + W) = (\alpha + \beta) + W, \qquad k(\alpha + W) = k\alpha + W.

在此运算下，\(V/W\) 构成数域 \(K\) 上的线性空间。⏱ 00:59

为什么这些运算是良定义的？

关键是要验证：陪集的表示与代表元的选取无关。即若 \(\alpha + W = \alpha' + W\)（即 \(\alpha' - \alpha \in W\)），则

(\alpha + \beta) + W = (\alpha' + \beta) + W, \qquad k\alpha + W = k\alpha' + W.

这是因为 \(\alpha' = \alpha + \omega_0\)（\(\omega_0 \in W\)），于是 \(\alpha' + \beta = (\alpha + \beta) + \omega_0\)，仍在同一个陪集中。数量乘法类似。⏱ 02:00

直观理解商空间 \(V/W\) 可以看作是把 \(W\) "压缩"成一个点（零元）后剩下的空间。所有相差一个 \(W\) 中元素的向量被视为"等价"，商空间就是这些等价类的集合。

2商空间的基构造 ⏱ 05:00

现在要研究商空间的结构，核心问题是：如何找到商空间的一个基？

我们从已知的基出发。设 \(W\) 是有限维线性空间 \(V\) 的子空间，\(\dim W = s\)，\(\dim V = n\)（\(s \leq n\)）。

定理 · 商空间的基构造设 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s\}\) 是子空间 \(W\) 的一个基，将它扩充为 \(V\) 的基

\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s,\; \alpha_{s+1}, \dots, \alpha_n\}.

则商空间 \(V/W\) 的一个基为

\{\alpha_{s+1} + W,\; \alpha_{s+2} + W, \; \dots,\; \alpha_n + W\}.

特别地，商空间的维数公式成立：

\dim(V/W) = n - s = \dim V - \dim W.

证明：线性表出 + 线性无关

第一步：证明 \(V/W\) 的每个元素可由 \(\alpha_{s+1}+W, \dots, \alpha_n+W\) 线性表出。

任取 \(\alpha \in V\)，由于 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 是 \(V\) 的基，可设

\alpha = a_1\alpha_1 + \cdots + a_s\alpha_s + a_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + a_n\alpha_n.

记 \(\beta = a_1\alpha_1 + \cdots + a_s\alpha_s\)，则 \(\beta \in W\)，于是

\alpha + W = \beta + (a_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + a_n\alpha_n) + W = (a_{s+1}\alpha_{s+1} + W) + \cdots + (a_n\alpha_n + W).

因为 \(\beta \in W\)，所以 \(\beta + W = W\)（即商空间的零元）。故

\alpha + W = a_{s+1}(\alpha_{s+1}+W) + \cdots + a_n(\alpha_n+W).

这说明 \(V/W\) 中每个元素均可由 \(\alpha_{s+1}+W, \dots, \alpha_n+W\) 线性表出。⏱ 06:00–09:00

第二步：证明线性无关。

设有数 \(k_{s+1}, \dots, k_n\) 使得

k_{s+1}(\alpha_{s+1}+W) + \cdots + k_n(\alpha_n+W) = W.

即 \((k_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + k_n\alpha_n) + W = W\)，这意味着

k_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + k_n\alpha_n \in W.

而 \(W\) 的基是 \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\)，所以存在 \(l_1, \dots, l_s\) 使

k_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + k_n\alpha_n = l_1\alpha_1 + \cdots + l_s\alpha_s.

移项得

-l_1\alpha_1 - \cdots - l_s\alpha_s + k_{s+1}\alpha_{s+1} + \cdots + k_n\alpha_n = 0.

由 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 线性无关，所有系数均为零，故 \(k_{s+1} = \cdots = k_n = 0\)。⏱ 10:00–12:00

结论：\(\alpha_{s+1}+W, \dots, \alpha_n+W\) 是 \(V/W\) 的基，共有 \(n-s\) 个，所以 \(\dim(V/W) = n - s\)。⏱ 12:50

重要结论商空间维数公式是最基本的公式之一：

\boxed{\dim(V/W) = \dim V - \dim W}

注意：此公式要求 \(V\) 是有限维的，但不要求 \(W\) 有限维——只要 \(V/W\) 有限维即可。在实际应用中，通常 \(V\) 和 \(W\) 都是有限维的。⏱ 15:45

丘老师的教学提示

丘老师在课堂上强调："证明你发现了什么，你发现了唯一的一个基是它以后，发现后面这个为代表，后面这个为代表，这个陪集就是商空间的一个基，发现这一点。"⏱ 14:30–14:45

他还风趣地说："大家可以体会体会我的早期的办法……G 找到了，G 就知道了，那维数就知道了。"

3直和分解定理 ⏱ 15:50

这是本集最重要的结果。我们从商空间的基出发，构造出 \(V\) 的一个直和分解。

定理 · 直和分解（Theorem 4）设 \(W\) 是有限维线性空间 \(V\) 的子空间，\(\{\beta_1 + W, \dots, \beta_t + W\}\) 是商空间 \(V/W\) 的一个基（其中 \(t = \dim V - \dim W\)）。令

U = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_t\}.

则 \(V\) 可以分解为子空间 \(W\) 与 \(U\) 的直和：

V = W \oplus U.

并且 \(\{\beta_1, \dots, \beta_t\}\) 是 \(U\) 的一个基。

证明：\(V = W \oplus U\)

第一步：证明 \(V = W + U\)（和分解）。

任取 \(\alpha \in V\)，考虑陪集 \(\alpha + W \in V/W\)。由于 \(\beta_1+W, \dots, \beta_t+W\) 是 \(V/W\) 的基，存在数 \(a_1, \dots, a_t\) 使

\alpha + W = a_1(\beta_1 + W) + \cdots + a_t(\beta_t + W).

按商空间运算定义，这等价于

\alpha + W = (a_1\beta_1 + \cdots + a_t\beta_t) + W.

于是 \(\alpha - (a_1\beta_1 + \cdots + a_t\beta_t) \in W\)，记 \(\omega = \alpha - (a_1\beta_1 + \cdots + a_t\beta_t) \in W\)，则

\alpha = \omega + (a_1\beta_1 + \cdots + a_t\beta_t),

其中 \(\omega \in W\)，\(a_1\beta_1 + \cdots + a_t\beta_t \in U\)。⏱ 17:30–18:40

第二步：证明 \(W \cap U = \{0\}\)（直和）。

设 \(\gamma \in W \cap U\)，则 \(\gamma \in U\)，故可设

\gamma = l_1\beta_1 + \cdots + l_t\beta_t.

又 \(\gamma \in W\)，故 \(\gamma + W = W\)（\(W\) 中元素的陪集都是 \(W\) 本身）。因此

l_1(\beta_1 + W) + \cdots + l_t(\beta_t + W) = W.

即 \(V/W\) 中零元的线性组合。由于 \(\beta_1+W, \dots, \beta_t+W\) 线性无关，所有系数 \(l_1 = \cdots = l_t = 0\)，从而 \(\gamma = 0\)。⏱ 20:00–22:00

第三步：证明 \(\beta_1, \dots, \beta_t\) 是 \(U\) 的基。

由 \(U\) 的定义，\(\beta_1, \dots, \beta_t\) 生成 \(U\)，只需证线性无关。设 \(k_1\beta_1 + \cdots + k_t\beta_t = 0\)，则

k_1(\beta_1+W) + \cdots + k_t(\beta_t+W) = 0 + W = W,

由线性无关性，\(k_1 = \cdots = k_t = 0\)。⏱ 23:00–24:00

证毕。

定理的意义本定理说明：只要知道商空间 \(V/W\) 的一个基（陪集代表元），就能生成一个补空间 \(U\)，使 \(V = W \oplus U\)。这体现了"利用商空间研究线性空间结构"的思想，是本章最重要的结论之一。⏱ 25:00

4补空间的概念 ⏱ 25:30

从直和分解 \(V = W \oplus U\)，我们引入补空间的概念。

定义 · 补空间设 \(V = W \oplus U\)，则称 \(U\) 为 \(W\) 的一个补空间。

需要强调：补空间不唯一！同一个子空间可以有无穷多个不同的补空间。定理保证的是补空间存在，而非唯一。

补空间不唯一性的例子

取 \(V = \mathbb{R}^2\)，\(W\) 为 \(x\) 轴（即 \(W = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\}\)）。

标准补空间：\(U_1 = \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}\)（\(y\) 轴）。
另一个补空间：\(U_2 = \{(y,y) \mid y \in \mathbb{R}\}\)（直线 \(y = x\)）。

容易验证 \(V = W \oplus U_1 = W \oplus U_2\)，但 \(U_1 \neq U_2\)。⏱ 26:30

重要结论：补空间存在定理 有限维线性空间 \(V\) 的任意子空间 \(W\) 都有补空间。即存在子空间 \(U\) 使 \(V = W \oplus U\)。⏱ 27:00

无限维情形的推广

丘老师指出：上述定理还可推广到无限维情形。即使 \(V\) 是无限维线性空间，\(W\) 是无限维子空间，只要取 \(W\) 的基并扩充为 \(V\) 的基（需使用选择公理），仍可构造补空间。⏱ 28:30

说明无限维情形的详细证明见教材第 8.5 节命题，不作为本课程教学要求。

丘老师总结 "到今天我就把整个这一章讲完了，第三章讲完了。"⏱ 29:00

本章以线性空间的子空间为主线，贯穿了：子空间的判定 → 基与维数 → 商空间 → 直和与补空间，构成了有限维线性空间结构理论的完整框架。

★重点回顾

1

商空间的基构造：将 \(W\) 的基扩充为 \(V\) 的基后，剩余向量的陪集 \(\alpha_{s+1}+W, \dots, \alpha_n+W\) 构成商空间的基，个数为 \(\dim V - \dim W\)。

2

商空间维数公式：\(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\)。这是本集最简洁的结论。

3

直和分解定理：由商空间的基（陪集代表元）\(\beta_1, \dots, \beta_t\) 生成子空间 \(U\)，则 \(V = W \oplus U\)。

4

补空间的存在性：有限维线性空间的任意子空间都有补空间（且补空间不唯一）。

5

证明技巧：证明直和的关键是两件事——和分解（任意向量拆成两部分）和交为零（唯一性）。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆陪集与子空间：陪集 \(\alpha + W\) 本身一般不是子空间（除非 \(\alpha \in W\)，此时 \(\alpha + W = W\)）。只有 \(W\) 本身是 \(V/W\) 的零元。
误以为补空间唯一：定理只保证补空间存在，实际可以有无穷多个不同的补空间。做题时切忌默认"唯一"。
商空间基的选取：商空间的基是陪集，不是原空间中的向量。写作 \(\alpha_i + W\)，不可省略 "+ W"。
直接和的判定条件：\(V = W + U\) 是直和 \(\iff W \cap U = \{0\}\)。两个条件缺一不可（和分解 + 交为零）。
维数公式的适用条件：\(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\) 要求 \(V\) 有限维。无限维时需用 Hamel 基论证，不在本课程范围内。

✎自测与作业

基础题：设 \(V = \mathbb{R}^3\)，\(W = \{(x,y,z) \mid x + y + z = 0\}\)。求 \(W\) 的维数，并找出商空间 \(V/W\) 的一个基。
计算题：在 \(\mathbb{R}^4\) 中，设 \(W = \operatorname{span}\{(1,0,1,0),\; (0,1,0,1)\}\)。将 \(W\) 的基扩充为 \(\mathbb{R}^4\) 的基，并用定理构造一个补空间 \(U\)，验证 \(V = W \oplus U\)。
证明题：设 \(V = W \oplus U\)，证明对任意 \(\alpha \in V\)，存在唯一的 \(w \in W\) 和 \(u \in U\) 使 \(\alpha = w + u\)。
证明题：证明 \(\mathbb{R}^2\) 中 \(x\) 轴的补空间有无穷多个，写出其中两个不同的补空间并验证。
思考题：若 \(V = W_1 \oplus U_1 = W_2 \oplus U_2\)，是否一定有 \(W_1 = W_2\) 或 \(U_1 = U_2\)？给出证明或反例。
进阶题：设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，证明 \(\mathbb{R}^n = \operatorname{Nul}(A) \oplus \operatorname{Row}(A)\)（提示：利用 \(\operatorname{Nul}(A)\) 与 \(\operatorname{Row}(A)\) 互为正交补）。

下一集预告第 P55 集 · 三十七：矩阵的运算（一）——矩阵乘法。从变换复合出发，引出矩阵乘法的定义，讨论其几何意义与运算律。